دو تا استوانه داریم؛ یکی را استوانهٔ بزرگ و دیگری را استوانهٔ کوچک می‌نامیم. قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ بزرگ به‌ترتیب $10$ و $30$، و قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ کوچک به‌ترتیب $8$ و $20$ است. داخل استوانهٔ بزرگ تا ارتفاع $25$ آب ریخته‌ایم، و استوانهٔ کوچک خالی است.
استوانهٔ کوچک را در استوانهٔ بزرگ به‌آرامی و با سرعت ثابت فرو می‌بریم؛ وقتی استوانهٔ کوچک به کفِ استوانهٔ بزرگ برسد، حجم آب داخل استوانهٔ کوچک چقدر است؟ عدد پی را تقریباً \(3.14\) در نظر بگیرید. (\(\pi\approx3.14\))
حرکت استوانهٔ کوچک را در دو مرحلهٔ زیر بررسی می‌کنیم:
مرحلهٔ اول. وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ فرو می‌رود، تا قبل از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، آب از کناره‌های استوانهٔ بزرگ روی زمین می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)
مرحلهٔ دوم. بعد از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شد، در ادامهٔ حرکت، آب از کناره‌ها داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)
می‌توانید آزمایش بالا را با دو استوانه یا لیوان بزرگ و کوچک انجام دهید.
در ادامه، مقدار آبی را که در مرحلهٔ اول روی زمین می‌ریزد و همچنین مقدار آبی را که در مرحلهٔ دوم داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد، محاسبه می‌کنیم.
(مرحلهٔ اول) در ابتدا، حجم آب داخل استوانهٔ بزرگ برابر \(625\pi\) است.
وقتی بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، حجم آب بین دو استوانه برابر \(430\pi\) است. (چرا؟)
با توجه به شکل زیر، حجم فضای بین دو استوانه با اختلاف حجم دو استوانه برابر است.
پس داریم:
\[\begin{aligned}&\pi(5)^2(30)-\pi(4)^2(20)\\&=\pi(10)\big(5^2\times3-4^2\times2\big)\\&=\pi(10)(25\times3-16\times2)\\&=\pi(10)(75-32)\\&=\pi(10)(43)\\&=430\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ می‌رود، تا جایی که بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، مقدار آبی که روی زمین می‌ریزد برابر است با:\[625\pi-430\pi=195\pi.\]
(مرحلهٔ دوم) در ادامهٔ حرکت، تا وقتی که استوانهٔ کوچک به کف استوانهٔ بزرگ برسد، آب از کناره‌ها به داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر \(250\pi\) است. (چرا؟)
وقتی حرکت را از وضعیتی که بالای دو استوانه هم‌سطح هستند، ادامه می‌دهیم تا کف دو استوانه (تقریباً) هم‌سطح شوند، آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر حجمی است که با رنگ تیره در شکل سمت چپ زیر مشخص شده است.
بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد با حجم استوانه‌ای به شعاع قاعدهٔ \(5\) و ارتفاع \(10\) برابر است:
\[\begin{aligned}\pi(5)^2(10)&=\pi(25)(10)\\&=250\pi.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[250\pi\approx250\times3.14=785.\]
حجم حاصل از دوران شکل زیر حول ضلع \(AB\) چقدر است؟
مطابق شکل زیر، چند ضلعی داده شده را به دو مستطیل آبی و صورتی تقسیم می‌کنیم.
حجم حاصل از دوران مستطیل آبی حول خط \(AB\) برابر \(48\pi\) است.
شکل حاصل از دوران مستطیل آبی حول خط \(AB\)، استوانه‌ای به‌شعاع قاعدهٔ \(4\) و ارتفاع \(3\) است. بنابراین، حجم آن برابر است با:
\[\pi(4)^2(3)=48\pi.\]
حجم حاصل از دوران مستطیل صورتی حول خط \(AB\) برابر \(160\pi\) است.
در تصویر بالا، فرض کنید:
\(\bullet\) حجم حاصل از دوران مستطیل خاکستری حول خط \(AB\) برابر \(V_1\)؛
\(\bullet\) و حجم حاصل از دوران مستطیل \(BCDE\) حول خط \(AB\) برابر \(V_2\) باشد.
دراین‌صورت حجم حاصل از دوران مستطیل صورتی حول خط \(AB\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&V_2-V_1\\&=\pi(6)^2(8)-\pi(4)^2(8)\\&=\pi(8)\big(6^2-4^2\big)\\&=\pi(8)(36-16)\\&=\pi(8)(20)\\&=160\pi.\end{aligned}\]
در نتیجه، حجم حاصل از دوران شکل داده شده حول خط \(AB\) برابر است با:
\[48\pi+160\pi=208\pi.\]
چون در صورت مسئله \(\pi=3\) در نظر گرفته شده است(!!)، پس پاسخ برابر است با:
\[208\times3=624.\]
در راه‌حل تمرین‌های بالا، تصویر متحرکِ شکل‌های حاصل از دوران، ساخته شده است. حتماً ببینید.
مکعبی به طول یال \(a\) مفروض است. \(3\) برش به‌موازات یکی از وجه‌های آن چنان می‌زنیم که مکعبمستطیلهای مساوی ایجاد شوند. نسبت مساحت کل مکعب اولیه به مجموع مساحت‌های کل این مکعب‌‌مستطیل‌ها چقدر است؟
مساحت یک وجه مکعب اولیه، برابر \(a^2\) است. پس مساحت کل آن برابر است با:
\[6a^2.\]
مساحت‌های کل مکعبمستطیلهای ایجاد شده برابر \(12a^2\) است.
وقتی \(3\) برش به‌موازات یکی از وجه‌های مکعب چنان می‌زنیم که مکعبمستطیلهای مساوی ایجاد شوند، \(6\) وجه مربعی به‌ضلع \(a\)، به مساحت کل مکعب اولیه اضافه می‌شود. (وجه‌های زرد رنگ شکل زیر) در نتیجه، مجموع مساحت‌های کل این مکعب‌‌مستطیل‌ها برابر است با:
\[6a^2+6a^2=12a^2.\]
پس نسبت مساحت کل مکعب اولیه به مجموع مساحت‌های کل این مکعب‌‌مستطیل‌ها برابر است با:
\[\frac{6a^2}{12a^2}=\frac{1}{2}.\]
مهران \(64\) عدد مکعب به‌ضلع یک و به‌رنگ سفید دارد. او با همهٔ آنها یک مکعب جدید می‌سازد و آن را در رنگ قرمز می‌اندازد. بعد از خشک شدن رنگ، مجدداً همهٔ این مکعب‌ها را از هم جدا می‌کند. تعیین کنید در این صورت او چند مکعب به‌ضلع \(1\) دارد که حداقل \(1\) وجه آن قرمز باشد؟
مهران یک مکعب توپر \(4\times4\times4\) ساخته و آن را داخل رنگ قرمز انداخته است. پس، مکعب \(2\times2\times2\) داخل آن رنگ نمیشود و بقیهٔ مکعب‌های به‌ضلع \(1\)، حداقل یک وجه‌شان قرمز می‌شود. در نتیجه، پاسخ مسئله برابر است با:
\[\begin{aligned}&4\times4\times4-2\times2\times2\\&=64-8\\&=56.\end{aligned}\]
مسئلهٔ مشابه
تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۲ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را حتماً حل کنید. در این تمرین سؤال‌های چالش‌برانگیزی وجود دارد که تفکر دربارهٔ آنها برای افراد تیزهوش و علاقه‌مند، جذاب است.
با \(9\) عدد چوب‌کبریت به‌طول \(4\) سانتی‌متر، حداکثر چند مثلث متساوی‌الاضلاع به‌ضلع \(4\) می‌توان ساخت؟
دو تا چهاروجهی منتظم را از یک وجه به‌هم بچسبانید. شکل زیر، دو تا چهار وجهی منتظم را که از یک وجه به‌هم چسبیده‌اند، نشان می‌دهد.
در شکل بالا، سه مثلث روبه بالا (مثلث‌های آبی)، سه مثلث رو به پایین (مثلث‌های قرمز) و یک مثلث در محل چسبیدن دو چهاروجهی به‌هم، وجود دارد. پس در مجموع، \(7\) مثلث ساخته شده است.
مونا رأس‌های یک مکعب را به‌طور تصادفی با اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، و \(8\) نام‌گذاری کرده است. او اعداد رأس‌های هر وجه مکعب را به‌ترتیب از کوچک به بزرگ نوشته است:
\[\begin{aligned}&1,2,5,8\\&3,4,6,7\\&2,4,5,7\\&1,3,6,8\\&2,3,7,8\\&1,4,5,6.\end{aligned}\] (هر سطر بالا، اعداد رأس‌های یکی از وجه‌های مکعب مونا است.)
روی دورترین رأس از رأس \(2\) چه عددی است؟
برای حل این مسئله نیازی به رسم شکل نیست.
دورترین رأس از رأس \(2\)، رأسی است که وجه مشترکی با رأس \(2\) ندارد. رأس \(2\) در وجه‌های \((1,2,5,8)\)، \((2,4,5,7)\)، و \((2,3,7,8)\) آمده است. تنها عددی که در این سه وجه نیامده، عدد \(6\) است.
در زیر، برای زیبایی(!) مکعب مونا رسم شده است.
مجموع تعداد نقاط موجود روی وجه‌های مقابل در یک تاس سالم برابر \(7\) است. چهار تاس سالم را مطابق شکل زیر روی‌هم چیده‌ایم. کدام عدد (عددهای) زیر می‌تواند مجموع تعداد نقاط وجه‌هایی باشد که بین دو تاسِ روی‌هم قرار دارد؟
\[19,22,24,26,28,30\]
در پایینی‌ترین تاس، دو وجهی که دیده می‌شوند، \(2\) و \(4\) نقطه دارند. چون مجموع تعداد نقاط دو وجه مقابل برابر \(7\) است، پس وجه‌های مقابل این دو وجه، به‌ترتیب \(5\) و \(3\) نقطه دارند. بنابراین، وجه بالایی این تاس (که توسط تاس بالایی پنهان شده)، \(1\) یا \(6\) نقطه دارد.
در دومین تاس از پایین، مجموع نقاط موجود بر روی وجه‌های بالا و پایین، برابر \(7\) نقطه است. به طور مشابه، در سومین تاس از پایین، مجموع تعداد نقاط موجود روی وجه‌های بالا و پایین برابر \(7\) نقطه است.
در نهایت، در تاس بالایی (چهارمین تاس از پایین) وجه بالایی \(3\) نقطه دارد، پس وجه مقابل آن \(4\) نقطه دارد.
بنابراین، مجموع نقطه‌های وجه‌هایی که بین دو تاسِ روی‌هم قرار دارند، یکی از حالت‌های زیر است:
\[\begin{aligned}&1 + 7 + 7 + 4 = 19\\&6+7+7+4=24.\end{aligned}\]
چهارده مکعب به طول یال \(1\) سانتی‌متر را به‌صورت زیر، به‌هم چسبانده‌ایم.
شکل داده شده از چهارده مکعب تشکیل شده است که اگر آنها را به‌هم نچسبانده بودیم، مساحت کل برابرِ \[14\times6=84\] سانتی‌متر مربع بود.
اما همان‌طور که در شکل بالا می‌بنید، وجه‌های قرمز را به وجه‌های کناری آنها و وجه‌های سبز را به وجه‌های بالا یا پایین آنها چسبانده‌ایم. (توجه کنید که وجه‌های زیرین سه مکعب سطر سوم نیز، سبز هستند.) بنابراین، مساحت کل شکل (پس از چسباندن مکعب‌ها) برابر است با:
\[\begin{aligned}&84-{\color{red}10\times2}-{\color{green}9\times2}\\&=84-{\color{red}20}-{\color{green}18}\\&=46.\end{aligned}\]
اگر یک مکعب با ابعاد \(3\times3\times3\) داشته باشیم که به‌اندازۀ یک مکعب با ابعاد \(1\times1\times1\) از یک طرف و به‌اندازۀ یک مکعب با ابعاد \(2\times2\times2\) از طرف دیگر، مشابه شکل زیر، از آن جدا کنیم، مساحت کل شکل نهایی چقدر خواهد بود؟
مکعب اصلی دارای \(6\) وجه یکسان است، که مساحت هر کدام از آنها برابر است با:\[3\times 3=9.\]بنابراین، مساحت کل مکعب اصلی برابر است با:\[6\times 9=54.\] در نتیجه، مساحت کل شکل نهایی نیز برابر است با \(54\).
گوشۀ پایین و جلوی شکل نهایی را که در شکل \(1\) نشان داده شده، در نظر بگیرید.
با بریدن یک مکعب \(1\times1\times1\)، سه وجه جدید ایحاد می‌شود که این سه وجه \(RSPQ\)، \(RSTU\) و \(SPWT\) نامیده‌ایم. سپس سطوحی از مکعب اصلی را که دیگر وجود ندارند، در نظر می‌گیریم. برای تجسم کردن این قسمت، گوشۀ \(V\) را از مکعب اصلی جایگزین کرده و خط‌های \(QV\)، \(UV\) و \(WV\)، را همانند شکل \(2\) رسم می‌کنیم.
توجه کنید که بریدن یک مکعب با ابعاد \(1\times1\times1\) از گوشۀ مکعب اصلی، سه وجه مربعی \(RSPQ\)، \(RSTU\)، و \(SPWT\) را ایجاد می‌کند که جزئی از مکعب اصلی نبودند. این سه وجه، نصف مساحت سطح مکعب \(PQRSTUVW\) را تشکیل می‌دهند (زیرا \(3\) وجه از \(6\) وجه با ابعاد یکسان از یک مکعب هستند). با این حال، با بریدن مکعب \(1\times1\times1\) از گوشۀ مکعب اصلی، \(3\) وجه \(UTWV\)، \(QPWV\)، و \(RQVU\) حذف شده‌اند. این سه وجه، نصف دیگر مساحت مکعب \(PQRSTUVW\) را تشکیل می‌دهند. بنابراین، مساحت کل به‌دست آمده پس از حذف مکعب با ابعاد \(1\times1\times1\) برابر است با کل مساحت مساحت حذف شده هنگام بریدن همان مکعب.
همین استدلال را می‌توان برای بریدن مکعب با ابعاد \(2\times2\times2\) از گوشۀ بالا سمت چپ مکعب اصلی، نیز در نظر گرفت. بنابراین، مساحت کل شکل نهایی برابر است با مساحت کل مکعب اصلی و برابر است با \(54\).
چندتا از اعداد فرد بین ۲۰ تا ۴۰ را نمی‌توان به صورت جمع سه تا عدد اول نوشت؟
(اجازهٔ استفاده از اعداد اول تکراری دارید. برای مثال :$21=7+7+7$)
حدس گلدباخ در صفحهٔ ۸۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم آمده است:
اگر هریک از اعداد فرد بین ۲۰ تا ۴۰ را منهای ۳ کنیم، حاصل عددی زوج است. این عدد زوج را می‌توان به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشت؛ زیرا می‌دانیم حدس گلدباخ برای اعداد زوج بزرگ‌تر از ۲ و کوچک‌تر از ۴۰ درست است.
برای مثال، عدد ۲۹ را می‌توان به‌صورت مجموع سه عدد اول نوشت:
\[\begin{aligned}29&=3+26=3+13+13.\end{aligned}\] پس هیچ‌کدام از اعداد فرد بین \(20\) و \(40\) را نمی‌توان به‌صورت جمع سه‌تا عدد اول نوشت.
در نتیجه، مجموع مساحت‌های کل این مکعب‌‌مستطیل‌ها برابر است با:
