برای اینکه درسنامه‌های اتحاد جمله مشترک به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


اتحاد جمله مشترک
اگر \(X\)، \(A\)، و \(B\) سه‌تا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی زیر یک اتحاد است که به آن اتحاد جمله‌ مشترک می‌گویند.
\[({\color{green}X}+{\color{red}A})({\color{green}X}+{\color{blue}B})={\color{green}X}^2+({\color{red}A}+{\color{blue}B}){\color{green}X}+{\color{red}A}{\color{blue}B}.\]

چرا تساوی بالا، اتحاد است؟

مثال ۱. با استفاده از اتحاد جمله مشترک، حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید.

الف)‌ \((w-4)(w+3)\)


 

ب) \((5x-2)(5x+1)\)


 

ج) \((3x^2-5)(3x^2-8)\)


 

د) \((3-x)(3+2x)\)


 

تجزیه با اتحاد جمله مشترک
می‌دانیم:
\[{\color{green}X}^2+({\color{red}A}+{\color{blue}B}){\color{green}X}+{\color{red}A}{\color{blue}B}=({\color{green}X}+{\color{red}A})({\color{green}X}+{\color{blue}B}).\] برای مثال، با اتحاد جمله‌ مشترک، چندجمله‌ای \(9x^2+24x+12\) را تجزیه می‌کنیم: \[\begin{aligned}&9x^2+24x+12\\&=({\color{green}3X})^2+(8)({\color{green}3X})+12\\&=({\color{green}3X})^2+({\color{red}2}+{\color{blue}6})({\color{green}3X})+{\color{red}2}\times{\color{blue}6}\\&=({\color{green}3x}+{\color{red}2})({\color{green}3x}+{\color{blue}6}).\end{aligned}\] توجه کنید که در مثال بالا، \(A\) و \(B\) اعدادی هستند که حاصل‌جمع آنها برابر \(8\) و حاصل‌ضرب آنها برابر \(12\) است.

از ما بپرسید


برای اینکه از اتحاد جمله‌مشترک استفاده کنیم، باید جملهٔ مشترک، یعنی \(X\)، و \(A\) و \(B\) را بشناسیم! در راه‌حل هریک از مثال‌های بالا، \(X\)، \(A\)، و \(B\) به‌ترتیب با رنگ‌های سبز، قرمز و آبی نشان‌ داده‌ شده‌اند.

بله! هر چندجمله‌ای که با اتحاد جمله مشترک تجزیه شود، درواقع با فاکتورگیری تجزیه شده است! زیرا:
\[\begin{aligned}&X^2+(A+B)X+AB\\&=\underbrace{X^2+AX}+\underbrace{BX+AB}\\&=X(X+A)+B(X+A)\\&=(X+A)(X+B).\end{aligned}\] برای مثال، \(9x^2+24x+12\) را می‌توان این‌گونه تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&9x^2+24x+12\\&=\underbrace{9x^2+6x}+\underbrace{18x+12}\\&=3x(3x+2)+6(3x+2)\\&=(3x+2)(3x+6).\end{aligned}\]

مثال ۲. ابتدا به کمک اتحاد جمله‌مشترک هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید و ریشه‌های آنها را بیابید. سپس، رفتار هریک از چندجمله‌ای‌های داده شده را بررسی کنید. در پایان و به‌عنوان راه‌حل دوم، هریک از چندجمله‌ای‌ها را با استفاده از فاکتورگیری تجزیه کنید.

الف) \(x^2-2x-8\)


 

ب) \(y^2-13y+36\)


 

ج) \(4k^2+14k+10\)


 

د) \(9h^2+9h-10\)


 

از ما بپرسید


توجه کنید که استفاده از اتحاد جمله‌مشترک خیلی هم ساده نیست و به‌هرحال شما باید چندبار آزمون‌و‌خطا انجام دهید تا بتوانید چندجمله‌ای داده شده را تجزیه کنید.
اگر می‌خواهید ریاضیات را عمیق بیاموزید، نباید مقایسهٔ روش‌ها باعث شود که یکی را یاد بگیرید و دیگری را نیاموزید.
برای مثال، اگر در مسئله‌های بالا، روش فاکتورگیری را هم بلد باشید، خواهید دید که جزئیات این روش در مسائل سخت‌تر به شما کمک خواهد کرد.
اگر می‌خواهید پیرو بزرگان دنیای ریاضیات باشید، هیچ‌وقت در حل مسائل به یک روش قانع نشوید. برای آشنایی با روش حل مسئلهٔ یکی از برزگ‌ترین ریاضیدانان معاصر،‌ اینجا را کلیک کنید.

اگر «ضرب کردن عبارت‌های جبری با استفاده از خاصیت پخشی» به‌طور اصولی برای شما تدریس شده باشد، به‌هیچ‌وجه چنین ایده‌هایی دور از ذهن شما نخواهد بود. مثلاً اگر معلم، شما را عادت داده باشد که برای مثال، برای ضرب کردن \(y-4\) در \(y-9\) راه‌حل زیر را به‌طور کامل بنویسید، آن‌وقت ایدهٔ تجزیهٔ \(y^2-13y+36\) با استفاده از فاکتورگیری، خیلی برایتان عجیب نیست! زیرا برای تجزیهٔ \(y^2-13y+36\) کافی است که راه‌حل زیر را برعکس بنویسید.
\[\begin{aligned}&(y-4)(y-9)\\&={\color{red}y(y-9)-4(y-9)}\\&=y^2-9y-4y+36\\&=y^2-13y+36.\end{aligned}\]
متأسفانه، خیلی از معلمان در همان ابتدای تدریس ضرب کردن عبارت‌های جبری، برای سریع‌تر ضرب کردن، استفاده از اتحادها را به دانش‌آموزان توصیه می‌کنند! البته، برخی از معلمان چنین کاری نمی‌کنند ولی آنها هم برای ضرب کردن مثال بالا، خط دوم را نمی‌نویسند! اگر معلم راه‌حل چنین مثال‌هایی را، مانند بالا، کامل بنویسد و هربار پس از ضرب کردن، تأکید کند که در آینده مبحثی بسیار مهم به‌نام «تجزیه» وجود دارد که …، آن‌وقت ایده‌های فاکتورگیری این‌چنینی برای دانش‌آموزان جدید نخواهد بود.

مثال ۳. ریشه‌های هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را بیابید.

الف) \((3x+2)^2+8(3x+2)+12\)

ب) \(x^4+2x^2-3\)

ج) \(8x^5-16x^3+6x\)

از ما بپرسید


بله! برای مثال، حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب اعداد \(1+\sqrt{2}\) و \(1-\sqrt{2}\) اعدادی صحیح هستند:
\[\begin{aligned}&(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=2\\[7pt]&(1-\sqrt{2})\times(1+\sqrt{2})\\&=1^2-\big(\sqrt{2}\big)^2\\&=1-2\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}&x^2+2x-1\\&=\big(x+1-\sqrt{2}\big)\big(x+1+\sqrt{2}\big).\end{aligned}\]
توجه کنید که استفاده از اتحاد جمله مشترک، برای تجزیهٔ \(x^2+2x-1\) مناسب نیست. زیرا به‌سادگی و با آزمون‌و‌خطا نمی‌توان دو عدد پیدا کرد که حاصل‌جمع آنها برابر \(2\) و حاصل‌ضرب آنها برابر \(-1\) باشد. در درس‌های بعدی روش‌های دیگری را شرح می‌دهیم که با استفاده از آنها می‌توانیم \(x^2+2x-1\) را تجزیه کنیم.

اگر ضریب جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه مربع کامل نباشد، گاهی اوقات با انجام تغییراتی، می‌توان از اتحاد جمله مشترک استفاده کرد. برای مثال، فرض کنید بخواهیم \(3x^2+4x-4\) را تجزیه کنیم. برای اینکه ضریب جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه مربع کامل شود، عبارت داده شده را در \(3\) ضرب می‌کنیم؛ سپس، برای اینکه تغییری در عبارت داده شده ایجاد نشود، آن را در \(\frac{1}{3}\) ضرب می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&3x^2+4x-4\\[7pt]&={\color{gray}\frac{1}{3}}\times{\color{gray}3}\Big(3x^2+4x-4\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big(9x^2+12x-12\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big({\color{green}(3x)}^2+4{\color{green}(3x)}-12\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big({\color{green}(3x)}^2+({\color{red}-2}+{\color{blue}6}){\color{green}(3x)}+{\color{red}(-2)}\times{\color{blue}6}\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big(({\color{green}3x}\,{\color{red}-\,2})({\color{green}3x}+{\color{blue}6})\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{3}\Big((3x-2)(3)(x+2)\Big)\\[7pt]&=(3x-2)(x+2).\end{aligned}\]

مثال ۴. سعی کنید برای تجزیهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر، روش‌های متفاوتی ارائه کنید.

الف) \(2x^2-x-1\)

ب) \(7x^2+13x+6\)

زنگ تفریح

تمرین‌های بیشتر

برای اینکه به این مبحث مسلط‌تر شوید، حتماً تمرین‌های اتحاد جمله‌ مشترک را حل کنید.

 

اشتراک
اطلاع از
2 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

با سلام وخسته نباشید چرا مربع سازی وبقیه چیز ها رو نمیذارید سایت خیلی خوبی دارید و به نظرم اموزش خوب وبا کیفیتی در مورد مباحث ریاضی به کار برده شده با تشکر