برای اینکه درسنامه توان را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
مثال ۱. در رایانه، \(1\) بایت \(8\) بیت است. \(1024\) بایت \(1\) کیلوبایت، \(1024\) کیلوبایت \(1\) مگابایت، \(1024\) مگابایت \(1\) گیگابایت، و \(1024\) گیگابایت برابر \(1\) ترابایت است. \(1\) ترابایت چند بیت است؟
\[\begin{aligned}&8\times1024\times1024\times1024\times1024\\&=8796093022208.\end{aligned}\]
پرسش ۱. آیا می‌توان پاسخ مسئلهٔ بالا را با رقم‌های کمتری نمایش داد؟
تعریف توان طبیعی
اگر \(a\) یک عدد حقیقی و \(n\) یک عدد طبیعی باشد، آنگاه \[\overset{\text{بار}n}{\overbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}}\] را با نماد \(a^n\) نمایش می‌دهند و می‌خوانند \(a\) به توان \(n\). در \(a^n\)، اعداد \(a\) و \(n\) را به‌ترتیب پایه و توان (نما) می‌نامند.
مثال ۲. در هریک از عبارت‌های زیر، ابتدا پایه و توان را مشخص کنید. سپس، حاصل عبارت را به‌دست آورید.
الف) \(\big(\dfrac{1}{3}\big)^5\)
در \((\frac{1}{3})^5\)، پایه و توان به‌ترتیب \(\frac{1}{3}\) و \(5\) هستند.
\[\begin{aligned}&\big(\frac{1}{3}\big)^5=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{243}.\end{aligned}\]
ب) \((-2)^4\)
در \((-2)^4\)، پایه و توان به‌ترتیب \(-2\) و \(4\) هستند.
\[\begin{aligned}(-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16.\end{aligned}\]
ج) \(4^3\)
در \(4^3\)، پایه و توان به‌ترتیب \(4\) و \(3\) هستند.
\[4^3=4\times4\times4=64.\]
د) \(\big(\sqrt{3}\big)^6\)
در \(\big(\sqrt{3}\big)^6\)، پایه و توان به ترتیب \(\sqrt{3}\) و \(6\) هستند.
\[\big(\sqrt{3}\big)^6=\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)\big(\sqrt{3}\big)=27.\]
هـ) \(\big(-1\big)^5\)
در \((-1)^5\)، پایه و توان به ترتیب \(-1\) و \(5\) هستند.
\[(-1)^5=(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=-1.\]
و) \(0^2\)
در \(0^2\)، پایه و توان به ترتیب \(0\) و \(2\) هستند.
\[0^2=0\times0=0.\]
مثال ۳. در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا پایهٔ هر توان را مشخص کنید و سپس، حاصل عبارت را به‌دست آورید.
الف) \(3^6\times 3^5\times7^4\)
در \(3^6\times 3^5\times7^4\)، پایهٔ \(6\)، \(5\)، و \(4\) به‌ترتیب \(3\)، \(3\)، و \(7\) است.
\[\begin{aligned}&3^6\times 3^5\times7^4\\&=(3)(3)(3)(3)(3)(3)\times(3)(3)(3)(3)(3)\times(7)(7)(7)(7)\\&=729\times243\times2401\\&=425329947.\end{aligned}\]
ب) \(6^1\times2^5\)
در \(6^1\times2^5\)، پایهٔ \(1\) و \(5\) به‌ترتیب \(6\) و \(2\) هستند.
\[\begin{aligned}&6^1\times2^5\\&=6\times(2)(2)(2)(2)(2)\\&=6\times32\\&=192.\end{aligned}\]
ج) \(-4^3\)
در \(-4^3\)، پایهٔ \(3\)، عدد \(4\) است.
\[-4^3=-(4)(4)(4)=-64.\]
د) \(9-2^4-(3\times7)^2\)
در \(9-2^4-(3\times7)^2\)، پایهٔ \(4\) و \(2\) به‌ترتیب \(2\) و \(3\times 7\) است.
\[\begin{aligned}&9-2^4-(3\times7)^2\\&=9-(2)(2)(2)(2)-(3\times7)(3\times7)\\&=9-16-441\\&=-7-441\\&=-448.\end{aligned}\]
هـ) \(\dfrac{6^5}{4^3}\)
در \(\dfrac{6^5}{4^3}\)، پایهٔ \(5\) و \(3\) به‌ترتیب \(6\) و \(4\) است.
\[\begin{aligned}\frac{6^5}{4^3}&=\frac{(6)(6)(6)(6)(6)}{(4)(4)(4)}\\[7pt]&=\frac{(3)(3)(3)(3)(3)}{2}\\[7pt]&=\frac{243}{2}.\end{aligned}\]
و) \(-11^2\times(-3)^4\)
در \(-11^2\times(-3)^4\)، پایهٔ \(2\) و \(4\) به‌ترتیب \(11\) و \(-3\) است.
\[\begin{aligned}-11^2\times(-3)^4&=-(11)(11)\times(-3)(-3)(-3)(-3)\\&=-121\times81\\&=-9801.\end{aligned}\]
ز) \(9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2\)
در \(9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2\) پایهٔ \(3\)، \(4\)، و \(2\) به‌ترتیب \(10\)، \(5\)، و \(3^5+5\) است. و داخل پرانتز، پایهٔ \(5\) عدد \(3\) است.
\[\begin{aligned}&9-10^{3}\times5^4+\big(3^5+5)^2\\&=9-(10)(10)(10)\times(5)(5)(5)(5)+\big((3)(3)(3)(3)(3)+5\big)^2\\&=9-1000\times625+\big(243+5)^2\\&=9-625000+248^2\\&=9-625000+(248)(248)\\&=9-625000+61504\\&=-624991+61504\\&=-563487.\end{aligned}\]
پرسش ۲. به‌جای \(2^4\times2^5\) کدام گزینهٔ زیر را انتخاب می‌کنید؟
الف) \((2)(2)(2)(2)\times(2)(2)(2)(2)(2)\)
ب) \(2^9\)
تمرین
برای مشاهدهٔ تمرین‌های بیشتر، روی لینک زیر، کلیک کنید.
تمرین‌های توان طبیعی
پرسش اول : بله
43^2
در واقع منظور 2 به توان 43 هستش
پرسش دوم : انتخاب ب یا دو به توان نه
سلام خسته نباشید در مثال 10 قسمت ج جواب رو چرا در جواب پرانتز اول نوشتید 17*3 به توان 3 مگه نمیشه 17*3 به توان 6؟؟؟؟؟
سلام
با عرض پوزش، در صورت مسئله یک اشتباه تایپی رخ داده بود که اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.