مسابقه ریاضی - مرداد ۹۸ - ریاضیات تکمیلی

پاسخ تشریحی مسئله ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

در چهارضلعی $ABCD$، دو قطر $AC$ و $BD$ یکدیگر را در نقطهٔ $E$ قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط $AB$، $BC$، و $BD$ برابرند و اندازهٔ زاویهٔ $CBD$ دو برابر اندازهٔ زاویهٔ $DBA$ است. دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های $AEB$، $BEC$، $CED$، و $DEA$ را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی […]

پاسخ تشریحی مسئله ۳ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

اعداد زیر را در نظر بگیرید: \[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\]به روش‌های مختلفی می‌توان اعداد بالا را به دو یا چند گروه تقسیم کرد. برای مثال، می‌توان این اعداد را به چهار گروه تقسیم کرد: \[\begin{aligned}&\bullet\;0,3,4,5\\&\bullet\;2,9\\&\bullet\;7\\&\bullet\;1,6,8.\end{aligned}\] مجموع اعداد هریک از گروه‌های بالا برابر است با: \[\begin{aligned}&\bullet\;0+3+4+5=12\\&\bullet\;2+9=11\\&\bullet\;7=7\\&\bullet\;1+6+8=15.\end{aligned}\] به چند روش می‌توان اعداد $0$، $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، $6$، $7$، […]

مسئلهٔ ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

در چهارضلعی $ABCD$، دو قطر $AC$ و $BD$ یکدیگر را در نقطهٔ $E$ قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط $AB$، $BC$، و $BD$ برابرند و اندازهٔ زاویهٔ $CBD$ دو برابر اندازهٔ زاویهٔ $DBA$ است. دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های $AEB$، $BEC$، $CED$، و $DEA$ را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی […]

پاسخ تشریحی مسئله ۲ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

یک مکعب‌مستطیل توپُر $8\times8\times n$، از مکعب‌های $1\times1\times1$ ساخته شده است. فرض کنید $A$ مساحت کل مکعب‌مستطیل، و $B$ مجموع مساحت کل مکعب‌های $1\times1\times1$ سازندهٔ مکعب‌مستطیل باشد. همهٔ $n$هایی را پیدا کنید که برای آنها، $\frac{B}{A}$ عددی طبیعی باشد. راهنمای حل مساحت کل یک مکعب‌مستطیل $8\times8\times n$، برحسب $n$، برابر $32n+128$ است. (چرا؟) بنابراین، \[A=32n+128.\] […]

مسئلهٔ ۳ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

اعداد زیر را در نظر بگیرید: \[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\]به روش‌های مختلفی می‌توان اعداد بالا را به دو یا چند گروه تقسیم کرد. برای مثال، می‌توان این اعداد را به چهار گروه تقسیم کرد: \[\begin{aligned}&\bullet\;0,3,4,5\\&\bullet\;2,9\\&\bullet\;7\\&\bullet\;1,6,8.\end{aligned}\] مجموع اعداد هریک از گروه‌های بالا برابر است با: \[\begin{aligned}&\bullet\;0+3+4+5=12\\&\bullet\;2+9=11\\&\bullet\;7=7\\&\bullet\;1+6+8=15.\end{aligned}\] به چند روش می‌توان اعداد $0$، $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، $6$، $7$، […]

پاسخ تشریحی مسئله ۱ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

می‌خواهیم خانه‌های خالی زیر را با اعداد $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، $6$، $7$، و $8$ پر کنیم به‌طوری‌که مجموع اعداد روی هر ضلع با مجموع اعداد روی هریک از دو ضلع دیگر برابر باشد. (تکرار اعداد مجاز نیست.)اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را […]

مسئلهٔ ۲ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

یک مکعب‌مستطیل توپُر $8\times8\times n$، از مکعب‌های $1\times1\times1$ ساخته شده است. فرض کنید $A$ مساحت کل مکعب‌مستطیل، و $B$ مجموع مساحت کل مکعب‌های $1\times1\times1$ سازندهٔ مکعب‌مستطیل باشد. همهٔ $n$هایی را پیدا کنید که برای آنها، $\frac{B}{A}$ عددی طبیعی باشد. راهنمایی: شکل زیر، مثالی است که در آن $n=5$. در این مثال، $\frac{B}{A}$ عددی طبیعی نیست! […]

مسئلهٔ ۱ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

می‌خواهیم خانه‌های خالی زیر را با اعداد $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، $6$، $7$، و $8$ پر کنیم به‌طوری‌که مجموع اعداد روی هر ضلع با مجموع اعداد روی هریک از دو ضلع دیگر برابر باشد. (تکرار اعداد مجاز نیست.)اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را […]