پاسخ تشریحی مسئله ۲ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

یک مکعب‌مستطیل توپُر \(8\times8\times n\)، از مکعب‌های \(1\times1\times1\) ساخته شده است. فرض کنید \(A\) مساحت کل مکعب‌مستطیل، و \(B\) مجموع مساحت کل مکعب‌های \(1\times1\times1\) سازندهٔ مکعب‌مستطیل باشد. همهٔ \(n\)هایی را پیدا کنید که برای آنها، \(\frac{B}{A}\) عددی طبیعی باشد.

---

راهنمای حل

مساحت کل یک مکعب‌مستطیل \(8\times8\times n\)، برحسب \(n\)، برابر \(32n+128\) است. (چرا؟)

بنابراین،
\[A=32n+128.\]

مجموع مساحت کل مکعب‌های \(1\times1\times1\) سازندهٔ یک مکعب‌مستطیل توپُر \(8\times8\times n\)، برحسب \(n\)، برابر است با:
\[8\times8\times n\times6=384n.\]
پس،
\[B=384n.\]
در نتیجه:
\[\frac{B}{A}=\frac{384n}{32n+128}=12-\frac{48}{n+4}.\]
(چرا؟)

پس برای اینکه \(\frac{B}{A}\) عددی طبیعی باشد، باید \(n+4\) مقسوم‌علیه \(48\) باشد و
\[\frac{48}{n+4}<12.\]
(و البته، می‌دانیم که \(n\) عددی طبیعی است.)

بنابراین، همهٔ مقدارهای \(n\) که به‌ازای آنها \(\frac{B}{A}\) عددی طبیعی است، عبارتند از:
\[2,4,8,12,20,44.\]
(چرا؟)