برای اینکه درسنامهٔ تعریف کسر مصری به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
مثال ۱. می‌خواهیم \(5\) پیتزا را به‌طور مساوی بین \(8\) نفر تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ پیتزاها را به \(8\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز میتوان این کار را انجام داد؟
ابتدا \(\frac{5}{8}\) را بهصورت زیر مینویسیم:
\[\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\cdot\]
حال، با توجه به تساوی بالا، میتوان ابتدا چهارتا از پیتزاها را نصف کرد و پیتزای پنجم را به \(8\) قسمت مساوی تقسیم کرد. سپس، به هریک از \(5\) نفر، \(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\) پیتزا داد.
تعریف کسر مصری
کسری با صورت $1$ و مخرج طبیعی را یک کسر واحد می‌نامند. به مجموع متناهی از کسرهای واحد متفاوت، کسر مصری می‌گویند. به تعداد کسرهای به‌کار رفته در کسر مصری، تعداد جمله‌های یک کسر مصری گفته می‌شود.
مثال ۲. با ذکر دلیل، مشخص کنید که کدام‌یک از عبارت‌های زیر کسر مصری هستند و کدام‌یک کسر مصری نیستند. در مواردی که عبارت داده شده یک کسر مصری است، تعداد جمله‌های آن را تعیین کنید.
الف) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{16}\)
کسر مصری است. زیرا مجموع سه کسر واحد متفاوت است. پس این کسر مصری، سه جمله دارد.
ب) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\)
کسر مصری نیست. زیرا \(\frac{2}{5}\) کسر واحد نیست.
ج) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\cdots\)
کسر مصری نیست. چون عبارت داده شده، مجموع نامتناهی از کسرهای واحد است.
د) \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\)
کسر مصری نیست. چون \(\frac{1}{9}\) تکرار شده است.
تقسیم نان بین قورباغه‌ها
در ویدئوی زیر، مسئله‌هایی طرح می‌شود که با استفاده از کسرهای مصری، به‌سادگی حل می‌شوند.
مثال ۳. می‌خواهیم \(7\) نان را به‌طور مساوی بین \(12\) قورباغه تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ نان‌ها را به \(12\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز میتوان این کار را انجام داد؟
با توجه به آنچه در ویدئوی بالا دیدید، داریم:
\[\frac{7}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\cdot\] یعنی، ابتدا \(6\)تا از نان‌ها را نصف می‌کنیم و نان هفتم را به \(12\) قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. بعد به هر قورباغه \(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\) نان میدهیم.
شکستن کسر واحد
اگر \(n\) یک عدد طبیعی بزرگتر از \(1\) باشد، داریم:
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\cdot\]در رابطهٔ بالا، واضح است که \(\frac{1}{n+1}\) و \(\frac{1}{n(n+1)}\) کسرهای واحد متفاوتی هستند.
مثال ۴. با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از کسرهای زیر را بهصورت مجموع دو کسر واحد متفاوت بنویسید.
الف) \(\dfrac{1}{4}\)
\[\begin{aligned}\frac{1}{4}&=\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4(4+1)}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{4\times5}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}\cdot\end{aligned}\]
ب) \(\dfrac{1}{7}\)
\[\begin{aligned}\frac{1}{7}&=\frac{1}{7+1}+\frac{1}{7(7+1)}\\[7pt]&=\frac{1}{8}+\frac{1}{7\times8}\\[7pt]&=\frac{1}{8}+\frac{1}{56}\cdot\end{aligned}\]
مثال ۵. ابتدا با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از اعداد زیر را بهصورت کسر مصری بنویسید. سپس تعداد جمله‌های هر کسر مصری را مشخص کنید.
الف) \(\dfrac{2}{3}\)
\[\begin{aligned}\frac{2}{3}&=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\[7pt]&=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3\times4}\\[7pt]&=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\cdot\end{aligned}\]بنابراین، \(\frac{2}{3}\) را بهصورت یک کسر مصری با \(3\) جمله نوشتیم.
ب) \(\dfrac{3}{5}\)
\[\begin{aligned}\frac{3}{5}&=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{5\times6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{5\times6}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{7}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{31}+\frac{1}{30\times31}\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}+\frac{1}{31}+\frac{1}{930}\cdot\end{aligned}\]بنابراین، \(\frac{3}{5}\) را بهصورت یک کسر مصری با \(7\) جمله نوشتیم.
ج) \(\dfrac{4}{11}\)
\[\begin{aligned}\frac{4}{11}&=\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\frac{1}{11}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{11\times12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{11\times12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{11\times12}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{13}+\frac{1}{12\times13}+\frac{1}{133}+\frac{1}{132\times133}+\frac{1}{13}+\frac{1}{12\times13}+\frac{1}{133}+\frac{1}{132\times133}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}+\frac{1}{133}+\frac{1}{17556}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}+\frac{1}{133}+\frac{1}{17556}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}+\frac{1}{133}+\frac{1}{17556}+\frac{1}{14}+\frac{1}{13\times14}+\frac{1}{157}+\frac{1}{156\times157}+\frac{1}{134}+\frac{1}{133\times134}+\frac{1}{17557}+\frac{1}{17556\times17557}\\[7pt]&=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{132}+\frac{1}{13}+\frac{1}{156}+\frac{1}{133}+\frac{1}{17556}+\frac{1}{14}+\frac{1}{182}+\frac{1}{157}+\frac{1}{24492}+\frac{1}{134}+\frac{1}{17822}+\frac{1}{17557}+\frac{1}{308230692}\cdot\end{aligned}\] بنابراین، \(\frac{4}{11}\) را بهصورت یک کسر مصری با \(15\) جمله نوشتیم.
پرسش. فرض کنید \(m\) و \(n\) دو عدد گویا باشند به‌طوری‌که \(m < n\). اگر بخواهیم با روش شکستن کسر واحد، \(\frac{m}{n}\) را بهصورت کسر مصری بنویسیم، آیا میتوان گفت که این کسر مصری چند جمله دارد؟
تمرین‌های بیشتر
برای تسلط بیشتر به مباحث این جلسه، تمرین‌های آن را نیز حل کنید.
تمرین‌های تعریف کسر مصری
سلام وقت بخیر
آیا فرمول شکستن کسر ها در کسر هایی که صورت آنها یک نیست هم به کار میره؟
و یا حل این نوع کسر ها که صورتشون یک نیست چگونه است و آیا فرمول خاصی دارد؟
ابتدا یک کسر را بهصورت حاصل‌جمع کسرهای مساوی با صورت \(1\) بنویسید. بعد، هر کسر با صورت \(1\) را بهصورت متفاوتی از کسرهای دیگر بشکنید. (البته، این راه‌حل کسرهای زیادی تولید می‌کند و چندان به‌صرفه نیست.)
خب همین که به صورت حاصل جمع کسر های مساوی با صورت ۱ بنویسیم ، فرمول خاصی نداره؟
البته برای اونایی که صورتشون ۱ نیست
منظورم از فرمول استفاده از متغیرها مانند n است
اگر به‌دنبال فرمول ساده و کلی برای حل این مسائل هستید، هنوز کسی چنین فرمولی به‌دست نیاورده است.
برای اینکه راحت‌تر مثال‌های این بخش را متوجه شوید، مثلث لایب‌نیتس را ببینید.
فرمول تعداد کسر های واحد به کار رفته در کسری غیر واحد به روش شکستن کسر واحد
سلام
برای پاسخ پرسش در کلاس میتوان برای کسر های کوچکتر از واحدی که صورت آنها m است و m بزرگتر از یک است تعداد جمله های کسر مصری به روش شکستن کسر واحد برابر ……………………… است .
سلام
کسرهای بزرگتر از واحد را هم میتوان به صورت مصری نوشت؟
با توجه به تعریف شدنی هست اما چرا هیچ مثالی از آن نیست؟
سلام
مسئلهٔ اساسی در کسرهای مصری، کسرهای بین صفر و یک است. زیرا تقریباً واضح است که همهٔ اعداد طبیعی را میتوان بهصورت کسرهای مصری نوشت. یعنی اگر کسر ما بزرگتر از واحد باشد و آن را به عدد مخلوط تبدیل کنیم، قسمت صحیح آن را میتوان بهصورت کسر مصری نوشت.
به نظرم هر عدد طبیعی رو نمیتوان به صورت کسر مصری نوشت. چون کسرها باید متمایز باشند و ما نهایتا از یک کسر واحد میتونیم استفاده کنیم.
البته با کنار گذاشتن قسمت صحیح و فقط سراغ قسمت کمتر از واحد رفتن جریان فرق میکنه و شدنی خواهد بود.
این استدلال را متوجه نشدم:
«به نظرم هر عدد طبیعی رو نمیتوان به صورت کسر مصری نوشت. چون کسرها باید متمایز باشند و ما نهایتا از یک کسر واحد میتونیم استفاده کنیم.»
در واقع شما تعریف کسر مصری یا کسر واحد را نوشته‌اید و ادعا می‌کنید که اعداد طبیعی را نمیتوان بهصورت کسر واحد نمایش داد.
چرا استدلال شما نباید برای اعداد بین صفر و یک کار کند؟ یک نفر می‌تواند بگوید:
«به نظرم هر عدد بین صفر و یک رو نمیتوان به صورت کسر مصری نوشت. چون کسرها باید متمایز باشند و ما نهایتا از یک کسر واحد میتونیم استفاده کنیم.»
؟
سلام! جواب پرسش میشه که بله ! بر حسب m به شرط n>m :
اگر m=1 تعداد جمله ها 2 می باشد
اگر m یک نباشد تعداد جمله ها برابر است با :
یک + دو + چهار + …. + دو به توان m-1
مثلا در 4/11 میشه 1+2+4+8 که میشه 15
آیا درسته ؟!
سلام
من مطالبی در مورد کاربرد مختصات در صنعت موشکی و جی پی اس میخواستم میشه یه سایت یا مقاله معرفی کنین
سلام لطفا درباره ی الگوریتم فیبوناتچی در کسر های مصری یک مقاله بنویسید
سلام می خواستم یه سایت علوم خوب مثل اینجا معرفی کنین
سلام
متأسفانه چنین سایتی نمی‌شناسیم.
اگر پیدا کردیم، معرفی می‌کنیم.
سلام ببخشید میشه درباره ی مثلث خیام یه مقاله ی جامع و خوب بزارید
سلام
در راهنمای حل تمرین ۲۴ صفحهٔ ۲۰ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم، توضیحاتی جامع، به‌همراه یک ویدئو (دوبله شده) دربارهٔ مثلث خیام وجود دارد.
اگر می‌خواهید خیلی بیشتر دربارهٔ مثلث خیام تحقیق کنید، کتاب «مثلث عددی خیام-پاسکال و مثلث‌های شبیه آن» را به شما معرفی می‌کنیم.
من جزوه کسر مصری رو خریدم ولی برام ایمیل نشده کجا میتونم ببینمش
همان‌طور که در عنوان محصول نوشته شده است، درسنامهٔ کسری مصری آنلاین است.
اگر وارد حساب کاربری‌تان شوید، در بالای همین صفحه، جلسهٔ اول درسنامهٔ کسر مصری را می‌بینید. از لینک‌های زرد زیر نوشته می‌توانید به جلسات بعدی بروید.
سلام جواب پرسش:اگر به شکستن اعداد نگاه کنیم می فهمیم که اعداد به ترتیب برابر با توان های دو هستند به طوری که اگر صورت بر مخرج بخش پذیر نباشد و صورت یک باشد جواب برابر با 0^2 هست و اگه صورت دو باشه برابر با 0^2+1^2 هست و اگه صورت سه باشه برابر با 0^2+1^2+2^2 هست و….
سلام! وقتی صورت یک باشه دو تا میشه پس باید بگیم اگر 1 بود صورت میشه دو تا و اگر نه هم که طبق فرمولی که نوشتی پیش میریم
سلام. خب یک رو استثنا در نظر می گیریم