در بسیاری از کلاس‌های ریاضی، در مبحث توان، این سؤال پیش می‌آید که «صفر به توان صفر چیست؟» و معمولاً بحث و نتیجه‌گیری دربارهٔ آن، برای همه قانع‌کننده نیست. بسیاری از افراد، کتاب‌ها، و وب‌سایت‌ها اظهار نظرهایی دربارهٔ صفر به توان صفر کرده‌اند. اما یک محقق واقعی وقتی می‌خواهد پاسخی مناسب برای چنین مسائلی بیابد، ابتدا تاریخچه و بحث‌های ریاضیدانان گذشته را می‌خواند، سپس، نظر ریاضیدانان بزرگ معاصر را نیز جویا می‌شود، و در نهایت، پس از اینکه به جمع‌بندی مناسبی رسید، دربارهٔ آن مسئله اظهار نظر می‌کند.

در زیر، ابتدا ویدئویی از توضیحات دو ریاضیدان معاصر را دربارهٔ صفر به توان صفر می‌بینید. سپس، ترجمهٔ یکی از مقاله‌های مفصل دربارهٔ صفر به توان صفر را، که در سال \(2012\) منتشر شده است، خواهید خواند.

درسنامه توان

توضیحات دو ریاضیدان دربارهٔ صفر به توان صفر

تقسیم بر صفر چیست؟ صفر به توان صفر چیست؟
مت پارکر (Matt Parker)، و جیمز گریم (James Grime) در ویدئوی زیر، به این پرسش‌ها پاسخ می‌دهند.


در ادامه، قبل از اینکه ترجمهٔ مقاله‌ٔ مفصل «\(\rm What\;is\;0^0?\)» را بخوانید، می‌توانید خلاصه‌ای از این مقاله را در اینستاگرام تکمیلی ببینید.


صفر به توان صفر چیست؟

نوشتهٔ میشل هوبر (Michael Huber) و فردریک ریکی (Frederick Rickey)
منتشر شده در وب‌سایت انجمن ریاضی آمریکا (Mathematical Association of America)

مقدمه

وقتی در کتاب‌های حسابان (calculus) گفته می‌شود که \(0^0\) یک صورت مبهم است، یعنی دو تابع \(f(x)\) و \(g(x)\) وجود دارند به‌طوری‌که \(f(x)\) و \(g(x)\) هر دو به سمت صفر میل می‌کنند و باید حاصل عبارت زیر محاسبه شود.
\[\lim_{x\to0}\big(f(x)\big)^{g(x)}\] اما اگر \(0\) تنها یک عدد باشد چه؟ در چنین حالتی، برخلاف آنچه که اغلب کتاب‌های درسی می‌گویند، \(0^0\) کاملاً خوش‌تعریف است؛ و در حقیقت داریم: \[0^0=1.\]

کتاب‌های درسی در عصر حاضر

در اکثر کتاب‌های ریاضی دبیرستانی، صفر به توان صفر به عنوان یک صورت مبهم در نظر گرفته شده است. برای مثال، متن زیر در یک کتاب درسی ریاضی که در یکی از نواحی نیویورک تدریس می‌شود، آمده است:

قاعدهٔ تقسیم توان‌ها را با پایه‌های مساوی، یادآوری می‌کنیم:
\[x^a\div x^b=x^{(a-b)}\quad (x\ne0)\] اگر در عبارت بالا، شرط \(a > b\) را نداشته باشیم، و \(a=b\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&x^a\div x^b\\&=x^a\div x^a\\&=x^{(a-a)}\\&=x^0\end{aligned}\] اما \[x^a\div x^a=1\] بنابراین، برای بامعنی بودن \(x^0\) باید تعریف کنیم:\[x^0=1.\quad(x\ne0)\] چون تعریف \(x^0\) براساس تقسیم بنا شده و تقسیم بر صفر ممکن نیست، باید فرض کنیم \(x\ne0\). درواقع، عبارت صفر به توان صفر یکی از صورت‌های مبهم در ریاضی است و غیرممکن است که یک مقدار را به یک عبارت مبهم نسبت داد.

در کتا‌ب‌های حسابان استدلال زیر نوشته شده است:

فرض کنید که دو تابع \(f(x)\) و \(g(x)\) داده شده‌اند به‌طوری‌که \(\lim_{x\to a}f(x)=0\) و \(\lim_{x\to a}g(x)=0\). وقتی بخواهیم حد تابع \(\big(f(x)\big)^{g(x)}\) را در \(a\) به‌دست آوریم، می‌گوییم این یک صورت مبهم از نوع \(0^0\) است و حد می‌تواند مقادیر گوناگونی از \(f\) و \(g\) را به‌ خود بگیرد.

اما این پرسش پیش می‌آید:

«آیا می‌توان بین \(0^0\) حدی، و \(0^0\) به‌عنوان یک عدد، فرق گذاشت؟»

بحث‌ دربارهٔ صفر به توان صفر

رفتار \(0^0\) چندصد سال است که مورد بحث بوده است. لئونار اویلر (Leonhard Euler)، در کتاب «اصول جبر خود» در سال \(1770\)، چنین نوشته است:

در جمله‌های دنبالهٔ \[a^1,a^2,a^3,a^4,\dots\] هر جمله از ضرب جملهٔ قبلی در \(a\) تولید می‌شود و توان را یک واحد افزایش می‌دهد. پس هرگاه جمله‌ای از این دنباله داده شود، می‌توان با تقسیم بر \(a\)، جملهٔ قبلی را به‌دست آورد؛ زیرا این‌کار، توان را یک واحد کاهش می‌دهد. این روند نشان می‌دهد که جملهٔ قبل از \(a^1\) باید \(\frac{a}{a}\) یا همان \(1\) باشد، و با توجه به توان‌ها، فوراً نتیجه می‌گیریم که جمله‌ٔ قبل از جملهٔ اول، \(a^0\) است. در نتیجه، \(a^0\) همیشه برابر با \(1\) است. \(a\) می‌تواند مقادیری بزرگ یا کوچک بگیرد؛ حتی زمانی که \(a\) هیچ باشد، می‌توان گفت که \(a^0\) برابر با \(1\) است.

اویلر در سال \(1748\) در کتابی با عنوان «مقدمه‌ای بر آنالیز بی‌نهایت»، نوشته است:

\(a^z\) را یک تابع نمایی در نظر بگیرید که در آن، \(a\) عددی ثابت و \(z\) یک متغیر است.
اگر \(z=0\)، آنگاه \(a^0=1\). اگر \(a=0\)، آنگاه در مقدار \(a^z\) پرشی بزرگ داریم. تا زمانی که مقدار \(z\) مثبت باشد، داریم \(a^z=0\). اگر \(z=0\)، آنگاه \(a^0=1\).

اویلر لگاریتم \(y\) را تابعی از \(z\) تعریف کرده به‌طوری‌که \(a^z=y\). او با نوشتن جملهٔ «می‌دانیم مبنای لگاریتم باید عددی صحیح و بزرگ‌تر از \(1\) باشد»، از مشکل احتمالی \(0^0\) فرار کرده است.

صفر به توان صفر اویلر

تعریف توان، اغلب با بی‌دقتی انجام شده است. جرج بارون در سال \(1804\)، مقاله‌ای منتشر کرد که با این تعریف آغاز می‌شد: «توان‌های هر عدد، عبارت است از ضرب‌های متوالی که از عدد \(1\) شروع شده و به‌طور مستمر، آن عدد در خودش ضرب می‌شود.»
به‌عنوان مثال، او نوشته: «\(5^1=1\times5\) و \(5^2=1\times5\times5\) و همین‌طور تا آخر. به همین روش، توان‌های هر عدد، مانند \(x\)، را می‌توان به‌صورت
\[\begin{aligned}x^1&=1\times x\\x^2&=1\times x\times x\\x^3&=1\times x\times x\times x\\\vdots&\end{aligned}\] نمایش داد.»
بارون پس از بیان چند نتیجه، گفت: «آیا تعریف مشابهی ما را به یک راه‌حل دقیق و قابل درک برای آنچه که توان هیچ‌اُم (توان صفر) اعداد نامیده شده، راهنمایی نمی‌کند؟» و برای پاسخ به سؤال خود، از قوانین تقسیم توان (که در کتاب‌های دبیرستانی امروزی نیز هستند) اشاره کرد؛ اما یک نتیجهٔ متفاوت ارائه کرد:

اگر \(1\times x\) را به‌طور خلاصه، \(x\) در نظر بگیریم، آنگاه به کمک مفهوم تقسیم، داریم:
\[\frac{x^1}{x}=\frac{1\times x}{x}=1\] یعنی \(x^0=1\). چون در اینجا، \(x\) یک عدد دلخواه است، پس توان هیچ‌اُم هر عدد، برابر \(1\) است.

در آن مقاله، بارون نوشته‌های ویلیام امرسون (William Emerson) و جارد منسفیلد (Jared Mansfield) را دربارهٔ «هیچ» تأیید کرد و بحث‌های آن دو را یک پله جلوتر برد، و ادعا کرد که عدد \(x\) می‌تواند هر عدد خیلی بزرگ یا خیلی کوچک باشد. او نوشت:

فرض کنیم که \(x\) یک مقدار کسری از مقادیر خیلی کوچک باشد. در این‌صورت \(x\) با کاهش تدریجی از مقادیر کنونی خود، از بین اعداد خیلی کوچک عبور می‌کند تا اینکه \(x\) به هیچ برسد. واضح است که در روند کاهشِ \(x\)، مقدار \(x^0\) همواره برابر \(1\) است؛ و دقیقاً‌ در لحظه‌ای که \(x\) به هیچ تبدیل شود، \(x^0\) (یا \(0^0\)) نیز برابر \(1\) است.

البته بارون هیچ اشاره‌ای به صورت مبهم نمی‌کند و مقالهٔ خود را با این توضیح به پایان می‌رساند: «چون برای هر مقدار \(x\) داریم \(x^0=1\)، در نتیجه، لگاریتم \(1\) در هر مبنایی برابر \(0\) است.»

دونالد کنوث در صفحهٔ ۶ مقالهٔ «Two Notes on Notation»، به تاریخچهٔ بحث‌های ریاضیدانان قرن نوزدهم، دربارهٔ \(0^0\) پرداخته است:

گوگلیلمو لیبری (Guglielmo Libri) در مقاله‌ای که در سال \(1833\) چاپ کرد، \(0^0\) را برابر با \(1\) تعریف کرد. بیشتر ریاضیدانان آن زمان با این تعریف موافق بودند؛ اما آگوستین لوئیس کوشی (Augustin-Louis Cauchy) در کتاب خود با عنوان دورهٔ آنالیز، \(0^0\) را به‌همراه \(\frac{0}{0}\) و \(\infty-\infty\) در جدول عبارت‌های تعریف نشده قرار داد. شواهد نشان می‌دهد که استدلال لیبری دربارهٔ \(0^0\) برای برخی ریاضیدانان قانع‌کننده نبود. بنابراین، آگوست موبیوس (August Möbius) در سال \(1834\) مقاله‌ای در دفاع از مقالهٔ لیبری نوشت. او در این مقاله، اثباتی برای \(0^0\) ارائه کرد که بر مبنای \(\lim_{x\to{0^+}}x^x=1\) بود. مقالهٔ موبیوس، بی‌سروصدا هنگام انتشار آثار او، از سوابق تاریخی حذف شد. و ظاهراً (در قرن نوزدهم میلادی) با این نتیجه‌گیری که \(0^0\) باید تعریف نشده باشد، این بحث پایان یافته است.
اما نه، نه، ده‌هزار بار نه! هر کسی قضیهٔ دوجمله‌ای
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\] را پذیرفته باشد، باید به \(0^0=1\) معتقد باشد؛ زیرا با جایگذاری \(x=0\) و \(y=1\) در قضیهٔ دوجمله‌ای، طرف چپ آن برابر \(0^0\) و طرف راست آن برابر \(1\) است.
از طرفی، کوشی استدلال خوبی برای تعریف نشده بودن صورت حدی \(0^0\) ارائه کرد. او گفت که اگر \(f(x)\) و \(g(x)\) به‌طور مستقل به سمت صفر میل کنند، آنگاه حد \(\big(f(x)\big)^{g(x)}\) ناشناخته است. اما تعریف مقدار \(0^0\) راحت‌تر از این است که بخواهیم \(0+0\) را تعریف کنیم. کوشی و لیبری، هر دو درست می‌گفتند؛ اما لیبری و مدافعانش نمی‌دانستند که چرا حق با آنهاست.

صفر به توان صفر کوشی

صفر به توان صفر موبیوس

صفر به توان صفر کنوث

چند مثال

در سال \(1970\)، هربرت واون (Herbert Vaughan) در مقاله‌ای با عنوان «عبارت \(0^0\)»، برای به رسمیت شناختن \(0^0=1\) سه مثال زیر را ارائه کرد.

مثال ۱. فرض کنید \(|x| < 1\). در سری هندسی \[\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}\quad (1)\]برای \(x=0\) داریم: \[\begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}0^{n-1}=\frac{1}{1-0}\\&\Rightarrow0^0+0^1+0^2+0^3+\dots=1.\end{aligned}\] به گفتهٔ واون، اگر \(0^0\) مبهم باشد، سری بالا نیز بی‌معناست. علاوه بر آن اگر \(0^0\ne1\)، آنگاه رابطهٔ \((1)\) نادرست است.

مثال ۲. می‌دانیم که برای هر \(x\)،
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^x.\quad(2)\]
همه پذیرفته‌اند که \(0!=1\). بنابراین، اگر در رابطهٔ‌ \((2)\) قرار دهیم، \(x=0\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^0\\[7pt]&\Rightarrow\frac{0^0}{0!}+\frac{0^1}{1!}+\frac{0^2}{2!}+\dots=1\\[7pt]&\Rightarrow\frac{0^0}{1}=1\\[7pt]&\Rightarrow0^0=1.\end{aligned}\]

مثال ۳. واون در سومین مثال، از مفهوم عدد اصلی (cardinal number) در نظریهٔ مجموعه‌ها استفاده می‌کند. در اینجا، این مثال را با زبانی ساده‌تر شرح می‌دهیم.

فرض کنید \(A\) یک مجموعهٔ‌ \(a\)عضوی و \(B\) یک مجموعهٔ \(b\)عضوی باشد. \(A^B\) مجموعهٔ همهٔ توابع از \(B\) به \(A\) است. تعداد این توابع برابر است با \(a^b\). برای مثال، اگر \(A=\{1,2\}\) و \(B=\{x,y,z\}\)، آنگاه \(a^b=2^3\)، زیرا
\[\begin{aligned}A^B=\Big\{&\big\{(x,1),(y,1),(z,1)\big\},\\&\big\{(x,1),(y,1),(z,2)\big\},\big\{(x,1),(y,2),(z,1)\big\},\big\{(x,2),(y,1),(z,1)\big\},\\&\big\{(x,1),(y,2),(z,2)\big\},\big\{(x,2),(y,1),(z,2)\big\},\big\{(x,2),(y,2),(z,1)\big\},\\&\big\{(x,2),(y,2),(z,2)\big\}\Big\}.\end{aligned}\] تعداد توابع از یک مجموعهٔ تهی به یک مجموعهٔ تهی باید برابر با \(0^0\) باشد. از یک مجموعهٔ تهی به یک مجموعهٔ تهی فقط یک تابع وجود دارد: تابع تهی. در نتیجه، \(0^0=1\).

یک ریاضیدان در چه مواردی ممکن است بخواهد که صفر به توان صفر مبهم نباشد؟

نمایش یک تابع. تابع \(f\,(x,y)=x^y\) را در نظر بگیرید. صرف‌نظر از اینکه چه مقداری را به \(0^0\) نسبت دهیم، تابع \(x^y\) نمی‌تواند در \(x=y=0\) پیوسته باشد، چون حد \(x^y\) در امتداد خط \(x=0\) برابر \(0\) است؛ اما حد \(x^y\) در امتداد خط \(y=0\) برابر \(1\) است. پس یک انتخاب منطقی و طبیعی این است که \(0^0\) برابر با \(1\) تعریف شود.

صفر به توان صفر

نتیجه‌گیری

اگر شما با حد کار می‌کنید، آنگاه \(0^0\) یک صورت مبهم است. اما اگر با جبر معمولی سر و کار دارد، آنگاه \(0^0=1\).


 

نظر شما دربارهٔ صفر به توان صفر چیست؟

 



اطلاع فوری از کدهای تخفیف، جایزه‌ها، و کلاس‌های تابستان


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

19 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
صادق هاشم بیکی
Member
5 ماه قبل

نمیتونیم بگیم که وقتی ما هیچی رو به توان هیچی نمیرسونیم میشه 0؟
0^0 یعنی اینکه صفر بخش از یک کیک رو به صفر نفر تقسیم کنیم، که یعنی درواقع ما هیچ کاری نکردیم و جواب صفره

هیربد همتیان
Member
10 ماه قبل

سلام و خسته نباشید
در قسمت اصول جبر اویلر ۱۷۷۰، وقتی گفته میشه حتی اگر هیچ باشه، خب ما یه کسر صفر صفرم نداریم؟ چجوری اینجا توجیه شده؟
یا مثلا بخش بارون (کمی قبل امرسون)، این عدد دلخواه اگر صفر باشه طبق رابطه‌ی بالا، بازم کسر صفر صفرم داریم.
خب این استفاده از تقسیم نیست و صفر صفرم تعریف نشده نیست؟
و اینکه من با استفاده از تساوی $0^0=1$، به تناقض می‌رسم.
$\frac{0^0}{0^0}=\frac{1}{1}=1$
اما از طرفی:
$\frac{0^0}{0^0}=(\frac{0}{0})^{0}$
خب صفر صفرم تعریف نشده هستش و به توان صفرش هم همینطور.
چطور این کسر ما همزمان حاصلش یکه و همزمان تعریف نشدس؟

Ronika
مهمان
1 سال قبل

هر چقدر از عالی بودن سایتتون بگم کمه پاسخنامه های تکمیلی واقعا تشریحی هستند و بخش های ویدیو های کوتاه/درسنامه هفته مسئله های اینایا خیلی جالب و کامل هستند
خدا قوت
ممنون از شما

محمد علی
مهمان
2 سال قبل

عالی بود

Yalda
Member
2 سال قبل

ویدیو عالی بود ⁦⁦

محمد
مهمان
3 سال قبل

کاش بعضی ها اول مطلب رو میخوندند بعد اگه چیزی فهمیدند میگفتند
با این نظریه های خفنی که توسط دکتران داده شد موریس کلاین داره خودزنی میکنه

شایا قاسمی
Member
3 سال قبل

صفر به توان صفر یعنی صفر رو صفر بار در خودش ضرب کنیم یعنی جواب خود صفر

آرش یوسف نژاد
Member
پاسخ به  شایا قاسمی
2 سال قبل

خیر اینطور نیست. اگر اینجوری است چرا n^0 = 1 ( n!=0) ؟

محمد فواد علی زاده
Member
3 سال قبل

از دو بعد میشه به مسعله نگاه کرد
بعد اول نظریه جواب ما مبهم است چون چیزی نداریم که توان صفر را برایش اجرا کنیم
اما بعد دووم به ما اثبات میکنه که برا هیچ چیز همه چیزو در نظر بگیریم
از این رو اگر دوجواب رو القا کنیم نظریه ی اول منطقی تر نسبت به دومیست

علی پوراصغر
Member
3 سال قبل

عالی بود ممنون از لطفتون
فقط صفر به توان صفر یا تقسیم بر صفر مبهم است.

سیدعلی موسوی
Member
3 سال قبل

صفر به توان صفر مبهم است.چون هیچ چیز ندارید که به توان 0 برسانید

...........
Member
3 سال قبل

۳¹=۳
۲¹=۲
۱¹=۱
۰¹=۰
پس نتیجه میشود صفر به توان یک است

...!
مهمان
پاسخ به  ...........
3 سال قبل

کاش نوشته رو میخوندی بعد نظر میدادی

کنعان ابراهیم پور
Member
3 سال قبل

واقعا جالب بود ویدیو

شاهین حیدری
Member
3 سال قبل

ویدیوتون خیلی جذاب بود ، ممنونم که این اطلاعات رو در اختیارمون گذاشتین ??????

سروش پیر خوش سیرت
Member
3 سال قبل

جالب بود