برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
تعریف تجزیهٔ چندجملهایها
فرض کنید که \(P\) یک چندجمله‌ای باشد و یک‌جمله‌ای نباشد.
اگر بتوان \(P\) را بهصورت حاصل‌ضرب دو یا چند چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر از درجهٔ \(P\) نوشت، آن‌وقت \(P\) تجزیه شده است.
مثال ۱. در هریک از موارد زیر، تساوی داده شده یک اتحاد است. آیا سمت راست تجزیه شدهٔ سمت چپ هست؟
الف) \(x^2+2x+1=(x+1)(x+1)\)
سمت راست تجزیه شدهٔ سمت چپ است. زیرا عبارت \(x^2+2x+1\) بهصورت حاصل‌ضرب دوتا چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر نوشته شده است:
\[\begin{aligned}&x^2+2x+1={\color{blue}(x+1)}\times{\color{blue}(x+1)}\\&{\rm deg}\big(x^2+2x+1\big)=2\\&{\rm deg}\big(x+1\big)=1.\end{aligned}\]
ب) \(x^3+x^2+5=x^2(x+1)+5\)
سمت راست، تجزیه شدهٔ سمت چپ نیست. زیرا عبارت \(x^2(x+1)+5\) بهصورت حاصل‌ضرب دو یا چندتا چندجمله‌ای نیست.
ج) \(y^4+4=(y^2+2)(y^2+2)-(2y)(2y)\)
سمت راست، تجزیه شدهٔ سمت چپ نیست. زیرا عبارت \((y^2+2)(y^2+2)-(2y)(2y)\) بهصورت حاصل‌ضرب دو یا چندتا چندجمله‌ای نیست.
د) \((y+1)y+z(y+1)=(y+1)(y+z)\)
سمت راست تجزیه شدهٔ سمت چپ است. زیرا عبارت \((y+1)y+z(y+1)\) بهصورت حاصل‌ضرب دوتا چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر نوشته شده است:
\[\begin{aligned}&(y+1)y+z(y+1)={\color{blue}(y+1)}\times{\color{red}(y+z)}\\&{\rm deg}\big((y+1)y+z(y+1)\big)={\rm deg}\big(y^2+y+zy+z\big)=2\\&{\rm deg}\big(y+1\big)=1\\&{\rm deg}\big(y+z\big)=1.\end{aligned}\]
هـ) \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\)
سمت راست تجزیه شدهٔ سمت چپ است. زیرا عبارت \(x^3-x\) بهصورت حاصل‌ضرب سهتا چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر نوشته شده است:
\[\begin{aligned}&x^3-x={\color{blue}x}\times{\color{red}(x-1)}\times{\color{green}(x+1)}\\&{\rm deg}\big(x^3-x\big)=3\\&{\rm deg}\big(x\big)=1\\&{\rm deg}\big(x-1\big)=1\\&{\rm deg}\big(x+1\big)=1.\end{aligned}\]
و) \(10x-10=10(x-1)\)
با اینکه عبارت \(10(x-1)\) بهصورت حاصل‌ضرب دوتا چندجمله‌ای است:
\[{\color{blue}10}\times{\color{red}(x-1)}\]
اما درجهٔ چندجمله‌ای \(x-1\) از درجهٔ \(10(x-1)\) کمتر نیست:
\[\begin{aligned}&{\rm deg}\big(10x-10)=1\\&{\rm deg}\big(x-1\big)=1.\end{aligned}\]
پس \(10(x-1)\) تجزیه شدهٔ \(10x-10\) نیست.
مثال ۲. ابتدا بررسی کنید که آیا اعداد \(1\) یا \(-1\) ریشهٔ هریک از چندجملهایهای زیر هستند یا نه. سپس، با استفاده از رابطهٔ تقسیم و آنچه در جلسهٔ قبل آموختید، هریک از چندجملهایهای زیر را تجزیه کنید.
الف) \(15x^3+18x^2-12x-21\)
عدد \(1\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(15x^3+18x^2-12x-21\) است. زیرا:
\[\begin{aligned}&15(1)^3+18(1)^2-12(1)-21\\&=15+18-12-21\\&=0.\end{aligned}\]
پس بنابه
قضیهٔ تقسیم بر چندجملهایهای درجه \(1\)، چندجمله‌ای \(15x^3+18x^2-12x-21\) بر \(x-1\) بخش‌پذیر است. حال، با استفاده از
روش هورنر، خارجقسمت تقسیم \(15x^3+18x^2-12x-21\) بر \(x-1\) را بهدست میآوریم:
بنابراین:
\[\begin{aligned}&15x^3+18x^2-12x-21\\&=(x-1)(15x^2+33x+21).\end{aligned}\]
ب) \(5x^3+6x^2+2x+1\)
عدد \(-1\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(5x^3+6x^2+2x+1\) است. زیرا:
\[\begin{aligned}&5(-1)^3+6(-1)^2+2(-1)+1\\&=-5+6-2+1\\&=0.\end{aligned}\]
پس بنابه
قضیهٔ بخش‌پذیری بر چندجملهایهای درجه \(1\)، چندجمله‌ای \(5x^3+6x^2+2x+1\) بر \(x+1\) بخش‌پذیر است. حال، با استفاده از
روش هورنر، خارجقسمت تقسیم \(5x^3+6x^2+2x+1\) بر \(x+1\) را بهدست میآوریم:
بنابراین:
\[\begin{aligned}&5x^3+6x^2+2x+1\\&=(x+1)(5x^2+x+1).\end{aligned}\]
ج) \(x^4+3x^3+6x^2-3x-7\)
عدد \(1\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(x^4+3x^3+6x^2-3x-7\) است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(1)^4+3(1)^3+6(1)^2-3(1)-7\\&=1+3+6-3-7\\&=0.\end{aligned}\]
پس بنابه
قضیهٔ بخش‌پذیری بر چندجملهایهای درجه \(1\)، چندجمله‌ای \(x^4+3x^3+6x^2-3x-7\) بر \(x-1\) بخش‌پذیر است.
از طرفی، عدد \(-1\) نیز ریشهٔ چندجمله‌ای \(x^4+3x^3+6x^2-3x-7\) است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(-1)^4+3(-1)^3+6(-1)^2-3(-1)-7\\&=1-3+6+3-7\\&=0.\end{aligned}\]
پس با دوبار استفاده از
روش هورنر میتوانیم چندجمله‌ای داده شده را تجزیه کنیم.
حال، با روش هورنر، خارجقسمت تقسیم \(x^3+4x^2+10x+7\) بر \(x+1\) را بهدست میآوریم:
بنابراین:
\[\begin{aligned}&x^4+3x^3+6x^2-3x-7\\&=(x-1)(x^3+4x^2+10x+7)\\&=(x-1)(x+1)(x^2+3x+7).\end{aligned}\]
مثال ۳. فرض کنید \(P(x)=2x^4+7x^3-4x^2-27x-18\).
الف) نشان دهید که \(x-2\) و \(x+3\) در تجزیهٔ \(P(x)\) ظاهر می‌شوند. (یا به‌عبارت دیگر، \(x-2\) و \(x+3\) عامل‌های \(P(x)\) هستند.)
با
روش هورنر، \(P(x)\) را بر \(x-2\) تقسیم می‌کنیم:
بنابراین، تا اینجا داریم:\[\begin{aligned}&2x^4+7x^3-4x^2-27x-18\\&=(x-2)(2x^3+11x^2+18x+9).\end{aligned}\] حال، \(2x^3+11x^2+18x+9\) را بر \(x+3\) تقسیم می‌کنیم:
پس داریم:\[\begin{aligned}&2x^4+7x^3-4x^2-27x-18\\&=(x-2){\color{blue}(2x^3+11x^2+18x+9)}\\&=(x-2){\color{blue}(x+3)(2x^2+5x+3)}.\end{aligned}\]
ب) \(P(x)\) را بهصورت حاصل‌ضرب چهارتا چندجمله‌ای درجه \(1\) بنویسید.
واضح است که \(2x^2+5x+3\) بر \(x+1\) بخش‌پذیر است(؟). با تقسیم \(2x^2+5x+3\) بر \(x+1\) داریم:
پس، با توجه به قسمت «الف»، مراحل تجزیهٔ \(P(x)\) می‌تواند بهصورت زیر باشد.
\[\begin{aligned}&2x^4+7x^3-4x^2-27x-18\\&=(x-2)(2x^3+11x^2+18x+9)\\&=(x-2)(x+3){\color{red}(2x^2+5x+3)}\\&=(x-2)(x+3){\color{red}(x+1)(2x+3)}.\end{aligned}\]
ج) همهٔ ریشه‌های \(P(x)\) را بیابید.
اعداد \(2\)، \(-3\)، \(-1\)، و \(-\frac{3}{2}\) ریشه‌های \(P(x)\) هستند. زیرا:
\[\begin{aligned}&P(x)=(x-2)(x+3)(x+1)(2x+3)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+3=0\Rightarrow x=-3\\&x+1=0\Rightarrow x=-1\\&2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\cdot\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
زنگ تفریح
برای اینکه به مطالب گفته شده در این درس مسلط شوید، تمرین‌های تعریف تجزیه را حل کنید.
تمرین‌های تعریف تجزیه
سلام
در واقع نکته ی جالبی در مورد تجزیه چندجمله ای ها و اعداد اول هست. در اعداد مرکب تجزیه ، یکتا است ولی در چند جمله ای ها لزوما این طور نیست. و شاید این به خاطر تفاوت در تعریف تجزیه در مبحث چندجمله‌ای ها و اعداد اول و مرکب باشد.
سلام
در واقع، تجزیهٔ چندجملهایها هم یکتاست؛ ولی چون تعاریف دبیرستانی خیلی دقیق و ریاضیاتی نیستند، این‌طور به‌نظر می‌رسد که یکتا نیست!
قضیهٔ اساسی حساب و قضیهٔ اساسی جبر به این دو موضوع می‌پردازند. این دو قضیه، جزء مهم‌ترین قضیه‌های ریاضیات هستند.
بسیار عالی بود این جلسه، ممنون
درود برای مورد د درجه ی چند جمله ای اصلی رو بر حسب کدوم متغیر در نظر گرفتین // وقتی چند تا متغیر داریم درجه ی کدومش رو باید به عوان درجه چند جمله ای در نظر گرفت /
در مواردی که چند متغیر داریم، درجه را برحسب همهٔ متغیرها در جملهٔ با درجه بیشتر در نظر می‌گیریم. مثلاً در چندجمله‌ای \(xyz+2x+y\)، درجهٔ چندجمله‌ای برابر \(3\) است. زیرا درجهٔ جملهٔ \(xyz\) برحسب همهٔ متغیرها برابر \(3\) است.
سلام! بعد در 2x و y درجه نسبت به همه متغیر ها میشه 1 و اون xyz میشه 3 از این رو 3 رو انتخاب کردیم درسته؟
سلام
بله! در یک چندجمله‌ای، جمله‌ای که بیشترین درجه را دارد، درجهٔ آن چندجمله‌ای را مشخص می‌کند.
خیلی ممنونم