می‌خواهیم خانه‌های خالی زیر را با اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، و \(8\) پر کنیم به‌طوری‌که مجموع اعداد روی هر ضلع با مجموع اعداد روی هریک از دو ضلع دیگر برابر باشد. (تکرار اعداد مجاز نیست.)
اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را بیابید.
ابتدا مطابق شکل زیر، داخل هر دایره یک حرف قرار می‌دهیم.
سپس مسئله را در چند مرحله حل می‌کنیم.
میدانیم که مجموع این هشت عدد با حاصلجمع \(1\) تا \(8\) برابر است. پس:
\[\begin{aligned}a+b+c+w+v+x+y+z&=1+2+3+4+5+6+7+8\\[8pt]&=\frac{8\times9}{2}\\[8pt]&=36.\quad(2)\end{aligned}\]
از طرفی میدانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر \(S\) است. پس:
\[\begin{aligned}S&=a+v+w+b\quad(3)\\S&=b+z+c\quad(4)\\S&=c+y+x+a.\quad(5)\end{aligned}\]
از رابطههای \((3)\)، \((4)\)، و \((5)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&S+S+S=(a+v+w+b)+(b+z+c)+(c+y+x+a)\\&\Rightarrow 3S=(a+b+c+w+v+x+y+z)+(a+b+c).\quad(6)\end{aligned}\]
حال، با توجه به رابطههای \((2)\) و \((6)\) داریم:
\[\begin{aligned}&3S=36+(a+b+c)\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36+(a+b+c)}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36}{3}+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=12+\frac{a+b+c}{3}.\end{aligned}\]
مقدار \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد. چرا؟
واضح است که کمترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=1+2+3=6.\quad(7)\]
حال با استفاده از رابطههای \((1)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{6}{3}\\&=12+2\\&=14.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(14\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.
مقدار \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد. چرا؟
واضح است که بیشترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=6+7+8=21.\quad(8)\]
از رابطههای \((1)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{21}{3}\\&=12+7\\&=19.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(6\)، \(7\)، و \(8\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(19\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.
مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد. چرا؟
همانطور که دیدیم، اگر \(a+b+c=6\)، آن‌وقت \(S\) باید برابر \(14\) باشد. در این حالت، بیشترین مقدار ممکن برای \(b+c\) برابر است با:
\[b+c=2+3=5.\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث، باید برابر \(S\) باشد؛ یعنی:
\[\begin{aligned}&b+z+c=S\\&\Rightarrow5+z=14\\&\Rightarrow z=9.\end{aligned}\]
چون \(z\) نمی‌تواند عددی بزرگتر از \(8\) باشد، پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.
مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد. چرا؟
اگر \(S\) برابر \(18\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow6=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow18=a+b+c.\quad(9)\end{aligned}\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث باید برابر \(18\) باشد، یعنی:
\[b+z+c=18.\quad(10)\]
از رابطههای \((9)\) و \((10)\) نتیجه می‌شود:
\[\left.\begin{aligned}a+b+c=18\\b+z+c=18\end{aligned}\right\}\Rightarrow a=z.\]
اما میدانیم که هشت عدد داخل دایرهها باید متفاوت باشند. پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.
مقدار \(S\) می‌تواند برابر با \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد. چرا؟
اگر \(S\) برابر \(15\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow3=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow9=a+b+c.\end{aligned}\]
حال، می‌توانیم حالت‌هایی را بررسی کنیم که مجموع سه عدد طبیعی برابر \(9\) می‌شود. برای نمونه:
\[a=1,\;b=2,\;c=6.\]
در این حالت، چون مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث برابر \(15\) است، داریم:
\[\begin{aligned}&b+z+c=15\\&\Rightarrow2+z+6=15\\&\Rightarrow z=15-8\\&\Rightarrow z=7.\end{aligned}\]
اکنون به‌سادگی می‌توانیم مقدارهای \(w\)، \(v\)، \(x\)، و \(y\) را نیز پیدا کنیم.
پرسش. اگر \(a=1\)، \(b=3\)، و \(c=5\)، آیا می‌توان جواب دیگری پیدا کرد؟
برای حالت‌هایی که \(S\) برابر با \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد نیز با روشی مشابه روش بالا، می‌توان مثال‌هایی ساخت. برای نمونه، مثال‌های زیر را ببینید.
\(S=16\):
\(S=17\):
\(S=19\):
:(خیلی وقت گیر بود سوالش
این سؤال از آزمون پایهٔ هفتم یکی از کشورهای پیشرفته انتخاب شده است. متأسفانه شما را به تست و جواب کوتاه و سؤات به‌درد نخور عادت می‌دهند و دانش‌آموزان کشورهای پیشرفته را ….
بله حق با شماس:( اگه معلم ما مثلن شما بودین خوب بود 🙂
ولی خب من نمونه دولتی درس میخونم …….همیشه علاقه داشتم بیشتر یادبگیرم……برا همین الان تو سایت شمام:(
سلام
من پاسخ کتاب تکمیلی ریاضی هشتم را می خواهم . راهنمایی می فرمایید
سلام
به صفحهٔ اول سایت بروید: https://www.takmili.com
روی تصویر کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم کلیک کنید؛ سپس فصل و تمرین مورد نظر خود را انتخاب کنید.