در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.
دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.
راهنمایی. در زیر، شکلی برای این مسئله رسم شده است.
اندازهٔ دوازده زاویهٔ \(A_1\)، \(A_2\)، \(B_1\)، \(B_2\)، \(C_1\)، \(C_2\)، \(D_1\)، \(D_2\)، \(E_1\)، \(E_2\)، \(E_3\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، اعدادی صحیح هستند.
ابتدا قرار می‌دهیم \(\widehat{C}_1=x\)؛ سپس، اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ بالا را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.
راهنمای حل
این مسئله را در شش مرحله حل می‌کنیم.
مرحلهٔ ۱. اگر \(\widehat{C}_1=x\)، آن‌وقت اندازهٔ یازده زاویهٔ دیگر، برحسب \(x\) به‌صورت زیر است.
(چرا؟)
ابتدا قرار می‌دهیم: \(\widehat{B}_1=y\). چون، بنابه فرض مسئله، اندازهٔ زاویهٔ \(B_2\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(B_1\) است، پس \(\widehat{B}_2=2y\).
چون بنابه فرض مسئله، \(AB=BC\)، پس مثلث \(ABC\) متساویالساقین است و در نتیجه می‌توان اندازهٔ زاویه‌های \(A_1\) و \(C_2\) را برحسب \(y\) به‌دست آورد:
همچنین، چون \(BC=BD\)، پس مثلث \(BCD\) نیز متساویالساقین است و در نتیجه می‌توان اندازهٔ زاویهٔ \(D_1\) را برحسب \(x\) و \(y\) به‌دست آورد:
حال، با استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(BCD\))، مقدار \(y\) را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&C\widehat{B}D+B\widehat{D}C+D\widehat{C}B=180^\circ\\[6pt]&\Rightarrow2y+\frac{180^\circ-3y}{2}+x+x+\frac{180^\circ-3y}{2}=180^\circ\\[6pt]&\Rightarrow2y+2x+180^\circ-3y=180^\circ\\&\Rightarrow2x-y=0\\&\Rightarrow y=2x.\end{aligned}\]
بنابراین، با محاسباتی ساده می‌توان اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ خواسته شده را برحسب \(x\) نوشت:
به‌سادگی می‌توان ثابت کرد که \(x<30^\circ\). (چگونه؟)
بنابه فرض مسئله، قطرهای \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند؛ یعنی چهارضلعی \(ABCD\) محدب است و در نتیجه اندازهٔ هریک از زاویه‌های آن کمتر از \(180\) درجه است. بنابراین داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C < 180^\circ\\&\Rightarrow2x+4x < 180^\circ\\&\Rightarrow6x < 180^\circ\\&\Rightarrow x < 30^\circ.\end{aligned}\]
و همچنین، به‌سادگی می‌توان نشان داد که \(x\ne1^\circ\). (چگونه؟)
اگر \(x=1^\circ\)، آن‌وقت فقط اندازهٔ پنج زاویهٔ \(A_2\)، \(B_1\)، \(D_2\)، \(E_2\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، عدد اول هستند، زیرا:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_2=90^\circ-3x=87^\circ\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x=2^\circ\\&\widehat{B}_2=4x=4^\circ\\&\widehat{C}_1=x=1^\circ\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x=88^\circ\\&\widehat{D}_2=\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=90^\circ-x=89^\circ\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x=91^\circ.\end{aligned}\]
مرحلهٔ ۳. اندازهٔ زاویه‌های \(B_1\) و \(B_2\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، هیچ‌یک از مقدارهای \(2x\) و \(4x\)، برحسب درجه، نمی‌توانند عددی اول باشد. (چرا؟)
مقدار \(2x\) فقط در صورتی عدد اول است که \(x=1\)؛ اما در مرحلهٔ ۲ نشان دادیم که \(x\ne1^\circ\).
واضح است که برای هر مقدار صحیح \(x\)، حاصل \(4x\) عددی مرکب است.
مرحلهٔ ۴. اندازهٔ زاویهٔ \(D_1\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، \(90^\circ-2x\)، برحسب درجه، نمی‌تواند عددی اول باشد. (چرا؟)
چون
\[90-2x=2\big(45-x\big)\]
پس مقدار \(90-2x\) فقط در صورتی عدد اول است که \(45-x=1\)، یا \(x=44\)؛ اما در مرحلهٔ ۲ نشان دادیم که \(x < 30^\circ\).
مرحلهٔ ۵. اندازهٔ زاویه‌های \(A_1\) و \(C_2\) وقتی و فقط وقتی عدد اول است که \(x=29^\circ\). (چرا؟)
می‌دانیم:
\[\widehat{A}_1=\widehat{C}_2=90^\circ-3x.\]
چون
\[90-3x=3(30-x)\]
پس مقدار \(90-3x\) فقط در صورتی عدد اول است که \(30-x=1\) یا \(x=29\).
بنابراین، \(x=29^\circ\) یکی از جواب‌های مسئله است. (چرا؟)
اگر \(x=29^\circ\)، آن‌وقت فقط اندازهٔ شش زاویهٔ \(C_1\)، \(C_2\)، \(A_1\)، \(D_2\)، \(E_2\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، اعدادی اول هستند. زیرا:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_2=90^\circ-3x=3^\circ\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x=58^\circ\\&\widehat{B}_2=4x=116^\circ\\&\widehat{C}_1=x=29^\circ\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x=12^\circ\\&\widehat{D}_2=\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=90^\circ-x=61^\circ\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x=119^\circ.\end{aligned}\]
مرحلهٔ ۶. از مرحله‌های ۲، ۳، ۴، و ۵ نتیجه می‌شود که اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) تا \(29\) باشد، آن‌وقت اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی مرکب است.
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_1=90^\circ-3x\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x\\&\widehat{B}_2=4x\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x.\end{aligned}\]
بنابراین، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی اول باشد.
\[\begin{aligned}&\widehat{C}_1=x\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x\\&\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=\widehat{D}_2=90^\circ-x.\end{aligned}\]
به‌عبارت دیگر، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید سه مقدار \(x\)، \(90^\circ-x\)، و \(90^\circ+x\) اعدادی اول باشند.
پس جواب‌های دیگر مسئله عبارتند از:
\[\begin{aligned}x&=7^\circ\\x&=11^\circ\\x&=17^\circ\\x&=19^\circ\\x&=23^\circ.\end{aligned}\]
(چرا؟)
برای همهٔ اعداد اول بین \(1\) و \(29\)، مقدارهای \(x\)، \(90-x\)، و \(90+x\) را بررسی می‌کنیم:
| \(x\) | \(90-x\) | \(90+x\) | آیا هر سه عدد اول‌اند؟ |
|---|
| \(2\) | \(88\) | \(92\) | خیر |
| \(3\) | \(87\) | \(93\) | خیر |
| \(5\) | \(85\) | \(95\) | خیر |
| \(7\) | \(83\) | \(97\) | بله |
| \(11\) | \(79\) | \(101\) | بله |
| \(13\) | \(77\) | \(103\) | خیر |
| \(17\) | \(73\) | \(107\) | بله |
| \(19\) | \(71\) | \(109\) | بله |
| \(23\) | \(67\) | \(113\) | بله |
