قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث \(180\) درجه است.


فرض. یک مثلث دلخواه داریم.
حکم. مجموع زوایای این مثلث \(180\) درجه است.

قضیه های هندسه


اثبات. مثلث \(ABC\) را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ثابت کنیم \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\).
از \(A\) خطی موازی با \(BC\) رسم می‌کنیم و برای سادگی، زاویه‌های را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

مجموع زاویه‌های مثلث

چون \(\ell\) و \(BC\) موازی‌اند و \(A‌B\) مورب، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب داریم: \[\widehat{A}_1=\widehat{B}.\quad(1)\]
چون \(\ell\) و \(BC\) موازی‌اند و \(AC\) مورب، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب داریم: \[\widehat{A}_3=\widehat{C}.\quad(2)\]
از طرفی، واضح است: \[\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=180^\circ.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) نتیجه می‌شود:
\[\widehat{B}+\widehat{A}_2+\widehat{C}=180^\circ.\]

در نتیجه، مجموع زاویه های هر مثلث برابر \(180^\circ\) است.

تجزیه عبارتهای جبری


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

25 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
محمد
مهمان
1 سال قبل

سلام ،بنابر چه حالتی اثبات کردید ؟(ززز)

Takmili
Admin
پاسخ به  محمد
1 سال قبل

سلام
منظورتان از «چه حالتی» چیست؟ آیا منظورتان حالت‌های همنهشتی مثلث‌هاست؟ «ززز» حالت همنهشتی مثلث‌ها نیست! و ضمناً، در این قضیه نمی‌خواهیم همنهشتی مثلث‌ها را ثابت کنیم.
لطفاً بادقت راه‌حل را بخوانید و اگر جایی برایتان واضح نبود، کامنت بگذارید تا پاسخ دهیم.

محمد حسین خالقوردی پور
Member
2 سال قبل

سلام خسته نباشید. میشه یه راهنمایی کنید بگید کلا مقدار زوایا یا همون درجات بر چه اصولی حساب میشن؟ مثلا چرا زاویه قائم باید ۹۰ درجه باشه؟

Takmili
Admin
پاسخ به  محمد حسین خالقوردی پور
2 سال قبل

سلام
این‌ها صرفاً قرارداد هستند. واحدهای مختلفی برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد؛ مثل درجه، رادیان، یا …. همان‌طور که واحدهای مختلفی برای اندازه‌گیری طول وجود دارد؛ مثل متر، اینج، و …

محمد حسین خالقوردی پور
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بسیار عالی. چون من تو هر سایت ایرانی و خارجی هم گشتم جوابی براش پیدا نکردم.

موسی روح الامینی
مهمان
2 سال قبل

من روی شخصیت آدمها کار میکنم و به این نتیجه رسیدم همه شان سه شخصیت کلی دارند که من میگم تثلیث یا همان کنتم ازواجا ثلاثه و خلاصه به هر کس گفتم نفهمید چی میگم….. وقتی اثبات های ریاضی را می خوانم و نمی فهمم متوجه می شوم حق دارند نفهمند من چی میگم… با این وجود نظریه اعداد برام مهمه مثلا میگم صفر نماد خداست چون در تمام اعداد حضور دارد ولی دیگران میگن یک نماد خداست در حالیکه یک در صفر حضور ندارد در حالیکه جایی نیست که خدا در آن حضور نداشته باشد…

یوسف نیری
مهمان
2 سال قبل

با استفاده از اصل پنجم اقلیدس قابل اثبات هست
اصل پنجم: اگر یک خط، دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دوقائمه است به هم می‌رسند.

Takmili
Admin
پاسخ به  یوسف نیری
2 سال قبل

اصل پنجم اقلیدس با اصل توازی معادل است. اصل توازی می‌گوید که از هر نقطه خارج از یک خط، فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد یا به بیان دقیق‌تر:
«به‌ازای هر خط \(\ell\) و هر نقطهٔ \(P\) غیرواقع بر آن تنها یک خط مانند \(m\) وجود دارد چنانکه از \(P\) می‌گذرد و با \(\ell\) موازی است.»

بنابراین، در ابتدای اثبات مجموع زاویه‌های داخلی مثلث از اصل توازی استفاده شده است.

اگر می‌خواهید با دقت یک ریاضیدان، اصول اقلیدس و اثبات قضیه‌های مهم هندسه را بررسی کنید، حتماً کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی، نوشتهٔ ماروین جی‌ گرینبرگ را بخوانید.

یوسف نیری
مهمان
2 سال قبل

دچار دور باطل شدید، اثبات قضیه خطوط موازی و ومورب را با این قضیه اثبات کردید، و این قضیه را با قضیه خطوط موازی و مورب، این قضیه خطوط موازی و مورب مقدم بر قضیه مجموع زوایای داخلی مثلث هست و باید با استفاده از اصول اقلیدس اثبات کنید.

Takmili
Admin
پاسخ به  یوسف نیری
2 سال قبل

اگر در اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده کرده باشیم، حرف شما درست است. ولی در اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نشده است. لطفاً به صفحهٔ قضیهٔ خطوط موازی و مورب بروید و برایمان کامنت بگذارید که دقیقاً در کجای اثبات از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده شده است.

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام
من برای اثبات به نحوه زیر عمل کردم :
1- مثلثی دلخواه رسم کنید
2- نیمساز ها را رسم کنین و محل برخورد را پیدا کنید سپس دایره ای به مرکز آن نقطه بکشید
چون نقاط این مثلث روی محیط دایره اند پس می توانیم بگوییم ما یک مثلث محاطی داریم و با استفاده از قضیه زاویه محاطی نصف کمان روبروی آن است به سادگی می فهمیم که جمع سه زاویه برابر با نصف 180 یعنی 360 خواهد بود .
همچنین در اثبات زاویه محاطی فقط از زاویه مرکزی و برابر زاویه های مثلث متساوی الساقین استفاده شده که خود نتیجه قضیه ض ض ض می تواند باشد پس مانعی وجود ندارد !

Takmili
Admin
پاسخ به  رادوین سالاری
2 سال قبل

سلام
چرا نیمسازها همرسند و چرا فاصله محل برخورد تا سه رأس برابره؟ درواقع فاصله محل برخورد نیمسازها تا ضلع ها برابره!
آیا اثبات قضیهٔ زاویهٔ محاطی را دقیق خوانده‌اید؟

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بله اثبات قضیه زاویه محاطی رو خوندم و در اون از قضیه جمع زوایا مثلث استفاده نشده پس قاعدتا اثبات من نباید اشکال داشته باشه میشه اگر اشکالی داره بگین اشکالش چیه ؟؟

Takmili
Admin
پاسخ به  رادوین سالاری
2 سال قبل

پس دقیق نخوندید! در قضیهٔ زاویهٔ محاطی از «قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث» استفاده شده است. (روی آن کلیک کنید.)

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

سلام
الان متوجه اشتباهم شده چون برای بدست اوردن زاویه مرکزی در حالت اول یا باید از قضیه زاویه خارجی و یا از مجموع زوایا مثلث استفاده کنیم به همین خاطر بیهوده است اثباتم !

دانشجوی سال 84
مهمان
3 سال قبل

عاشقتم ریاضی

Asal
مهمان
3 سال قبل

عالی???

Bahram Rajabi
مهمان
4 سال قبل

ببخشید من اثبات این قظیه رو از طریق دایره انجام دادم می تونم برای اینکه بفهمم درسته یا نه اون رو براتون ایمیل کنم؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Bahram Rajabi
4 سال قبل

ایمیل کنید.

رادمهر طلوع حسن پور
مهمان
4 سال قبل

عالی

امیرحسین دیانی
مهمان
4 سال قبل

چرا إثبات اين سوال ها را قرار نميديد؟؟؟ معلم ما اثباتشون رو هم ميخواد

Takmili
Admin
پاسخ به  امیرحسین دیانی
4 سال قبل

کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اثبات این قضیه‌ها را نخواسته است.
اثبات همهٔ قضیه‌های این بخش، در کتاب ریاضی هشتم هست.

علي حميدي
مهمان
پاسخ به  Takmili
4 سال قبل

يعني الان بايد بريم كتاب هشتم رو بخونيم

Takmili
Admin
پاسخ به  علي حميدي
4 سال قبل

فکر می‌کردم که دانش‌آموز تیزهوشان، حداقل به کتاب درسی آموزش‌و‌پرورش کاملاً مسلط است.
ضمناً اثبات این قضیه در کتاب ریاضی آموزش‌و‌پرورش نهم هم هست.

Takmili
Admin
پاسخ به  امیرحسین دیانی
4 سال قبل

به‌دلیل درخواست‌های مکرر کاربران عزیز، اثبات همهٔ قضیه‌های هندسهٔ کتاب‌های ریاضی تکمیلی هشتم و نهم نوشته شد.