جلسهٔ اول: بی‌شمارش!

روش کار در آموزش مجازی

\(\bullet\) یک کاغذ کنار دستتان بگذارید. متن درس و مثال‌ها را بخوانید. راه‌حل مثال‌ها را داخل کاغذتان بنویسید. سپس، روی «پاسخ را نشان بدم؟!» کلیک کنید و راه‌حل‌تان را تصحیح کنید.
\(\bullet\) هر سؤالی داشتید، در قسمت‌ دیدگاه‌های پایین همین صفحه بنویسید. اگر سر کلاس خجالت می‌کشیدید که سؤال بپرسید، در اینجا می‌توانید اسمتان را ننویسید و سؤالتان را به‌راحتی بپرسید. به پرسش‌های شما پاسخ خواهم داد. (البته نه در همان لحظه!)
\(\bullet\) راه‌حل سه مثال‌ آخر، فعلاً خاموش هستند! راه‌حل این سه مثال را در یک کاغذ بنویسید و تصویر آن را از طریق تلگرام برایم بفرستید. روی کاغذ حتماً اسمتان نوشته شده باشد.
\(\bullet\) در انتها، یک آزمون دوستانه از همین درس داریم که پس از اینکه رفع اشکال کردیم و به همهٔ سؤالات و کامنت‌های شما پاسخ دادم، تاریخ و ساعت برگزاری آزمون اعلام خواهد شد.

[login_form]

بی‌شمارش

مثال ۱. با رقم‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، و ۷، چند عدد دورقمی می‌توان نوشت به‌طوری که رقم‌ تکراری نداشته باشند؟

می‌دونم که نوشتن همهٔ حالت‌های مثال ۱ براتون سخته! ولی فرض کنید که اگه جواب مثال ۲ رو بنویسین، بهتون یه خونه جایزه می‌دن:

یا مثلاً یه ماشین:

آیا حالا ارزش داره که حدود دو دقیقه وقت بذارین و مثال ۲ رو حل کنین؟!

اگر در مسائل شمارشی از شما خواستند علاوه بر اینکه تعداد حالت‌ها را بشمارید، همهٔ حالت‌ها را نیز بنویسید، و نوشتن همهٔ حالت‌ها (بدون احتساب زمان) برایتان ساده بود، آن‌وقت بدانید که به تکنیک‌های شمارشی مسلط هستید؛ اما در غیراین‌صورت، شاید شما صرفاً چند فرمول را حفظ کرده باشید! و اگر برای مسائل شمارشی، صرفاً چند فرمول را حفظ کرده باشید، شاید بتوانید مسائل ساده را حل کنید، اما در مسائل پیچیده‌تر حتماً به مشکل برمی‌خورید.

نگران نباشید! لازم نیست برای مسائل شمارشی همهٔ حالت‌ها را بنویسید. همین‌که بتوانید همهٔ حالت‌ها را در ذهنتان مجسم کنید، کافی است. مثال‌های زیر، قدرت تجسم شما را بالا می‌برند.

در مثال‌های زیر، شاید با واژهٔ «تناظر» مشکل داشته باشید! واژهٔ تناظر یا متناظر را قبلاً در همنهشتی مثلث‌ها دیده‌اید. در راه‌حل مثال ۳، همهٔ حالت‌ها نوشته شده تا مشکل احتمالی شما با واژهٔ تناظر برطرف شود.

دقت کنید که در مثال‌های زیر نمی‌خواهیم تعداد حالت‌های ممکن را بشماریم، فقط می‌خواهیم بین حالت‌های ممکن، تناظر ایجاد کنیم.

مثال ۳. بین همهٔ حالت‌های ممکن در دو مسئلهٔ زیر، یک تناظر بسازید.
الف) همهٔ اعداد چهار رقمی که رقم‌های آنها \(4\) یا \(6\) است.
ب) همهٔ حالت‌هایی که می‌توان هر خانهٔ یک جدول \(2\times2\) را با یکی از دو رنگ آبی یا قرمز رنگ کرد.

مثال ۴. بین همهٔ حالت‌های ممکن در دو مسئلهٔ زیر، یک تناظر بسازید.
الف) همهٔ اعداد چهار رقمی که رقم‌های آنها \(4\) یا \(6\) است.
ب) همهٔ حالت‌های ممکن در پرتاب همزمان چهار سکه.

مثال ۵. برای مسئله‌هایی که پاسخ برابر دارند، یک تناظر بسازید.
الف) همهٔ قطرهای یک ۲۰ ضلعی منتظم
ب) همهٔ خطوط هوایی کشوری که ۲۰ شهر دارد و بین هر دو شهر آن یک خط هوایی هست.
ج) همهٔ بازی‌های یک لیگ فوتبال که در آن ۲۰ تیم وجود دارد و هر تیم باید با هریک از تیم‌های دیگر یک‌بار مسابقه دهد.

مثال ۶. می‌خواهیم با سه تکه پارچهٔ هم‌عرض، پرچمی با سه رنگ متفاوت بدوزیم که در آن، سه تکه افقی دوخته شوند. می‌توانیم پارچهٔ بالا را یکی از رنگ‌های سبز، آبی، قهوه‌ای، یا مشکی، پارچهٔ میانی را یکی از رنگ‌های سفید، صورتی، یا بنفش و پارچهٔ پایینی را یکی از رنگ‌های قرمز یا زرد انتخاب کنیم. همهٔ پرچم‌های ممکن را با حالت‌های کدام مسئله‌های زیر می‌توان متناظر کرد؟
الف) همهٔ اعداد سه‌رقمی که یکان، دهگان و صدگان آنها به‌ترتیب از مجموعه‌های $\{1,2,3\}$، $\{4,5\}$ و $\{6,7,8,9\}$ انتخاب شده باشند.
ب) همهٔ حالت‌هایی که یک نفر بتواند از $2$ شلوار، $4$ پیراهن، و $3$ کت متفاوت، یک تیپ بزند!
ج) همهٔ حالت‌هایی که می‌توان از دو فنجان، سه نعلبکی، و چهار قاشق چایخوری، که همگی متفاوت‌اند، دو قلم کالا با نام‌های متفاوت خرید.

مثال ۷. برای مسئله‌هایی که پاسخ‌های آنها برابر است، یک تناظر بسازید.
الف) همهٔ اعداد چهار رقمی که با رقم‌های $1$، $2$، $3$ و $4$ نوشته می‌شوند و رقم تکراری ندارند.
ب) همهٔ اعداد چهار رقمی که از جابه‌‌جایی رقم‌های $3,3,6,8$ ساخته‌ می‌شوند.
ج) همهٔ کلماتی که از جابه‌جایی حروف $M,A,T,H$ ساخته می‌شوند.
د) همهٔ حالت‌های ایستادن عرفان، الیاس، پوریا و کیان در یک صف

مثال ۸. برای جفت مسئله‌هایی که پاسخ‌های آنها برابر است، یک تناظر بسازید.
الف) همهٔ اعداد سه رقمی که با رقم‌های $1$ و $2$ نوشته می‌شوند.
ب) همهٔ اعداد دو رقمی که با رقم‌های $1$، $2$ و $3$ نوشته می‌شوند. (تکرار رقم‌ها مجاز است.)
ج) همهٔ مسیرهای ممکن که می‌توان از $x$ به $z$ رفت به‌شرطی که از شهر $x$ به شهر $y$ سه جاده، و از شهر $y$ به شهر $z$ نیز سه جاده وجود داشته باشد.
د) همهٔ حالت‌های ممکن سه‌بار پرتاب یک سکه

تناظر بین حالت‌های قسمت‌ «الف» و «د»:
سه جایگاه زیر را در نظر می‌گیریم.

پشت و روی سکه اعداد \(1\) و \(2\) را می‌نویسیم. سکه را سه‌بار پرتاب می‌کنیم و عدد رو شده در پرتاب‌های اول، دوم و سوم را به‌ترتیب در جایگاه‌های یکان، دهگان و صدگان می‌نویسیم. همهٔ حالت‌های ممکن در این پرتاب‌ها، همهٔ اعداد سه‌رقمی هستند که با رقم‌های \(1\) و \(2\) نوشته می‌شوند.

 

تناظر بین حالت‌های قسمت‌ «ب» و «ج»:
سه جادهٔ شهر $x$ به $y$ را با شماره‌های \(\color{red}1\)، \(\color{red}2\)، و \(\color{red}3\) نامگذاری می‌کنیم.
سه جادهٔ شهر $y$ به $z$ را نیز با شماره‌های \(\color{blue}1\)، \(\color{blue}2\)، و \(\color{blue}3\) نام‌گذاری می‌کنیم.
حال می‌توانیم هر مسیر از شهر $x$ به $z$ را با یک عدد دورقمی نشان دهیم. به‌این‌ترتیب، همهٔ مسیرهای ممکن از شهر $x$ به $z$، همهٔ اعداد دورقمی هستند که با ارقام \(1\)، \(2\)، و \(3\) نوشته می‌شوند.

برای اینکه راه‌حل دوستانه‌تر باشد، همهٔ راه‌ها یا همهٔ عددها را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}&{\color{red}1}{\color{blue}1}\\&{\color{red}1}{\color{blue}2}\\&{\color{red}1}{\color{blue}3}\\&{\color{red}2}{\color{blue}1}\\&{\color{red}2}{\color{blue}2}\\&{\color{red}2}{\color{blue}3}\\&{\color{red}3}{\color{blue}1}\\&{\color{red}3}{\color{blue}2}\\&{\color{red}3}{\color{blue}3}\end{aligned}\]

مثال ۹. برای جفت مسئله‌هایی که پاسخ‌های آنها برابر است، یک تناظر بسازید.

الف) آشپزی باید شش غذای کباب‌کوبیده، شیش‌لیک، قرمه‌سبزی، لوبیاپلو، عدس‌پلو و باقالی‌پلوباگوشت را برای شش مشتری ارسال کند. همهٔ حالت‌هایی که آشپز می‌تواند این شش غذا را به هریک از سه پیک‌موتوری که دارد، بسپارد. (آشپز می‌تواند هر شش غذا را به یک پیک بسپرد!)
ب) همهٔ اعداد سه رقمی که با ارقام $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، و $6$ ساخته می‌شوند. (تکرار ارقام مجاز است.)
ج) همهٔ اعداد شش رقمی که با ارقام $1$، $2$، و $3$ ساخته می‌شوند.
د) همهٔ حالت‌هایی که بتوان سه توپ متفاوت را در شش جعبهٔ متفاوت قرار داد.

برای قسمت «الف» که تعداد حالت‌ها زیاد است، مسئله‌ای مشابه، با تعداد حالت‌های کمتر بنویسید تا بتوانید الگویی پیدا کنید.

برای مثال، فرض کنید که \(3\) تا غذا و \(2\) تا پیک داشته باشیم. حالا چند حالت داریم؟ همهٔ حالت‌ها را بنویسید.

2

زمان آزمونک: ۱۵ دقیقه

---

آزمونک چندجمله‌ای‌ها

در مسائل چندگزینه‌ای، درستی یا نادرستی گزینه‌ای که انتخاب کرده‌اید، بلافاصله مشخص می‌شود. اگر گزینهٔ اشتباه را انتخاب کرده بودید، حتماً همان موقع دوباره فکر کنید و سعی کنید خودتان بفهمید که چرا اشتباه کرده‌اید. 
در پایان آزمونک، پاسخ تشریحی همهٔ پرسش‌ها نمایش داده می‌شود.

نام و نام خانوادگیایمیلتلفن همراهشهر یا روستای محل سکونتمدرسه

1 / 10

حاصل عبارت $\big(-\dfrac{1}{2}xy^2\big)^3\big(\dfrac{2}{x^2y^3}\big)^2(-4x)$ کدام است؟ ($x,y\not=0$)

$-2$

$2$

$2x$

$2y$

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\big(-\dfrac{1}{2}xy^2\big)^3\big(\dfrac{2}{x^2y^3}\big)^2(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}x^3y^6\big)\big(\frac{4}{x^4y^6}\big)(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}\times4\times(-4)\big)\frac{x^3y^6}{x^4y^6}x\\&=2.\end{aligned}\]

2 / 10

کدام عبارت‌ها یک‌جمله‌ای هستند، یا اینکه به یک‌جمله‌ای تبدیل می‌شوند؟

$xy^2$

$\dfrac{5x^2}{y}$

$x^2+3x^2$

$\sqrt{y}x^2$

$-\sqrt{2}x$

5

پاسخ تشریحی

واضح است که عبارت‌های \(xy^2\)، \(-\sqrt{2}x\)، و \(5\) یک‌جمله‌ای هستند.
عبارت \(x^2+3x^2\) به یک‌جمله‌ای تبدیل می‌شود. زیرا: \[x^2+3x^2=4x^2.\]
چون \(\frac{5x^2}{y}=5x^2y^{-1}\)، پس توان \(y\) صحیحی نامنفی نیست. در نتیجه، \(\frac{5x^2}{y}\) یک‌جمله‌ای نیست.
چون \(\sqrt{y}x^2=y^{\frac{1}{2}}x^2\)، پس توان \(y\) صحیح نامنفی نیست. در نتیجه، \(\sqrt{y}x^2\) یک‌جمله‌ای نیست.

3 / 10

اگر \(A\big(\frac{\sqrt{2}}{3}p^2q^3\big)=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}p^4q^5w^2\)، آن‌وقت \(A\) کدام است؟

$\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt{2}}p^2q^2w^2$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{2}}p^2q^2w^2$

$\dfrac{2\sqrt[3]{2}}{3\sqrt{2}}p^2q^2w^2$

$\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt{2}}p^2q^2w$

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&A(‎\dfrac{\sqrt{2}}{3}p^2q^3)=‎\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}p^4q^5w^2\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{‎\frac{\sqrt[3]{2}}{2}p^4q^5w^2}{‎\frac{\sqrt{2}}{3}p^2q^3}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt{2}}p^2q^2w^2.\end{aligned}\]

4 / 10

فرض کنید \(A\) و \(B\) یک‌جمله‌ای‌هایی با ضرایب عددی صحیح باشند. اگر \(AB=x^2\)، آن‌وقت برای \(A-B\) چند جواب متفاوت وجود دارد؟

چک کن

پاسخ تشریحی

همهٔ حالت‌های ممکن برای \(A\) و \(B\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&\left.\begin{aligned}&A=x^2\\&B=1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=x^2-1\\&\left.\begin{aligned}&A=-x^2\\&B=-1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-x^2+1\\&\left.\begin{aligned}&A=x\\&B=x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=-x\\&B=-x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=1\\&B=x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=1-x^2\\&\left.\begin{aligned}&A=-1\\&B=-x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-1+x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، برای \(A-B\) سه جواب وجود دارد:
\[x^2-1,\;-x^2+1,\;0.\]

---

پرسش. برای \(A+B\) چند جواب وجود دارد؟

5 / 10

اگر \(-\frac{a}{2}A=3ab+\frac{a^2cb}{5}\)، آن‌وقت \(A\) کدام است؟

$-6b-\dfrac{3}{5}abc$

$-5b-\dfrac{2}{5}abc$

$-6b-\dfrac{2}{5}abc$

$-6b-\dfrac{2}{5}bc$

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&-‎\frac{a}{2}A=3ab+‎\frac{a^2cb}{5}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{3ab+‎\frac{a^2cb}{5}}{-‎\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{a(3b+\frac{acb}{5})}{-\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=-2(3b+\frac{acb}{5})\\[6pt]&\Rightarrow A=-6b-\frac{2}{5}abc.\end{aligned}\]

6 / 10

عبارت‌هایی را که دوجمله‌ای هستند یا به‌ دوجمله‌ای تبدیل می‌شوند، مشخص کنید.

$xy^2+y^2x$

$\dfrac{5x^2}{y}+\dfrac{y}{5x^2}+a$

$\dfrac{x^2y+xy^2}{5}$

$x^2+3x^2+2x^3$

$yx^2+\sqrt{x^2}y$

$-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$5+\sqrt{3}$

پاسخ تشریحی

عبارت \(xy^2+y^2x\)، یک‌جمله‌ای است. زیرا \(xy^2+y^2x=2xy^2\).

عبارت \(\frac{5x^2}{y}+\frac{y}{5x^2}+a\)، چندجمله‌ای نیست. زیرا \(\frac{5x^2}{y}\) یک‌جمله‌ای نیست.

عبارت \(\frac{x^2y+xy^2}{5}\)، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: \[\frac{x^2y+xy^2}{5}=\frac{1}{5}x^2y+\frac{1}{5}xy^2.\]عبارت \(x^2+3x^2+2x^3\)، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: \[x^2+3x^2+2x^3=4x^2+2x^3.\]عبارت \(yx^2+\sqrt{x^2}y\)، چندجمله‌ای نیست. زیرا \(\sqrt{x^2}y=|x|y\)، و \(|x|y\) یک‌جمله‌ای نیست(؟).

عبارت \(-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x\) دوجمله‌ای نیست. زیرا جمله‌های \(-\sqrt{2}x\) و \(\sqrt{3}x\) متشابه‌اند. در واقع، عبارت \(-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x\) یک‌جمله‌ای است و ضریب عددی آن برابر \(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\) است:\[-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x=(-\sqrt{2}+\sqrt{3})x.\]عبارت \(5+\sqrt{3}\) یک عدد حقیقی است. پس یک‌جمله‌ای است.

7 / 10

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای، چند جمله می‌تواند داشته باشد؟

1

2

3

4

5

پاسخ تشریحی

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای در یکدیگر حداقل دوجمله‌ای است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!

فرض کنید $A$، $B$، $C$، و $D$، چهارتا یک‌جمله‌ای باشند و درجه‌های آنها به‌ترتیب $m$، $n$، $k$، و $t$ باشد به‌طوری‌که
\[m>n,\;k>t.\]
دراین‌صورت، درجهٔ $AC$ برابر $m+k$، و درجهٔ $BD$ برابر $n+t$ است. چون $m+k>n+t$، پس در عبارتِ
\[\begin{aligned}&(A+B)(C+D)\\&=A(C+D)+B(C+D)\\&=AC+AD+BC+BD\end{aligned}\]
جملهٔ $AC$ بیشترین درجه دارد و جملهٔ $BD$ کمترین درجه را دارد؛ پس جملات دیگر نمی‌توانند با این دو جمله متشابه باشند. پس حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای نمی‌تواند یک‌جمله‌ای باشد.
حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند دوجمله‌ای باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&(x-1)(x+1)\\&=x(x+1)-1(x+1)\\&=x^2+x-x-1\\&=x^2-1.\end{aligned}\]

---

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند سه‌جمله‌ای باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&(x+1)(x+1)\\&=x(x+1)+1(x+1)\\&=x^2+x+x+1\\&=x^2+2x+1.\end{aligned}\]
حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند چهارجمله‌ای باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&(x+1)(y+1)\\&=x(y+1)+1(y+1)\\&=xy+x+y+1.\end{aligned}\]

---

واضح است که حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای نمی‌تواند بیشتر از چهار جمله داشته باشد.

---

پرسش. حاصل‌ضرب یک دوجمله‌ای در یک سه‌جمله‌ای، چند جمله‌ می‌تواند داشته باشد؟

8 / 10

اگر حاصل عبارت \(\sqrt{2}(x+1)(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\) را به‌صورت مجموع چندتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه بنویسیم، آن‌وقت ضرایب چندتا از این یک‌جمله‌ای‌ها عددی گویاست؟

چک کن

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{2}(x+1)(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=(\sqrt{2}x+\sqrt{2})(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{2}x(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)+\sqrt{2}(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{16}x^3+\sqrt{4}x^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{16}x^2+\sqrt{4}x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+2x^2+2\sqrt{2}x+4x^2+2x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+6x^2+(2\sqrt{2}+2)x+2\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، فقط جمله‌های \(4x^3\) و \(6x^2\) ضرایب گویا دارند.

9 / 10

جای خالی را با عبارت مناسب پر کنید.

هر عبارت را، که به‌صورت حاصل‌ضرب یک عدد حقیقی در توان‌های ........... نامنفیِ یک یا چند متغیر باشد، یک‌جمله‌ای (تک‌جمله‌ای) می‌نامند.

 

چک کن

10 / 10

فرض کنید \(a\) و \(b\) دو عدد صحیح باشند. حاصل‌ضرب \((x^2+ax+1)(x+b)\) را ساده‌ کرده‌ایم. اعدادی را که می‌توانند تعداد جمله‌های حاصل عبارت به‌دست آمده باشند، مشخص کنید.

2

3

4

5

6

تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب حداکثر \(4\) جمله است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
با عددگذاری به‌جای \(a\) و \(b\)می‌توان مثال‌هایی ساخت که چندجمله‌ای حاصل، چهارجمله‌ای، سه‌جمله‌ای، یا دوجمله‌ای باشد. برای نمونه:
\(\bullet\) اگر \(a=0\) و \(b=1\)، آن‌وقت عبارت داده شده چهارجمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x+1.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=1\) و \(b=0\)، آن‌وقت عبارت داده شده سه‌جمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=0\) و \(b=0\)، آن‌وقت عبارت داده شده دوجمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x.\end{aligned}\]

امتیاز شما

میانگین نمرات: 0%