برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


تعریف تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها
فرض کنید که \(P\) یک چندجمله‌ای باشد و یک‌جمله‌ای نباشد.
اگر بتوان \(P\) را به‌صورت حاصل‌ضرب دو یا چند چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر از درجهٔ \(P\) نوشت، آن‌وقت \(P\) تجزیه شده است.

مثال ۱. در هریک از موارد زیر، تساوی داده شده یک اتحاد است. آیا سمت راست تجزیه شدهٔ سمت چپ هست؟
 
الف) \(x^2+2x+1=(x+1)(x+1)\)

ب) \(x^3+x^2+5=x^2(x+1)+5\)


 
ج) \(y^4+4=(y^2+2)(y^2+2)-(2y)(2y)\)

 
د) \((y+1)y+z(y+1)=(y+1)(y+z)\)

 
هـ) \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\)

 
و) \(10x-10=10(x-1)\)

از ما بپرسید


خیر. چون نمی‌توان یک چندجمله‌ای درجه \(1\) را به صورت حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای با درجهٔ‌ کمتر نوشت.

بله. به چنین چندجمله‌ای‌هایی، چندجمله‌‌ای‌های تحویل‌ناپذیر می‌گویند. برای مثال، چندجمله‌ای‌های درجه \(1\)، چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر هستند.

مثال ۲. ابتدا بررسی کنید که آیا اعداد \(1\) یا \(-1\) ریشهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر هستند یا نه. سپس، با استفاده از رابطهٔ تقسیم و آنچه در جلسهٔ قبل آموختید، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) \(15x^3+18x^2-12x-21\)


 
ب) \(5x^3+6x^2+2x+1\)

 
ج) \(x^4+3x^3+6x^2-3x-7\)

از ما بپرسید


کافی است مجموع ضرایب چندجمله ای برابر صفر باشد. برای مثال، چندجمله‌ای \(x^3+9x^2+11x-21\) بر \(x-1\) بخش‌پذیر است. زیرا مجموع ضرایب آن برابر صفر است:
\[1+9+11-21=0.\]

کافی است مجموع ضرایب جمله‌های با درجهٔ زوج با مجموع ضرایب جمله‌های با درجهٔ فرد برابر باشد. برای مثال، چندجمله‌ای \(x^3+4x^2+10x+7\) بر \(x+1\) بخش‌پذیر است. زیرا مجموع ضرایب جمله‌های با درجهٔ زوج آن با مجموع ضرایب جمله‌های درجه فرد آن برابر است:\[4+7=1+10.\]

توجه داشته باشید که روش کلی ساده‌ای برای تجزیهٔ‌ چندجمله‌‌ای‌ها وجود ندارد. برای تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها تکنیک‌های مختلفی وجود دارد که با توجه به مسئله، باید تکنیک مناسب را انتخاب کرد.
پس اگر چندجمله‌ای داده شده بر \(x-1\) یا \(x+1\) بخش‌پذیر بود، به‌سادگی یک مرحله از تجزیه را انجام می‌دهیم و اگر نبود باید سراغ تکنیک‌های دیگری برویم!

 
مثال ۳. فرض کنید \(P(x)=2x^4+7x^3-4x^2-27x-18\).
الف) نشان دهید که \(x-2\) و \(x+3\) در تجزیهٔ \(P(x)\) ظاهر می‌شوند. (یا به‌عبارت دیگر، \(x-2\) و \(x+3\) عامل‌های \(P(x)\) هستند.)


 
ب) \(P(x)\) را به‌صورت حاصل‌ضرب چهارتا چندجمله‌ای درجه \(1\) بنویسید.

 
ج) همهٔ ریشه‌های \(P(x)\) را بیابید.

از ما بپرسید


چون می‌خواهیم رفتار چندجمله‌ای‌ها را بررسی کنیم! یعنی مثلاً می‌خواهیم بدانیم یک چندجمله‌ای برای چه مقدارهایی مثبت، برای چه مقدارهای منفی، و برای چه مقدارهایی برابر صفر است.
همان‌طور که در مثال بالا دیدید، با تجزیهٔ \(P(x)\) به‌سادگی توانستیم همهٔ مقدارهایی را پیدا کنیم که به‌ازای آنها \(P(x)\) برابر صفر می‌شود.
در جلسهٔ بعد، به‌طور مفصل دربارهٔ‌ رفتار چندجمله‌ای‌ها بحث می‌کنیم.

زنگ تفریح


برای اینکه به مطالب گفته شده در این درس مسلط شوید، تمرین‌های تعریف تجزیه را حل کنید. 

تمرین‌های تعریف تجزیه

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات