آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۸۴

جمع دو مثلث به اضلاع $a\leq b\leq c$ و $a’\leq b’\leq c’$ مثلثی است به اضلاع $a+a’$، $b+b’$، و $c+c’$. کدام گزینه در مورد جمع دو مثلث متساوی‌الساقین درست است؟
۱) ممکن است یک مثلث متساوی‌الساقین باشد.
۲) قطعاً یک مثلث متساوی‌الساقین نیست.
۳) قطعاً یک مثلث متساوی‌الساقین است.
۴) ممکن است مثلثی تشکیل ندهد.

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین باشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $3$، $3$، و $4$. حاصل‌جمع این دو مثلث، یک مثلث متساوی‌الساقین به ضلع‌های $6$، $6$، و $9$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ نادرست است.

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین نباشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $7$، $7$، و $5$. حاصل‌جمع این دو مثلث، مثلثی  به ضلع‌های $8$، $10$، و $12$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ نادرست است.

برای هر مثلث، می‌دانیم که حاصل‌جمع هر دو ضلع، از ضلع سوم بزرگ‌تر است. بنابراین، برای دو مثلث به اضلاع $a\leq b\leq c$ و $a’\leq b’\leq c’$ داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}a+b&>c\\a’+b’&>c’\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a’)+(b+b’)>(c+c’)\\\left.\begin{aligned}a+c&>b\\a’+c’&>b’\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a’)+(c+c’)>(b+b’)\\\left.\begin{aligned}b+c&>a\\b’+c’&>a’\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(b+b’)+(c+c’)>(a+a’).\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۴ نادرست است.
 
بنابراین، گزینه ۱ درست است.