زمان مسابقه: ۱۰۰ دقیقه
سومین مسابقهٔ ریاضی آنلاین (آزمایشی)
منبع سؤالات: فصل‌های ۱ تا ۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم
امتیاز هر سؤال
سؤال ۱، ۲، و ۳: ۲ امتیاز سؤال‌های ۴، ۵، و ۶: ۳ امتیاز سؤال‌های ۷ و ۸: ۴ امتیاز سؤال‌های ۹ و ۱۰: ۵ امتیاز
1 / 10
عبارت‌هایی را که با مجموعهٔ $\big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\big\}$ برابرند، مشخص کنید.
پاسخ تشریحی
برای مشاهدهٔ پاسخ تشریحی، راهنمای حل سؤال ۶۳ آزمون پیشرفت تحصلیی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.
2 / 10
چندتا از عبارت‌های زیر درست هستند؟ \(\bullet\) اگر در دو چهارضلعی $ABCD$ و $A'B'C'D'$ داشته باشیم: \[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}\] دو چهارضلعی متشابه‌اند. \(\bullet\) اگر در دو پنج‌ضلعی $ABCDE$ و $A'B'C'D'E'$ داشته باشیم: \[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}\] دو پنج‌ضلعی متشابه‌اند. \(\bullet\) اگر در دو شش‌ضلعی $ABCDEF$ و $A'B'C'D'E'F'$ داشته باشیم: \[\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EF}{E'F'}=\frac{FA}{F'A'}\] دو شش‌ضلعی متشابه‌اند.
راهنمای حل تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.
3 / 10
می‌دانیم: \[2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x=4^{y^3}.\] حاصل \(x+y\) چه عددی است؟
پاسخ تشریحی \[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}&=2^{2^4}=2^{16}\\2^{2^{2}}x&=2^4x\\4^{y^3}&=\big(2^2\big)^{y^3}=2^{2y^3}.\end{aligned}\] باتوجه‌به تساوی‌های بالا، داریم: \[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x&\Rightarrow 2^{16}=2^4x\\&\Rightarrow \frac{2^{16}}{2^4}=x\\&\Rightarrow 2^{12}=x\\&\Rightarrow x=4096.\end{aligned}\] و \[\begin{aligned}2^{2^{2^2}}=4^{y^3}&\Rightarrow 2^{16}=2^{2y^3}\\&\Rightarrow 16=2y^3\\&\Rightarrow 8=y^3\\&\Rightarrow y=2.\end{aligned}\] پس: \[x+y=4098.\]
4 / 10
دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های $A$ و $B$ قطع کرده‌اند. اگر $AC$ قطری از دایرهٔ اول و $AD$ قطری از دایرهٔ دوم باشد، آنگاه کدام عبارت‌ها همواره درست هستند؟
راهنمای حل تمرین ۱۴ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.
5 / 10
حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. \[\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}-3}\Bigg)^{-3}\]
پاسخ تشریحی \[\begin{aligned}&\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{54}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-\sqrt[3]{8\times 2}}{\sqrt[3]{27\times 2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2-2\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{2}-3}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{2(1-\sqrt[3]{2})}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Bigg(1+\dfrac{-2(\sqrt[3]{2}-1)}{3(\sqrt[3]{2}-1)}\Bigg)^{-3}\\&=\Big(1+\dfrac{-2}{3}\Big)^{-3}\\&=\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-3}\\&=3^3\\&=27.\end{aligned}\]
این سؤال مشابه تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.
6 / 10
در چهارضلعی محدب $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $ADC$ همنهشت‌اند. عبارت‌هایی را که همواره درست هستند، علامت بزنید.
راهنمای حل تمرین ۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.
7 / 10
اگر $0
راهنمای حل سؤال ۷۵ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم (بهمن ۹۶) را ببینید.
8 / 10
اگر $m$، $x$، $y$ و $z$ چهار عدد صحیح باشند و $\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}$، آن‌وقت اعدادی را که می‌توانند برابر با مقدار عددی عبارت زیر باشند، علامت بزنید. \[\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\]
از تساوی $\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}$ می‌توان مقدارهای $x$ و $y+z$ را به‌دست آورد: \[\begin{aligned}&\big\{\{m\},|x|+1\big\}=\big\{\{z+1,-y\},5\big\}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|+1=5\\&\{m\}=\{z+1,-y\}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=4\\&z+1=-y\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=4,\;x=-4\\&y+z=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] برای دو حالت $x=4$ و $x=-4$ داریم: \[\begin{aligned}x=4\Rightarrow-x^{-2}&=-(4)^{-2}\\&=-\frac{1}{4^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\]\[\begin{aligned}x=-4\Rightarrow-x^{-2}&=-(-4)^{-2}\\&=-\frac{1}{(-4)^2}\\&=-\frac{1}{16}\cdot\end{aligned}\] اگر \(m\) عددی زوج باشد، آن‌وقت: \[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=1\] و اگر \(m\) عددی فرد باشد، آن‌وقت: \[(y+z)^{m}=(-1)^{m}=-1.\] بنابراین، اگر \(m\) زوج باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}+1\Big|\\&=\Big|\frac{15}{16}\Big|\\&=\frac{15}{16}\cdot\end{aligned}\] و اگر \(m\) فرد باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&\Big|-x^{-2}+(y+z)^{m}\Big|\\&=\Big|-\frac{1}{16}-1\Big|\\&=\Big|-\frac{17}{16}\Big|\\&=\frac{17}{16}\cdot\end{aligned}\]
9 / 10
در چهارضلعی \(ABCD\)، قطرهای \(AC\) و \(BD\) برابرند. اگر \(\widehat{A}=\widehat{D}\)، آن‌وقت عبارت‌هایی را که می‌توان برای آنها مثال نقض آورد، مشخص کنید.
بسیاری از افراد شکل مشابه شکل زیر برای این مسئله رسم می‌کنند و نتیجه می‌گیرند که فقط برای عبارت آخر می‌توان مثال نقض ساخت.
اما می‌توان برای همهٔ عبارت‌های دیگر نیز، مثال نقض ساخت. در شکل بالا، دایره‌ای به مرکز \(A\) و شعاع \(AC\) رسم می‌کنیم.
به‌جای نقطهٔ \(C\) در شکل اول، نقطهٔ سیاه‌رنگ بالا را \(C\) می‌نامیم.
حالا، در چهارضلعی \(ABCD\)، همهٔ شرایط مسئله برقرار است ولی این شکل مثال نقضی برای همهٔ عبارت‌های داده شده است.
10 / 10
در مثلث $ABC$، $AM$ میانه است و $AB=BM$. $MA$ را از طرف $A$ به‌اندازهٔ خودش امتداد داده‌ایم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. اگر $A\widehat{D}B+A\widehat{C}B=70^\circ$، آن‌وقت اندازهٔ زاویهٔ $A\widehat{B}C$ چند درجه است؟
پاسخ تشریحی بنابه فرض مسئله $AB=BM$؛ یعنی مثلث $ABM$ متساوی‌الساقین است. پس بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم: \[B\widehat{A}M=B\widehat{M}A.\quad (1)\] بنابراین مکمل دو زاویهٔ بالا نیز برابرند؛ یعنی \[B\widehat{A}D=A\widehat{M}C.\quad (2)\]
دو مثلث $ACM$ و $ABD$ همنهشت‌اند. زیرا: \(\bullet\) بنابه فرض مسئله، \(AM=AD\). \(\bullet\) بنابه رابطهٔ \((2)\)، \(A\widehat{M}C=B\widehat{A}D\). \(\bullet\) چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=BC\). از طرفی، بنابه فرض مسئله، \(AB=BM\). در نتیجه، \(CM=AB\). از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(AMC\) نتیجه می‌شود: \[A\widehat{B}D=C.\quad(3)\] اکنون می‌توانیم اندازهٔ زاویهٔ $ABC$ را به‌دست آوریم. \[\left. \begin{aligned}\widehat{D}+\widehat{C}=70^\circ\\A\widehat{B}D=\widehat{C}\quad(3)\end{aligned}\right\}\Rightarrow \widehat{D}+A\widehat{B}D=70^\circ. \quad(4)\] با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی در مثلث $ABD$ داریم: \[\widehat{D}+A\widehat{B}D=B\widehat{A}M.\quad(5)\] از رابطه‌های \((4)\) و \((5)\) نتیجه می‌شود $B\widehat{A}M=70^\circ$. حال بنابه رابطهٔ \((1)\) و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث $ABM$) داریم: \[\begin{aligned}&B\widehat{A}M+B\widehat{M}A+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow70^\circ+70^\circ+A\widehat{B}M=180^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=180^\circ-140^\circ\\&\Rightarrow A\widehat{B}M=40^\circ.\end{aligned}\] پس $A\widehat{B}C=40^\circ$.
امتیاز شما
اطلاع فوری از کدهای تخفیف، جایزه‌ها، و کلاس‌های تابستان
پیشثبتنام دورههای ریاضی و المپیاد تابستان ۱۴۰۳
ویدئوهای بیشتر
Δ
