از برخورد سه خط \(y=0\)، \(y=4x\)، و \(x=21\)، یک مثلث تشکیل می‌شود. آرمیتا خط \(x=c\) را رسم کرده است که \(0 < c < 21\). این خط، مثلث اولیه را به یک ذوزنقه و یک مثلث جدید تقسیم می‌کند. اگر مساحت ذوزنقه \(8\) برابر مساحت مثلث جدید باشد، مقدار \(c\) را به‌دست آورید.
اگر مساحت مثلث جدید را \(S\) در نظر بگیریم، مساحت ذوزنقه برابر \(8S\)، و مساحت مثلث اولیه برابر
\[8S+S=9S\] می‌شود. مساحت مثلث اولیه برابر است با:
\[\frac{1}{2}\times21\times84=882.\] در نتیجه:
\[9S=882\Rightarrow S=98.\] حال، اگر مساحت مثلث جدید را برحسب \(c\) محاسبه کنیم، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}c(4c)=98\\[7pt]&\Rightarrow 2c^2=98\\[7pt]&\Rightarrow c^2=49\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&c=7\\&c=-7\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون می‌دانیم \(0 < c < 21\)، پس جواب \(c=-7\) قابل قبول نیست؛ و در نتیجه، \(c=7\).
از محل برخورد سه خط \(y=0\)، \(y=4x\)، و \(x=1\)، یک مثلث تشکیل شده است. امین اولین خط، \(x=a_1\)، را طوری رسم کرد که \(0 < a_1 < 1\)، و مثلث اول به دو ناحیه هم‌مساحت (یک ذوزنقه و مثلث دوم) تقسیم شوند. او دومین خط، \(x=a_2\)، را طوری رسم کرد که \(0 < a_2 < a_1\)، و مثلث دوم به دو ناحیه هم‌مساحت تقسیم شود. اگر امین این کار را، با همین قانون، ادامه داده باشد، مقدار \(a_{12}\) را به‌دست آورید.
مساحت مثلث اولیه برابر است با:
\[\frac{1}{2}\times1\times4=2.\] باید مقدار \(a_1\) را طوری تعیین کنیم که خط \(x=a_1\) مثلث اولیه را به دو قسمت هم‌مساحت تقسیم کند. یعنی مساحت مثلثی که از برخورد سه خط \(y=4x\)، \(y=0\)، و \(x=a_1\) تشکیل می‌شود، باید برابر \(1\) باشد. بنابراین،
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(a_1)(4a_1)=1\\[7pt]&\Rightarrow2(a_1)^2=1\\[7pt]&\Rightarrow (a_1)^2=\frac{1}{2}\\[7pt]&\Rightarrow a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}.\end{aligned}\] (توجه کنید که با توجه به فرض مسئله، \(a_1\) عددی مثبت است.)
با استدلالی مشابه می‌توان محاسبه کرد که \(a_2=\frac{1}{\sqrt{2}}a_1\) و در نتیجه:
\[a_2=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^2.\] و به‌همین صورت:
\[\begin{aligned}a_{12}&=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)^{12}\\[7pt]&=\Big(\big(\frac{1}{\sqrt{2}}\big)^2\Big)^6\\[7pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\\[7pt]&=\frac{1}{64}.\end{aligned}\]
برای هر مقدار صحیح \(c\)، نشان دهید که برخورد دو خط \(y=-c^2x+3\) و \(y=x-3c^2\) نقطه‌ای با مختصات صحیح است.
ابتدا طول محل برخورد این دو خط را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&-c^2x+3=x-3c^2\\&\Rightarrow 3+3c^2=x+c^2x\\&\Rightarrow3(1+c^2)=x(1+c^2)\\&\Rightarrow3=x.\end{aligned}\] بنابراین، طول مختصات محل برخورد این دو خط، صحیح است. عرض محل برخورد این دو خط برابر است با:
\[\begin{aligned}&y=x-3c^2\\&\Rightarrow y=3-3c^2.\end{aligned}\]چون می‌دانیم \(c\) عددی صحیح است، پس \(3-3c^2\) نیز عددی صحیح است و در نتیجه، عرض محل برخورد دو خط داده شده عددی صحیح است.
می‌دانیم \(d\) عددی صحیح، و محل برخورد دو خط \(y=dx+4\) و \(y=2dx+2\) نقطه‌ای با مختصات صحیح است. مختصات محل برخورد این دو خط چیست؟ همهٔ جواب‌های این مسئله را به‌دست آورید.
\[\begin{aligned}&2dx+2=dx+4\\&\Rightarrow dx=2\\&\Rightarrow x=\frac{2}{d}.\end{aligned}\] چون مختصات محل برخورد دو خط داده شده، عددی صحیح است، پس \(\frac{2}{d}\) باید عددی صحیح باشد و در نتیجه، همهٔ مقدارهای ممکن برای \(d\)، اعداد \(2\)، \(1\)، \(-1\)، و \(-2\) هستند. در هریک از این حالت‌ها، مختصات محل برخورد دو خط \(y=dx+4\) و \(y=2dx+2\) را محاسبه می‌کنیم.
\(\bullet\) اگر \(d=2\)، آنگاه \(x=\frac{2}{2}=1\)، و در نتیجه:
\[\begin{aligned}y&=dx+4\\&=2(1)+4\\&=6.\end{aligned}\] پس در این حالت، محل برخورد دو خط، نقطهٔ \(\left[1\atop6\right]\) است.
\(\bullet\) اگر \(d=1\)، آنگاه \(x=\frac{2}{1}=2\)، و در نتیجه:
\[\begin{aligned}y&=dx+4\\&=1(2)+4\\&=6.\end{aligned}\] پس در این حالت، محل برخورد دو خط، نقطهٔ \(\left[2\atop6\right]\) است.
\(\bullet\) اگر \(d=-1\)، آنگاه \(x=\frac{2}{-1}=-2\)، و در نتیجه:
\[\begin{aligned}y&=dx+4\\&=(-1)(-2)+4\\&=6.\end{aligned}\] پس در این حالت، محل برخورد دو خط، نقطهٔ \(\left[-2\atop6\right]\) است.
\(\bullet\) اگر \(d=-2\)، آنگاه \(x=\frac{2}{-1}=-1\)، و در نتیجه:
\[\begin{aligned}y&=dx+4\\&=(-2)(-1)+4\\&=6.\end{aligned}\] پس در این حالت، محل برخورد دو خط، نقطهٔ \(\left[-1\atop6\right]\) است.
الف) از محل برخورد محور \(x\)ها با \(y=-|3x|+6\) چه شکلی تشکیل می‌شود؟ مساحت آن را به‌دست آورید.
خط \(y=c\)، دو خط \(y=-3x+6\) و \(y=3x+6\) را در نقاط
\[\Big[{\frac{6-c}{3}\atop c}\Big],\Big[{-\frac{6-c}{3}\atop c}\Big]\] قطع می‌کند.
با جایگذاری \(y=c\) در \(y=-3x+6\) داریم:
\[\begin{aligned}&c=-3x+6\\&\Rightarrow c-6=-3x\\&\Rightarrow\frac{c-6}{-3}=x\\&\Rightarrow\frac{6-c}{3}=x.\end{aligned}\]
و با جایگذاری \(y=c\) در \(y=3x+6\) داریم:
\[\begin{aligned}&c=3x+6\\&\Rightarrow c-6=3x\\&\Rightarrow\frac{c-6}{3}=x\\&\Rightarrow-\frac{6-c}{3}=x.\end{aligned}\]
در نتیجه، خط \(y=c\)، دو خط \(y=-3x+6\) و \(y=3x+6\) را در نقاط
\[\Big[{\frac{6-c}{3}\atop c}\Big],\Big[{-\frac{6-c}{3}\atop c}\Big]\] قطع می‌کند.
بنابراین، مساحت مثلث بالای خط \(c\) برابر است با:
\[\frac{(6-c)^2}{3}.\]
پس قائدهٔ مثلث بالای خط \(c\) برابر است با:
\[\frac{6-c}{3}+\frac{6-c}{3}=\frac{2}{3}(6-c).\]
و ارتفاع این مثلث برابر \(6-c\) است. بنابراین، مساحت آن برابر است با:
\[\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}(6-c)\times(6-c)=\frac{(6-c)^2}{3}.\]
مساحت مثلث ایجاد شده از محل برخورد محور \(x\)ها با \(y=-|3x|+6\) را با \(S_0\) و مساحت مثلث بالای خط \(c\) را با \(S_c\) نمایش نام‌گذاری می‌کنیم. برای این مسئله، دو حالت وجود دارد.
حالت اول. اگر نسبت مساحت مثلث بالای خط \(c\) به ذوزنقهٔ زیر این خط \(4\) به \(5\) باشد، آنگاه:
\[\frac{S_c}{S_0}(12)=\frac{4}{4+5}(12)=\frac{4}{9}(12)=\frac{16}{3}.\] در این حالت، \(c=2\).
\[\begin{aligned}&\frac{(6-c)^2}{3}=\frac{16}{3}\\[7pt]&\Rightarrow(6-c)^2=16\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&6-c=4\Rightarrow2=c\\&6-c=-4\Rightarrow10=c.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]چون بنابه فرض مسئله، خط \(y=c\) مثلث اولیه را قطع می‌کند، پس \(0 < c < 6\) و \(c=10\) نمی‌تواند جواب مسئله باشد. بنابراین در این حالت \(c=2\).
حالت دوم. اگر نسبت مساحت مثلث بالای خط \(c\) به ذوزنقهٔ زیر این خط \(5\) به \(4\) باشد، آنگاه:
\[\frac{S_c}{S_0}(12)=\frac{5}{4+5}(12)=\frac{5}{9}(12)=\frac{20}{3}.\] در این حالت، \(c=6-2\sqrt{5}\).
\[\begin{aligned}&\frac{(6-c)^2}{3}=\frac{20}{3}\\[7pt]&\Rightarrow(6-c)^2=20\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&6-c=\sqrt{20}\Rightarrow6-\sqrt{20}=c\\&6-c=-\sqrt{20}\Rightarrow6+\sqrt{20}=c.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]چون بنابه فرض مسئله، خط \(y=c\) مثلث اولیه را قطع می‌کند، پس \(0 < c < 6\) و \(c=6+\sqrt{20}\) نمی‌تواند جواب مسئله باشد. بنابراین در این حالت \(c=6-\sqrt{20}\) یا به‌طور معادل \(c=6-2\sqrt{5}\).
در شکل زیر، سه دایرهٔ داده شده، دوبه‌دو مماس هستند. دایرهٔ با مرکز \(X\) بر سه ضلع مستطیل \(PQRS\) مماس است و دایرهٔ با مرکز \(Z\) بر دو ضلع مستطیل مذکور مماس است. اگر \(XY=30\)، \(YZ=20\)، و \(XZ=40\)، آنگاه مساحت مستطیل \(PQRS\) را به‌دست آورید.
برای سادگی، اندازهٔ شعاع دایره‌ها را با \(x\)، و \(y\)، و \(x\) نمایش می‌دهیم. یعنی اندازهٔ شعاع دایرهٔ با مرکز \(X\) را \(x\) در نظر می‌گیریم، اندازهٔ شعاع دایرهٔ با مرکز \(Y\) را با \(y\) نمایش می‌دهیم، و اندازهٔ شعاع دایرهٔ با مرکز \(Z\) را با \(z\) نام‌گذاری می‌کنیم. در این‌صورت، طول پاره‌خط‌های \(XY\)، \(XZ\)، و \(YZ\) به‌ترتیب برابر است با \(x+y\)، \(x+z\)، و \(y+z\). پس بنابه اندازه‌هایی که در صورت مسئله داده شده است، داریم:
\[\begin{aligned}x+y&=30\quad(1)\\x+z&=40\quad(2)\\y+z&=20\quad(3)\end{aligned}\] با جمع زدن طرفین معادله‌های بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&2x+2y+2z=90\\&\Rightarrow2(x+y+z)=90\\&\Rightarrow x+y+z=45.\quad(4)\end{aligned}\] حال از رابطه‌های \((1)\) و \((4)\) نتیجه می‌شود که \(z=15\). اکنون، با جایگذاری مقدار \(z\) در رابطه‌های \((2)\) و \((3)\) مقدارهای \(x\) و \(y\) نیز به‌دست می‌آید:
\[x=25,\;y=5.\]
\(PS=50\).
چون \(PS\) با قطر دایرهٔ به مرکز \(X\) برابر است، پس
\[PS=2(25)=50.\]
برای به‌دست آوردن طول \(SR\)، مقادیر \(SU\)، \(UV\)، و \(VR\) را داشته باشیم. چون \(SU\) و \(VR\) به‌ترتیب برابر \(x\) (شعاع دایرهٔ با مرکز \(X\)) و \(z\) (شعاع دایرهٔ با مرکز \(Z\)) هستند، پس
\[\begin{aligned}SR&=25+UV+15\\&=40+UV.\end{aligned}\] با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس می‌توان ثابت کرد که \(UV=10\sqrt{15}\).
چون چهارضلعی \(UVZH\) مستطیل است(؟)، پس
\[HU=ZV=15.\] از طرفی،
\[\begin{aligned}&XU=XH+HU\\&\Rightarrow25=XH+15\\&\Rightarrow10=XH.\end{aligned}\] حال، بنابه قضیهٔ فیثاغورس، در مثلث \(XHZ\) داریم:
\[\begin{aligned}&XH^2+HZ^2=XZ^2\\&\Rightarrow10^2+HZ^2=40^2\\&\Rightarrow HZ^2=1600-100\\&\Rightarrow HZ^2=1500\\&\Rightarrow HZ=\sqrt{1500}\\&\Rightarrow HZ=10\sqrt{15}.\end{aligned}\] چون چهارضلعی \(UVZH\) مستطیل است، پس
\[UV=HZ=10\sqrt{15}.\]
در نتیجه، مساحت مستطیل \(PQRS\) برابر است با:
\[50(40+10\sqrt{15})=2000+500\sqrt{15}.\]
شکل زیر، گسترده یک مکعب‌مستطیل را نشان می‌دهد. با توجه به اندازه‌های داده شده، حجم این مکعب‌مستطیل را به‌دست آورید.
مطابق شکل زیر، یال‌های برابر مکعب‌مستطیل را با \(x\)، \(y\)، و \(z\) نام‌گذاری می‌کنیم.
حال، با توجه به اندازه‌های داده شده، داریم:
\[\begin{aligned}&2x+2y=38\\&\Rightarrow2(x+y)=38\\&\Rightarrow x+y=19.\quad(1)\end{aligned}\] همچنین،
\[\begin{aligned}&x+z=14\quad(2)\\&y+z=11.\quad(3)\end{aligned}\] با جمع زدن طرفین رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) داریم:
\[\begin{aligned}&2x+2y+2z=19+14+11\\&\Rightarrow2(x+y+z)=44\\&\Rightarrow x+y+z=22.\quad(4)\end{aligned}\] از رابطه‌های \((1)\) و \((4)\) نتیجه می‌شود که \(z=3\). با جایگذاری مقدار \(z\) در رابطه‌های \((2)\) و \((3)\)، مقادیر \(x\) و \(y\) به‌دست می‌آیند:
\[x=11,\;y=8.\] بنابراین، حجم مکعب‌مستطیل داده شده برابر است با:
\[11\times8\times3=264.\]
دایره‌ای به مرکز \((6,8)\) و شعاع \(10\) داریم که آن را دایرهٔ \(c\) نامیده‌ایم.
الف) ابتدا نشان دهید دایرهٔ \(c\) از مبدأ مختصات می‌گذرد. سپس، نقطهٔ مشترک دیگری از محور \(x\)ها و دایره را بیابید و آن را \(P\) بنامید.
برای حل این مسئله، می‌توان معادلهٔ دایره \(c\) را به‌صورت زیر نوشت و از آن در مراحل حل مسئله استفاده کرد.
\[(x-6)^2+(y-8)^2=10^2.\] اما ما در راه‌حل‌هایمان از این معادله استفاده نمی‌کنیم. (شما حتماً راه‌حل‌های دیگری برای این مسئله بسازید و از معادلهٔ بالا استفاده کنید.)
ابتدا باید نشان دهیم دایرهٔ \(c\) از مبدأ مختصات می‌گذرد. برای این‌کار، کافی است ثابت کنیم که اگر از مرکز دایره به مبدأ مختصات پاره‌خطی وصل کنیم، طول این پاره‌خط برابر \(10\) (شعاع دایره) است. یعنی، در شکل زیر باید ثابت کنیم \(CO=10\).
در شکل بالا، از مرکز دایرهٔ \(c\)، خطی بر محور \(x\)ها عمود کرده‌ایم و پای عمود را \(H\) نامیده‌ایم. می‌دانیم \(C=\Big[{6\atop8}\Big]\)، پس \(H=\Big[{6\atop0}\Big]\). از طرفی، مثلث \(CHO\) یک مثلث قائم‌الزاویه است. پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس، داریم:
\[\begin{aligned}&CO^2=CH^2+HO^2\\&\Rightarrow CO^2=8^2+6^2\\&\Rightarrow CO^2=64+36\\&\Rightarrow CO^2=100\\&\Rightarrow CO=10.\end{aligned}\]
حال، مختصات نقطهٔ \(P\) را پیدا می‌کنیم.
چون دو مثلث \(CHO\) و \(CHP\) در حالت وتر و یک ضلع همنهشت‌اند(؟)، پس \(OH=PH\). بنابراین، طول نقطهٔ \(P\) برابر \(6+6\) است و در نتیجه:
\[P=\Big[{12\atop0}\Big].\]
ب) در بین نقاطی که روی دایره \(c\) قرار دارند، عرض کدام نقطه از بقیهٔ نقاط بیشتر است؟ مختصات این نقطه را تعیین کنید و آن را \(Q\) بنامید.
برای اینکه \(P\widehat{Q}R=90^\circ\)، باید زاویه \(PQR\) یک زاویهٔ محاطی روبه‌رو به قطر دایره باشد. اگر شعاع \(PC\) را امتداد دهیم تا دایرهٔ \(c\) را در نقطهٔ \(R\) قطع کند، آنگاه بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، اندازهٔ زاویهٔ \(PQR\) برابر \(90\) درجه خواهد بود.
حال، مختصات نقطهٔ \(R\) را به‌دست می‌آوریم. برای این‌کار از نقطهٔ \(C\) خطی موازی با محور \(x\)ها رسم می‌کنیم تا محور \(y\)ها را در نقطهٔ \(K\) قطع کند.
\(\bullet\) چون \(CK\) موازی محور \(x\)ها است، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، زاویه‌های \(CPH\) و \(RCK\) برابرند.
\(\bullet\) با توجه به مختصات نقاط داده شده، هر دو ضلع \(PH\) و \(CK\) برابر \(6\) واحد هستند.
\(\bullet\) ضلع‌های \(PC\) و \(CR\) هر دو شعاع دایره، و برابر \(10\) هستند.
بنابراین،
\[\begin{aligned}&C\widehat{K}R=P\widehat{H}C=90^\circ,\\&KR=HC=8.\end{aligned}\]
در نتیجه، نقطهٔ \(R\) روی محور \(y\)ها قرار دارد و
\[R=\Big[{0\atop16}\Big].\]
د) روی دایرهٔ \(c\) دو نقطهٔ متفاوت مانند \(S\) و \(T\) بیابید به‌طوری که
مطابق شکل زیر، فرض کنید \(S\) نقطه‌ای روی دایرهٔ \(c\) باشد که به‌ازای آن، زاویهٔ \(PQS\) برابر \(45\) درجه شود. در این‌صورت، بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، کمان \(SP\) برابر \(90\) درجه است و در نتیجه، زاویهٔ مرکزی \(PCS\) نیز برابر \(90\) درجه خواهد بود.
از نقطهٔ \(C\) خطی بر محور \(x\)ها عمود می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم. سپس، مطابق شکل زیر، به‌اندازهٔ \(PH\) (\(6\) واحد) روی \(CH\) جدا می‌کنیم و نقطهٔ حاصل را \(K\) می‌نامیم به‌طوری که
\[CK=PH=6.\quad(1)\]
دو مثلث \(PCH\) و \(CSK\) در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین همنهشت‌اند.
\(\bullet\) بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم \(CK=PH\).
\(\bullet\) دو ضلع \(CP\) و \(CS\) شعاع دایرهٔ \(c\) هستند. پس \(CP=CS\).
\(\bullet\) در مثلث \(PCH\)، داریم:
\[C\widehat{P}H+\widehat{C}_1=90^\circ.\quad(2)\]
از طرفی، می‌دانیم زاویه \(PCS\) زاویهٔ مرکزی روبه‌روی به کمان \(90\) درجه است. پس
\[\widehat{C}_1+\widehat{C}_2=90^\circ.\quad(3)\]
از رابطه‌های \((2)\) و \((3)\) نتیجه می‌شود:
\[C\widehat{P}H =\widehat{C}_2.\]
بنابراین، دو مثلث \(PCH\) و \(CSK\) در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین همنهشت‌اند.
در نتیجه:
\[\begin{aligned}&C\widehat{K}C=P\widehat{H}C=90^\circ\\&KS=CH=8.\end{aligned}\] پس:
\[S=\Big[{-2\atop2}\Big].\]
حال، باید نقطهٔ دیگری، مانند \(T\) بیابیم به‌طوری که \(P\widehat{Q}T=45^\circ\).
واضح است که زاویهٔ \(SQT\) قائمه است. پس برای یافتن مختصات نقطهٔ \(T\) باید مشابه قسمت «ج» عمل کنید. (این قسمت به خواننده واگذار می‌شود!)
سلام و عرض ادب
جزوه هفته چهارم رو اگر میشه تو سایت قرار بدید.
سلام
با عرض پوزش، جزوه هفته چهارم با تأخیر روی سایت قرار داده می‌شود.
خیلی ممنون از زحمات شما
سلام چرا لینک جزوات هفته اول و دوم غیرفعال شده است؟
اگر دلیل خاصی نداره لطفا فعال کنید دوباره
سلام
به‌زودی مشکل برطرف می‌شود.
با سپاس از شکیبایی شما