هفته اول دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی هفتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس دو تا استوانه داریم؛ یکی را استوانهٔ بزرگ و دیگری را استوانهٔ کوچک می‌نامیم. قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ بزرگ به‌ترتیب $10$ و $30$، و قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ کوچک به‌ترتیب $8$ و $20$ است. داخل استوانهٔ بزرگ تا ارتفاع $25$ آب ریخته‌ایم، و استوانهٔ کوچک خالی است. استوانهٔ […]
هفته دوم دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی هفتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس شش دایره روی یک مثلث به‌صورت زیر قرار داده‌ایم. اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، و \(6\) را طوری درون دایره‌ها می‌نویسیم که مجموع اعداد هر سه دایره که روی یک ضلع مثلث هستند، برابر \(10\) شود. مجموع اعدادی که درون سه دایرهٔ وسط ضلع‌ها نوشته می‌شوند، چه عددهایی می‌تواند […]
هفته پنجم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی هشتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس الگوی عددی زیر را ببینید: اگر الگوی بالا را ادامه دهیم، قطر اول این الگو، دنبالهٔ\[1,2,3,4,5,6,\dots\]است که از $1$ شروع می‌شود و هر عدد یک واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است. و قطر دوم این الگو، دنبالهٔ\[2,4,6,8,10,\dots\]است که از $2$ شروع می‌شود و هر عدد دو واحد از عدد قبلی […]
هفته پنجم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. $$(4.2)^2+2(4.2)(1.8)+(1.8)^2$$ فرض کنید $A$ مجموعه‌ای باشد که اعضای آن ریشه‌های چندجمله‌ای زیر هستند. $$x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1$$ $n(A)$ چه عددی است؟ یک چندجمله‌ای بیابید که ریشه‌اش \(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\) باشد ولی ضرایب یک‌جمله‌ای‌های آن اعداد صحیح باشد. اگر $B=\big\{|x+1|\;\big| x^2\in \mathbb{Z} , |x|<2\big\}$، آنگاه کوچک‌ترین عضو گنگ مجموعهٔ $B$ […]
هفته پنجم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی هفتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس زیبا از مبدأ مختصات (نقطهٔ \(\big[{0\atop0}\big]\)) شروع به حرکت می‌کند. او در هر گام می‌تواند یک واحد به بالا، پایین، چپ، یا راست حرکت کند، اما نمی‌تواند در یک ردیف دو بار پشت سر هم حرکت کند. برای مثال، او نمی‌تواند از \(\big[{0\atop0}\big]\) به \(\big[{1\atop0}\big]\) و بعد به \(\big[{2\atop0}\big]\) برود. […]
هفته سوم دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس به‌ازای چه مقادیر صحیحی از $n$ حاصل عبارت $\dfrac{2n^2+9n+13}{n+2}$ عددی طبیعی است؟ همهٔ جواب‌ها را بیابید. اگر عدد $1$ ریشهٔ چندجمله‌ای $P(x)$ باشد، آنگاه $P(x)$ بر $x-1$ بخش‌پذیر است. چرا؟ ابتدا نشان دهید عدد $1$ ریشهٔ چندجمله‌ای $x^5+2x^3-8x-x^4-2x^2+8$ است. سپس ریشه‌های دیگر این چندجمله‌ای را بیابید. مجموع ضرایب چندجمله‌ای $3x^2+7x-12$ […]
هفته سوم دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی هشتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس اگر برای سه عدد اول $a$، $b$، و $c$ بدانیم که \[a=\frac{xy+3}{y},\;b=\frac{xy+2y+3}{y},\;c=\frac{xy+4y+3}{y}\] آنگاه مقدار عددی $a^2+b^2-c^2$ را به‌دست آورید. اگر \(n\) یک عدد صحیح مثبت باشد، نماد \(n!\) (می‌خوانیم: «\(n\) فاکتوریِل»)، برای نشان دادن ضرب اعداد صحیح \(1\) تا \(n\) استفاده می‌شود. برای مثال:\[5! = 1 \times 2 \times 3 […]
هفته چهارم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی هفتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس برای چندتا از موارد زیر، مثال عددی وجود دارد؟ مورد اول) عدد مثبت \(x\) که \(x^2<\sqrt{x}\) مورد دوم) عدد مثبت $x$ که \(x<\sqrt{x}<2x\) مورد سوم) عدد مثبت $x$ که \(\frac{1}{2}x<\sqrt{x}<x\) می‌توان با قرار دادن \(15\) عدد طبیعی متفاوت بر تمام رأس‌های شکل زیر، آن را به نموداری تبدیل کرد که […]
هفته چهارم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس از برخورد سه خط \(y=0\)، \(y=4x\)، و \(x=21\)، یک مثلث تشکیل می‌شود. آرمیتا خط \(x=c\) را رسم کرده است که \(0 < c < 21\). این خط، مثلث اولیه را به یک ذوزنقه و یک مثلث جدید تقسیم می‌کند. اگر مساحت ذوزنقه \(8\) برابر مساحت مثلث جدید باشد، مقدار \(c\) […]
هفته چهارم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی هشتم سمپاد
مطالب تدریس شده در کلاس اگر \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی فرد باشند و \(a < b < c < d\)، آنگاه معادلهٔ زیر چند جواب دارد؟ \[a+b+c+d=24.\] مینا \(1\) یا \(2\) و یا \(3\) عدد را از لیست اعداد \(2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81\) انتخاب می‌کند و مجموع […]