برای اینکه از درسنامهٔ اتحاد جمله مشترک به‌خوبی استفاده کنید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و روش ارائه شده در آن را به‌کار بگیرید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟

تجزیه عبارتهای جبری


اتحاد جمله مشترک
اگر \(X\)، \(A\)، و \(B\) سه‌تا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی زیر یک اتحاد است که به آن اتحاد جمله‌ مشترک می‌گویند.
\[({\color{green}X}+{\color{red}A})({\color{green}X}+{\color{blue}B})={\color{green}X}^2+({\color{red}A}+{\color{blue}B}){\color{green}X}+{\color{red}A}{\color{blue}B}.\]

چرا تساوی بالا، اتحاد است؟

مثال ۱. با استفاده از اتحاد جمله مشترک، حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید.

الف)‌ \((w-4)(w+3)\)


 

ب) \((5x-2)(5x+1)\)


 

ج) \((3x^2-5)(3x^2-8)\)


 

د) \((3-x)(3+2x)\)


 

تجزیه با اتحاد جمله مشترک
می‌دانیم:
\[{\color{green}X}^2+({\color{red}A}+{\color{blue}B}){\color{green}X}+{\color{red}A}{\color{blue}B}=({\color{green}X}+{\color{red}A})({\color{green}X}+{\color{blue}B}).\] برای مثال، با اتحاد جمله‌ مشترک، چندجمله‌ای \(9x^2+24x+12\) را تجزیه می‌کنیم: \[\begin{aligned}&9x^2+24x+12\\&=({\color{green}3x})^2+(8)({\color{green}3x})+12\\&=({\color{green}3x})^2+({\color{red}2}+{\color{blue}6})({\color{green}3x})+{\color{red}2}\times{\color{blue}6}\\&=({\color{green}3x}+{\color{red}2})({\color{green}3x}+{\color{blue}6}).\end{aligned}\] توجه کنید که در مثال بالا، \(A\) و \(B\) اعدادی هستند که حاصل‌جمع آنها برابر \(8\) و حاصل‌ضرب آنها برابر \(12\) است.

از ما بپرسید


برای اینکه از اتحاد جمله‌مشترک استفاده کنیم، باید جملهٔ مشترک، یعنی \(X\)، و \(A\) و \(B\) را بشناسیم! در راه‌حل هریک از مثال‌های بالا، \(X\)، \(A\)، و \(B\) به‌ترتیب با رنگ‌های سبز، قرمز و آبی نشان‌ داده‌ شده‌اند.

بله! هر چندجمله‌ای که با اتحاد جمله مشترک تجزیه شود، درواقع با فاکتورگیری تجزیه شده است! زیرا:
\[\begin{aligned}&X^2+(A+B)X+AB\\&=\underbrace{X^2+AX}+\underbrace{BX+AB}\\&=X(X+A)+B(X+A)\\&=(X+A)(X+B).\end{aligned}\] برای مثال، \(9x^2+24x+12\) را می‌توان این‌گونه تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&9x^2+24x+12\\&=\underbrace{9x^2+6x}+\underbrace{18x+12}\\&=3x(3x+2)+6(3x+2)\\&=(3x+2)(3x+6).\end{aligned}\]

مثال ۲. ابتدا به کمک اتحاد جمله‌مشترک هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید و ریشه‌های آنها را بیابید. سپس، رفتار هریک از چندجمله‌ای‌های داده شده را بررسی کنید. در پایان و به‌عنوان راه‌حل دوم، هریک از چندجمله‌ای‌ها را با استفاده از فاکتورگیری تجزیه کنید.

الف) \(x^2-2x-8\)


 

ب) \(y^2-13y+36\)


 

ج) \(4k^2+14k+10\)


 

د) \(9h^2+9h-10\)


 

از ما بپرسید


توجه کنید که استفاده از اتحاد جمله‌مشترک خیلی هم ساده نیست و به‌هرحال شما باید چندبار آزمون‌و‌خطا انجام دهید تا بتوانید چندجمله‌ای داده شده را تجزیه کنید.
اگر می‌خواهید ریاضیات را عمیق بیاموزید، نباید مقایسهٔ روش‌ها باعث شود که یکی را یاد بگیرید و دیگری را نیاموزید.
برای مثال، اگر در مسئله‌های بالا، روش فاکتورگیری را هم بلد باشید، خواهید دید که جزئیات این روش در مسائل سخت‌تر به شما کمک خواهد کرد.
اگر می‌خواهید پیرو بزرگان دنیای ریاضیات باشید، هیچ‌وقت در حل مسائل به یک روش قانع نشوید. برای آشنایی با روش حل مسئلهٔ یکی از برزگ‌ترین ریاضیدانان معاصر،‌ اینجا را کلیک کنید.

اگر «ضرب کردن عبارت‌های جبری با استفاده از خاصیت پخشی» به‌طور اصولی برای شما تدریس شده باشد، به‌هیچ‌وجه چنین ایده‌هایی دور از ذهن شما نخواهد بود. مثلاً اگر معلم، شما را عادت داده باشد که برای مثال، برای ضرب کردن \(y-4\) در \(y-9\) راه‌حل زیر را به‌طور کامل بنویسید، آن‌وقت ایدهٔ تجزیهٔ \(y^2-13y+36\) با استفاده از فاکتورگیری، خیلی برایتان عجیب نیست! زیرا برای تجزیهٔ \(y^2-13y+36\) کافی است که راه‌حل زیر را برعکس بنویسید.
\[\begin{aligned}&(y-4)(y-9)\\&={\color{red}y(y-9)-4(y-9)}\\&=y^2-9y-4y+36\\&=y^2-13y+36.\end{aligned}\]
متأسفانه، خیلی از معلمان در همان ابتدای تدریس ضرب کردن عبارت‌های جبری، برای سریع‌تر ضرب کردن، استفاده از اتحادها را به دانش‌آموزان توصیه می‌کنند! البته، برخی از معلمان چنین کاری نمی‌کنند ولی آنها هم برای ضرب کردن مثال بالا، خط دوم را نمی‌نویسند! اگر معلم راه‌حل چنین مثال‌هایی را، مانند بالا، کامل بنویسد و هربار پس از ضرب کردن، تأکید کند که در آینده مبحثی بسیار مهم به‌نام «تجزیه» وجود دارد که …، آن‌وقت ایده‌های فاکتورگیری این‌چنینی برای دانش‌آموزان جدید نخواهد بود.

مثال ۳. ریشه‌های هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را بیابید.

الف) \((3x+2)^2+8(3x+2)+12\)

ب) \(x^4+2x^2-3\)

ج) \(8x^5-16x^3+6x\)

از ما بپرسید


بله! برای مثال، حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب اعداد \(1+\sqrt{2}\) و \(1-\sqrt{2}\) اعدادی صحیح هستند:
\[\begin{aligned}&(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=2\\[7pt]&(1-\sqrt{2})\times(1+\sqrt{2})\\&=1^2-\big(\sqrt{2}\big)^2\\&=1-2\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}&x^2+2x-1\\&=\big(x+1-\sqrt{2}\big)\big(x+1+\sqrt{2}\big).\end{aligned}\]
توجه کنید که استفاده از اتحاد جمله مشترک، برای تجزیهٔ \(x^2+2x-1\) مناسب نیست. زیرا به‌سادگی و با آزمون‌و‌خطا نمی‌توان دو عدد پیدا کرد که حاصل‌جمع آنها برابر \(2\) و حاصل‌ضرب آنها برابر \(-1\) باشد. در درس‌های بعدی روش‌های دیگری را شرح می‌دهیم که با استفاده از آنها می‌توانیم \(x^2+2x-1\) را تجزیه کنیم.

اگر ضریب جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه مربع کامل نباشد، گاهی اوقات با انجام تغییراتی، می‌توان از اتحاد جمله مشترک استفاده کرد. برای مثال، فرض کنید بخواهیم \(3x^2+4x-4\) را تجزیه کنیم. برای اینکه ضریب جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه مربع کامل شود، عبارت داده شده را در \(3\) ضرب می‌کنیم؛ سپس، برای اینکه تغییری در عبارت داده شده ایجاد نشود، آن را در \(\frac{1}{3}\) ضرب می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&3x^2+4x-4\\[7pt]&={\color{gray}\frac{1}{3}}\times{\color{gray}3}\Big(3x^2+4x-4\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big(9x^2+12x-12\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big({\color{green}(3x)}^2+4{\color{green}(3x)}-12\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big({\color{green}(3x)}^2+({\color{red}-2}+{\color{blue}6}){\color{green}(3x)}+{\color{red}(-2)}\times{\color{blue}6}\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big(({\color{green}3x}\,{\color{red}-\,2})({\color{green}3x}+{\color{blue}6})\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big((3x-2)(3)(x+2)\Big)\\[7pt]&=(3x-2)(x+2).\end{aligned}\]

مثال ۴. سعی کنید برای تجزیهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر، روش‌های متفاوتی ارائه کنید.

الف) \(2x^2-x-1\)

ب) \(7x^2+13x+6\)

زنگ تفریح

تمرین‌های بیشتر

برای اینکه به این مبحث مسلط‌تر شوید، حتماً تمرین‌های اتحاد جمله‌ مشترک را حل کنید.

تمرین‌های اتحاد جمله مشترک

 

تجزیه عبارت های جبری


با کلیک روی هریک از لینک‌های زیر، صفحهٔ مربوطه باز خواهد شد.جلسهٔ اول: تعریف اتحادتمرین‌های جلسهٔ اول
جلسهٔ دوم: یک‌جمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ دوم
جلسهٔ سوم: چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ سوم
جلسهٔ چهارم: درجهٔ چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ چهارم
جلسهٔ پنجم: ریشهتمرین‌های جلسهٔ پنجم
جلسهٔ ششم: تقسیم چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ ششم
جلسهٔ هفتم: ریشهٔ مقسوم‌علیه و محاسبهٔ باقی‌ماندهتمرین‌های جلسهٔ هفتم
جلسهٔ هشتم: روش هورنرتمرین‌های جلسهٔ هشتم
جلسهٔ نهم: بخش‌پذیری در چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ نهم
جلسهٔ‌ دهم: تعریف تجزیهتمرین‌های جلسهٔ دهم
جلسهٔ یازدهم: رفتار چندجمله‌ای‌هاتمرین‌های جلسهٔ یازدهم
جلسهٔ دوازدهم: فاکتورگیریتمرین‌های جلسهٔ دوازدهم
جلسهٔ سیزدهم: اتحاد مربع دوجمله‌ایتمرین‌های جلسهٔ سیزدهم
جلسهٔ چهاردهم: اتحاد مزدوجتمرین‌های جلسهٔ چهاردهم
جلسهٔ پانزدهم: اتحاد جمله مشترکتمرین‌های جلسهٔ پانزدهم
جلسهٔ شانزدهم: مربع‌سازیتمرین‌های جلسهٔ شانزدهم
جلسهٔ هفدهم: یافتن ریشهٔ چندجمله‌ای درجه ۲تمرین‌های جلسهٔ هفدهم
جلسهٔ هجدهم: تجزیهٔ یک چندجمله‌ای درجه ۴تمرین‌های جلسهٔ هجدهم
جلسهٔ نوزدهم: مجموع مربعاتتمرین‌های جلسهٔ نوزدهم
جلسهٔ بیستم: اتحاد چاق و لاغرتمرین‌های جلسهٔ بیستم
جلسهٔ بیست‌ویکم: چند اتحاد دیگرتمرین‌های جلسهٔ بیست‌و‌یکم
جلسهٔ بیست‌ودوم: تکنیک‌های سنتی تجزیهتمرین‌های جلسهٔ بیست‌و‌دوم




نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

37 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
مهدی
مهمان
1 سال قبل

سلام
دوستان جواب این عبارت چی میشه؟
x²_2x_2

امیر
مهمان
2 سال قبل

سلام می‌بخشید این تمرین دیفرانسیل هست ولی جمله مشترک و اتحاد توش به کار رفته اون قسمت جمله مشترک رو اصلا متوجه نشدم میشه توضیح ساده بدید

16497864041624669511084843375970.jpg
ایلین
مهمان
2 سال قبل

سلام ببخشید این چه جوری حل میشه؟

image.jpg
علی
مهمان
2 سال قبل

اتحاد جمله مشترک که دو پرانتز سه تایی در همه رو چجوری می شه حل کرد؟

علی
مهمان
2 سال قبل

چگونه از طریق جمله مشترک حل کرده لطفاً سریعتر پاسخ بدید

محمد حسین خالقوردی پور
Member
2 سال قبل

اها نمیشه . شرمنده . 🙂

محمد حسین خالقوردی پور
Member
2 سال قبل

مثال ۲ قسمت د میشه داخل پرانتز ها بجای -۲ و ۵ ، -۱ و ۱۰ باشه؟ چون جواب برابر میاد …

مهدی
مهمان
2 سال قبل

سلام ببخشید چطور میشه جمله مشترک رو توی اعداد بزرگ محاسبه کرد؟؟ مثل 2400ضرب جمعش میشه 2 که حاصل 48 و50 هست اما راه راحت تر نیست پیدا کردن جمله مشترک ها

Mandana
مهمان
2 سال قبل

سلام ، جواب این سوال چی میشه ؟

7886C3F6-D452-4604-A4C0-42B768738387.jpeg
رضا
مهمان
پاسخ به  Mandana
1 سال قبل

3بعلاوه 2 رادیکال 2 میشه جوابش

هستی یعقوبی فر
مهمان
2 سال قبل

عالی بود به کمک این درسنامه بی نظیر تونستم اتحاد ها رو مثل آب خوردن یاد بگیرم.
ممنون تکمیلی??

Parsa
مهمان
3 سال قبل

سلام میشه جواب ای سوال را بدید خیلی سخته
X²مثبت Xمنفی ۳۰

نوید کردلو
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

آن دو عدد ۶ و ۵- هستند

محمد
مهمان
3 سال قبل

99 به توان 2 را چطور به کمک اتحاد ها، جوابشو بدست بیارم؟؟

آرین
مهمان
3 سال قبل

سلام.میشه اینو تجزیه کنید.خیلی سخته.هرچی فک کردم پیدا نکردم جوابشو
3x²_4x_7

Hasti
مهمان
3 سال قبل

جواب این سوال چی میشه؟
\[x^4+x^2-6\]

Shayan
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

با سلام
عذرخواهم احتمالا نباید ( x²+3) رو هم مانند ( x²-2) تجزیه میکردید؟ ( به کمک مزدوج )

شیلا
مهمان
3 سال قبل

سلام جواب این چی میشه؟
0=9x+42x+49 (به توان دو هست ۹x )

شیلا
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

بله خوندیم فقط ۴۲ و ۴۹ برام جور در نمیان ینی هیچ ضرب و جمع مشترکی ندارین

شیلا
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

خیلی ممنونم سایت خیلی خوبی دارین?

شیلا
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

جواب این میشه؟
به توان دو(3x+7)

محمد
مهمان
3 سال قبل

با سلام وخسته نباشید چرا مربع سازی وبقیه چیز ها رو نمیذارید سایت خیلی خوبی دارید و به نظرم اموزش خوب وبا کیفیتی در مورد مباحث ریاضی به کار برده شده با تشکر