درسنامهٔ دنباله – جلسهٔ دوم – هندسه و موسیقی اعضای یک دنباله!

برای اینکه درسنامهٔ «هندسه و موسیقی اعضای یک دنباله!» را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟

مثال ۱. شش جملهٔ اول هریک از دنباله‌های زیر را روی یک نمودار نشان دهید.
الف)
\[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots,\frac{1}{n},\dots\]

ب)
\[1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},-\frac{1}{6},\dots,\frac{(-1)^{n+1}}{n},\dots\]

الگوی خطی

در تعریف بالا، منظور از اینکه \(a\) و \(b\) «عدد ثابت» هستند، چیست؟

فرض کنید که من چندتا دنباله مثال زده باشم:
\[\begin{aligned}a_n&=n\\b_n&=\sqrt{5}n\\c_n&=2n\\d_n&=\frac{3}{2}n\\e_n&=-8n\\\quad\vdots&\end{aligned}\]
حالا فرض کنید می‌خواهم دربارهٔ همهٔ دنباله‌هایی حرف بزنم که در همهٔ آنها، مشابه دنباله‌های بالا، ضریب \(n\) یک عددی حقیقی است؛ در این‌صورت می‌گویم:
«یک دنباله در نظر بگیرید که جملهٔ عمومی آن \(an\) باشد که \(a\) یک عدد حقیقی دلخواه و ثابت است.»
درواقع، در تعریف الگوی خطی، \(a\) و \(b\) نامی است که روی ضرایب چندجمله‌ای درجه ۱ گذاشته‌ایم.

چرا دنبالهٔ \(t_n=an+b\) الگوی خطی نام‌گذاری شده است؟

می‌توان تعدادی از جمله‌های یک دنباله را در یک نمودار نشان داد. برای مثال، دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید.
\[1,3,5,7,9,11,\dots,2n-1,\dots\]
در نمودار زیر، شش جملهٔ اول دنبالهٔ بالا نشان داده شده است.

همهٔ نقاط تصویر بالا روی یک خط راست قرار دارند. آیا می‌توانید معادلهٔ این خط را بنویسید؟!
فرمول $y=ax+b$ را با $t_n=an+b$ مقایسه می‌کنیم:

رابطهٔ $y=ax+b$، معادلهٔ یک خط با شیب $a$ و عرض از مبدأ $b$ است و $x$ یک عدد حقیقی است.

در رابطهٔ $t_n=an+b$، $n$ یک عدد طبیعی است.

بنابراین، در رابطهٔ $t_n=an+b$، نقاطی از خط $y=ax+b$ را انتخاب می‌کنیم که $x$ آنها یک عدد طبیعی است. برای مثال، دنبالهٔ $t_n=2n-1$ را با خط $y=2x-1$ مقایسه کنید.

مثال ۲. کدام دنباله‌های زیر، الگوی خطی هستند؟ پنج جملهٔ اول هریک از آنها را روی نمودار نشان دهید.
الف) \(a_n=6n-3\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(a_n=6n-3\) یک الگوی خطی است که در آن \(a=6\) و \(b=-3\).

ب) \(b_n=2^n\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(b_n=2^n\) یک الگوی خطی نیست.

ج) \(c_n=(n+1)^2-n^2\)

چون:
\[\begin{aligned}c_n&=(n+1)^2-n^2\\&=n^2+2n+1-n^2\\&=2n+1\end{aligned}\]
پس با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(c_n\) یک الگوی‌ خطی است که در آن \(a=2\) و \(b=1\).

د) \(d_n=\frac{4}{2n+1}\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ‌ \(d_n\) یک الگوی خطی نیست.

هـ) \(e_n=4n+2(-1)^n\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(e_n\) یک الگوی خطی نیست.

و) \(f_n=3\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(f_n\) یک الگوی خطی است که در آن \(a=0\) و \(b=3\).

ز) \(g_n=n^2-1\)

با توجه به رابطهٔ \(t_n=an+b\)، دنبالهٔ \(g_n\) یک دنبالهٔ خطی نیست.

مثال ۳. اگر جملۀ پنجم یک الگوی خطی $17$ و جملۀ دوازدهم آن $52$ باشد، آن‌وقت جملۀ عمومی این الگوی خطی را به‌دست آورید.

دنبالهٔ ریکامن

سعی کنید قانون دنبالهٔ زیر را حدس بزنید.
\[\begin{aligned}&0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, \\&\;24, 8, 25, 43, 62,42, 63, 41, 18, 42, 17, 43,\\&\; 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39,\\&\; 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33,\\&\; 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27,\\&\; 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155,\dots\end{aligned}\]
در ویدئوی زیر، قانون دنبالهٔ بالا شرح داده می‌شود؛ همچنین، شکل این دنباله را می‌بینید و آهنگ آن را می‌شنوید!

فهرست درسنامهٔ الگو و دنباله

با کلیک روی هریک از لینک‌های زیر، صفحهٔ مربوطه باز خواهد شد.

جلسهٔ اول: تعریف دنباله تمرین‌های جلسهٔ‌ اول جلسهٔ دوم: هندسه و موسیقی اعضای یک دنباله! جلسهٔ سوم: دنبالهٔ حسابی تمرین‌های جلسهٔ‌ سوم جلسهٔ چهارم: واسطهٔ حسابی جلسهٔ پنجم: دنبالهٔ هندسی تمرین‌های جلسهٔ‌ پنجم جلسهٔ ششم: واسطهٔ هندسی جلسهٔ هفتم: تمرین‌های تکمیلی