۷. ۱. ۱. ۲۴. مجلهٔ Notices که انجمن ریاضی آمریکا آن را چاپ می‌کند، در یکی از شماره‌هایش، یک الگوی عددی معروف را به‌عنوان تصویر روی جلد انتخاب کرده است.


ابتدا الگوی عددی بالا را به‌دقت مشاهده و قانونِ آن را کشف کنید. سپس باتوجه‌به قانون الگو، سه ستون به سمت چپ آن اضافه کنید.


راهنمای حل

ستون اول، دو عدد دارد، ستون دوم سه عدد دارد، ستون سوم چهار عدد دارد، و به‌همین‌‌ترتیب تعداد اعداد هر ستون یکی بیشتر از شمارهٔ آن ستون است.
اولین و آخرین عدد هر ستون ۱ است؛ عدد دوم هر ستون، مجموع عدد اول و دوم ستون قبل است. عدد سوم هر ستون، مجموع عدد دوم و سوم ستون قبل است. عدد چهارم هر ستون، مجموع عدد سوم و چهارم ستون قبل است. و با همین قانون اعداد دیگر هر ستون نوشته می‌شوند.
سه ستون بعدی این جدول به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{matrix}1&1&1\\15&14&13\\105&91&78\\455&364&286\\1365&1001&715\\3003&2002&1287\\5005&3003&1716\\6435&3432&1716\\6435&3003&1287\\5005&2002&715\\3003&1001&286\\1365&364&78\\455&91&13\\105&14&1\\15&1&\\1&&\\\end{matrix}\]

این جدول در کتاب‌های غربی، مثلث پاسکال نامیده شده است. بلز پاسکال، ریاضیدان فرانسوی در قرن هفدهم میلادی می‌زیسته است. او اعداد مثلث را به‌صورت زیر نوشته است:

در ریاضیات، قضیه‌ها و الگوها معمولاً به نام کسی ثبت می‌شود که اولین‌بار آن قضیه یا الگو را کشف کرده است. مطمئناً پاسکال اولین کسی نیست که الگوی بالا و خواص آن را کشف کرده باشد.

دو قرن قبل از میلاد مسیح، یک ریاضیدان هندی به نام پینگالا خاصیت‌هایی از اعداد این مثلث را کشف کرده است.

در قرن دهم میلادی، یک ریاضیدان ایرانی به نام کرجی در کتابی مثلث بالا را توصیف کرده است. حدود ۱۰۰ سال پس از کرجی، عمر خیام، ریاضیدان، شاعر، و منجم ایرانی، خواص بیشتری از این الگوی عددی را کشف می‌کند. در ایران این الگوی عددی به مثلث خیام مشهور است.

این الگوی عددی در چین به مثلث یانگ هویی مشهور است. یانگ هویی ریاضیدانِ قرن سیزدهم میلادی است که اعداد مثلث را به‌صورت زیر نوشته است:

ایزاک نیوتن، تعمیم‌ رابطه‌هایی از اعداد این الگو را کشف کرده است. در بعضی از کتاب‌ها، اعداد این الگو «ضرایب دوجمله‌ای نیوتن» نامیده شده‌اند. نیوتن در قرن هفدهم و هجدهم میلادی می‌زیسته است.

در صفحهٔ ۱۴۹۸، شمارهٔ ۱۱ جلد ۶۰ مجلهٔ ریاضی انجمن ریاضی آمریکا دربارهٔ تصویر روی جلد آن (تصویری که در صورت این مسئله می‌بینید) نوشته شده است:

در صفحهٔ بالا نوشته شده است که تصویر روی جلد را یک ریاضیدان مسلمان به‌نام السماوال در سن ۱۹ سالگی نوشته است. او در سال ۱۱۳۰ میلادی در بغداد متولد شد. السماوال نوشته‌های کرجی را خوانده بود.

همان‌طور که در تصویر مجلهٔ انجمن ریاضی آمریکا می‌بینید، اعداد این مثلث در مقاله‌ها و کتاب‌های جدید «ضرایب دوجمله‌ای» (Binomial Coefficient) نامیده می‌شوند.

ویدئوی زیر نیز دربارهٔ مثلث عددی خیام است. تمامی حقوق این ویدئو متعلق به TED-Ed است و شرکت زنجیره ابتکارات ما (ZEM) آن را دوبله کرده است.

 


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

8 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
آلبرت اینشتین
Member
3 سال قبل

با سلام در نوشتن صورت سوال اشکال هست برسی کنید

Takmili
Admin
پاسخ به  آلبرت اینشتین
3 سال قبل

با سلام
اصلاح شد.
ممنون که ایرادات را گزارش می‌کنید.

امیر محمد
مهمان
3 سال قبل

عالیه?

هادی پودینه
مهمان
3 سال قبل

بله عالي مثل همیشه

غزل افشانی
مهمان
3 سال قبل

مثل همیشه عااالی

حسن سلطان شریفی
Member
3 سال قبل

با سلام
ازبزرگان سایت یک سوال دارم و متشکر میشم اگر پاسخ بنده رو بدهند:
فرمولی وجود داره که بدون اینکه از اعداد سطر قبل اطلاعی داشته باشیم، بتوانیم اعداد سطر دلخواهی رو بنویسیم؟
طبق رویت بنده، در هر سطر اولین عدد یک است. (از راست یا چپ فرقمی نمیکنه)، عدد دوم عدد سطر است، عدد سوم در صورت وجود برابر است با جمع اعداد از یک تا عدد قبل از سطر، و در سطر n تعداد اعضا n +1 است.
به عنوان مثال: سطر پنجم دارای اعداد زیر است:
1-5-10-10-5-1
یک که ثابت است
پنج عدد سطر است
ده مجموع اعداد یک تا چهار است
و تعداد اعضای سطر پنجم، شش عضو است.
ولی برای دیگر اعضای سطر های بعدی هنوز نتونستم رابطه ای پیدا کنم.
با تشکر

Takmili
Admin
پاسخ به  حسن سلطان شریفی
3 سال قبل

سلام
بله! رابطه‌ٔ بسیار معروفی وجود دارد که با استفاده از آن می‌توانیم بدون اطلاع از اعداد سطر قبل، هریک از اعداد مثلث خیام را بنویسیم.
این رابطه را در کتاب ریاضی دهم خواهید دید.