برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
اتحاد چاق و لاغر
اگر \(A\) و \(B\) دوتا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی‌های زیر اتحاد هستند و به آن‌ها اتحاد چاق و لاغر می‌گویند.
\[\begin{aligned}&({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}^2+{\color{blue}A}{\color{red}B}+{\color{blue}B}^2)={\color{red}A}^3-{\color{blue}B}^3\\&({\color{red}A}+{\color{blue}B})({\color{red}A}^2-{\color{blue}A}{\color{red}B}+{\color{blue}B}^2)={\color{red}A}^3+{\color{blue}B}^3\end{aligned}\]
چرا تساوی‌های بالا، اتحاد هستند؟
\[\begin{aligned}&(A-B)(A^2+AB+B^2)\\&=A(A^2+AB+B^2)-B(A^2+AB+B^2)\\&=A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3\\&=A^3-B^3.\\[10pt]&(A+B)(A^2-AB+B^2)\\&=A(A^2-AB+B^2)+B(A^2-AB+B^2)\\&=A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3\\&=A^3+B^3.\end{aligned}\]
مثال ۱. با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، هریک از عبارتهای زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید.
الف) \((x+1)(x^2-x+1)\)
\[\begin{aligned}&(x+1)(x^2-x+1)\\&=({\color{red}x}+{\color{blue}1})\big({\color{red}x}^2-({\color{red}x})({\color{blue}1}\big)+{\color{blue}1}^2\big)\\&={\color{red}x}^3+{\color{blue}1}^3\\&=x^3+1.\end{aligned}\]
ب) \((2y-3)(4y^2+6y+9)\)
\[\begin{aligned}&(2y-3)(4y^2+6y+9)\\&=({\color{red}2y}-{\color{blue}3})\big(({\color{red}2y})^2+({\color{red}2y})({\color{blue}3})+({\color{blue}3})^2\big)\\&=({\color{red}2y})^3-({\color{blue}3})^3\\&=8y^3-27.\end{aligned}\]
ج) \(\big(5+\sqrt[3]{2}u\big)\big(\sqrt[3]{4}u^2+25-5\sqrt[3]{2}u\big)\)
\[\begin{aligned} &\big(5+\sqrt[3]{2}u\big)\big(\sqrt[3]{4}u^2+25-5\sqrt[3]{2}u\big)\\&=\Big({\color{red}5}+{\color{blue}\sqrt[3]{2}u}\Big)\Big(\big({\color{blue}\sqrt[3]{2}u}\big)^2+({\color{red}5})^2-({\color{red}5})({\color{blue}\sqrt[3]{2}u})\Big)\\&=\big({\color{red}5}\big)^3+\big({\color{blue}\sqrt[3]{2}u}\big)^3\\&=125+2u^3.\end{aligned}\]
د) \(\big(a^2-4\big)\big(a^4+4a^2+16\big)\)
\[\begin{aligned} &\big(a^2-4\big)\big(a^4+4a^2+16\big)\\ &=\big({\color{red}a^2}-{\color{blue}4}\big)\big(({\color{red}a^2})^2+({\color{red}a^2})({\color{blue}4})+({\color{blue}4})^2\big)\\&=({\color{red}a^2})^3-({\color{blue}4})^3\\&=a^6-64.\end{aligned}\]
تجزیه با استفاده از اتحاد چاق و لاغر
می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&{\color{red}A}^3-{\color{blue}B}^3=({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}^2+{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2)\\&{\color{red}A}^3+{\color{blue}B}^3=({\color{red}A}+{\color{blue}B})({\color{red}A}^2-{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2).\end{aligned}\]برای مثال، با استفاده از اتحاد چاقولاغر، چندجمله‌ای \(x^3-8\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&x^3-8\\&={\color{red}x}^3-\big({\color{blue}2}\big)^3\\&=\big({\color{red}x}-{\color{blue}2}\big)\big({\color{red}x}^2+({\color{red}x})({\color{blue}2})+({\color{blue}2})^2\big)\\&=(x-2)(x^2+2x+4)\end{aligned}\]
مثال ۲. با کمک ضرب لاغر در هریک از عبارتهای زیر، اتحادی چاق و لاغر بسازید.
الف) \(x^2+2x+4\)
چون:
\[\begin{aligned}&x^2+2x+4\\&={\color{red}x}^2+{\color{blue}2}{\color{red}x}+{\color{blue}2}^2\end{aligned}\]پس عبارت لاغر، \(x-2\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}x}^2+{\color{blue}2}{\color{red}x}+{\color{blue}2}^2\Big)\Big({\color{red}x}-{\color{blue}2}\Big)={\color{red}x}^3-{\color{blue}2}^3\\&\Rightarrow(x^2+2x+4)(x-2)=x^3-8.\end{aligned}\]
ب) \(9x^2-12xy+16y^2\)
چون:
\[\begin{aligned}&9x^2-12xy+16y^2\\&={\color{red}(3x)}^2-{\color{red}(3x)}{\color{blue}(4y)}+{\color{blue}(4y)}^2\end{aligned}\] پس عبارت لاغر، \(3x+4y\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}(3x)}^2-{\color{red}(3x)}{\color{blue}(4y)}+{\color{blue}(4y)}^2\Big)\Big({\color{red}3x}+{\color{blue}4y}\Big)={\color{red}(3x)}^3+{\color{blue}(4y)}^3\\&\Rightarrow(9x^2-12xy+16y^2)(3x+4y)=27x^3+64y^3.\end{aligned}\]
ج) \(x^4+x^2+1\)
چون:
\[\begin{aligned}&x^4+x^2+1\\&={\color{red}(x^2)}^2+{\color{red}(x^2)}{\color{blue}(1)}+{\color{blue}1}^2\end{aligned}\]پس عبارت لاغر، \(x^2-1\) است. و اتحاد خواسته شده اینگونه ساخته میشود:
\[\begin{aligned}&\Big({\color{red}(x^2)}^2+{\color{red}(x^2)}{\color{blue}(1)}+{\color{blue}1}^2\Big)\Big({\color{red}x^2}-{\color{blue}1}\Big)={\color{red}(x^2)}^3-{\color{blue}1}^3\\&\Rightarrow(x^4+x^2+1)(x^2-1)=x^6-1.\end{aligned}\]
مثال ۳. با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \(27x^3+8\)
\[\begin{aligned}&27x^3+8\\&=({\color{red}3x})^3+({\color{blue}2})^3\\&=\big({\color{red}3x}+{\color{blue}2}\big)\big(({\color{red}3x})^2-({\color{red}3x})({\color{blue}2})+({\color{blue}2})^2\big)\\&=(3x+2)(9x^2-6x+4).\end{aligned}\]
ب) \(y^9-64\)
\[\begin{aligned}&y^9-64\\&=({\color{red}y^3})^3-({\color{blue}4})^3\\&=\big({\color{red}y^3}-{\color{blue}4}\big)\big(({\color{red}y^3})^2+({\color{red}y^3})({\color{blue}4})+({\color{blue}4})^2\big)\\&=\big(y^3-4\big)\big(y^6+4y^3+16\big)\end{aligned}\] حال، با استفاده از اتحاد چاقولاغر، \(y^3-4\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned} &y^3-4\\&=({\color{green}y})^3-({\color{orange}\sqrt[3]{4}})^3\\&=\big({\color{green}y}-{\color{orange}\sqrt[3]{4}}\big)\big(({\color{green}y})^2+({\color{green}y})({\color{orange}\sqrt[3]{4}})+({\color{orange}\sqrt[3]{4}})^2\big)\\&=\big(y-\sqrt[3]{4}\big)\big(y^2+\sqrt[3]{4}y+2\sqrt[3]{2}\big)\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&y^9-64\\&=\big(y^3-4\big)\big(y^6+4y^3+16\big)\\&=\big(y-\sqrt[3]{4}\big)\big(y^2+\sqrt[3]{4}y+2\sqrt[3]{2}\big)\big(y^6+4y^3+16\big).\end{aligned}\]
ج) \(\frac{8}{27}k^3-\frac{1}{64}\)
\[\begin{aligned}&\frac{8}{27}k^3-\frac{1}{64}\\[7pt]&=\Big({\color{red}\frac{2}{3}k}\Big)^3-\Big({\color{blue}\frac{1}{4}}\Big)^3\\[7pt]&=\Big({\color{red}\frac{2}{3}k}-{\color{blue}\frac{1}{4}}\Big)\Big(\big({\color{red}\frac{2}{3}k}\big)^2+\big({\color{red}\frac{2}{3}k}\big)\big({\color{blue}\frac{1}{4}}\big)+\big({\color{blue}\frac{1}{4}}\big)^2\Big)\\[7pt]&=\Big(\frac{2}{3}k-\frac{1}{4}\Big)\Big(\frac{4}{9}k^2+\frac{1}{6}k+\frac{1}{16}\Big)\end{aligned}\]
د) \((z-1)^3+125\)
\[\begin{aligned}&(z-1)^3-125\\&={\color{red}(z-1)}^3-{\color{blue}5}^3\\&=\big({\color{red}(z-1)}-{\color{blue}5}\big)\big({\color{red}(z-1)}^2+{\color{red}(z-1)}({\color{blue}5})+({\color{blue}5})^2\big)\\&=\big(z-6\big)\big(z^2-2z+1+5z-5+25\big)\\&=\big(z-6\big)\big(z^2+3z+21\big)\end{aligned}\]
مثال ۴. به کمک فاکتورگیری و اتحاد چاق و لاغر، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \(2u^3-54\)
\[\begin{aligned}&2u^3-54\\&=2(u^3-27)\\&=2(u-3)(u^2+3u+9).\end{aligned}\]
ب) \(2x^4+27x\)
\[\begin{aligned}&2x^4+27x\\&=x(2x^3+27)\\&=x\big(\sqrt[3]{2}x+3\big)\big(\sqrt[3]{4}x^2+3\sqrt[3]{2}x+9\big).\end{aligned}\]
ج) \((y+1)^{4}-y-1\)
\[\begin{aligned}&(y+1)^4-y-1\\&=(y+1)^{4}-(y+1)\\&=(y+1)\big((y+1)^3-1\big)\\&=(y+1)\big((y+1)-1\big)\big((y+1)^2+(y+1)(1)+1\big)\\&=(y+1)(y)(y^2+2y+1+y+1+1)\\&=(y+1)(y)(y^2+3y+3).\end{aligned}\]
مثال ۵. به کمک اتحاد مزدوج و اتحاد چاق و لاغر، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \(x^6-1\)
\[\begin{aligned}&x^6-1\\&=(x^3-1)(x^3+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).\end{aligned}\]
ب) \(x^{12}-1\)
\[\begin{aligned}&x^{12}-1\\&=(x^6-1)(x^6+1)\\&=(x^3-1)(x^3+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1).\end{aligned}\] با استفاده از ایدهای که در
جلسهٔ هجدهم گفته شد، می‌توان \(x^4-x^2+1\) را نیز تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&x^4-x^2+1\\&={\color{blue}x^4}-x^2+{\color{blue}1}+{\color{blue}2x^2}-2x^2\\&={\color{blue}\big(x^2+1\big)^2}-3x^2\\&=\big(x^2+1-\sqrt{3}x\big)\big(x^2+1+\sqrt{3}x\big).\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&x^{12}-1\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x).\end{aligned}\]
زنگ تفریح (سریال قدیمی چاق و لاغر!)
برای تسلط بیشتر به اتحاد چاقولاغر، حتماً تمرین‌های این جلسه را حل کنید.
تمرین‌های اتحاد چاق و لاغر
سلام تمرینات خیلی عالی بودن فقط در مثال 3 تمرین (ج) در پاسخنامه اش اشکال وجود داره علامت (a+b)است که در مثال a-b نوشته شده
سلام
ممنون از همراهی شما
موردی که گفته بودید، اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.