برای هر سه مورد، مثال عددی وجود دارد.
برای مورد اول و دوم قرار دهید:
\[x=\frac{4}{9}\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x^2=\frac{16}{81}\\&\sqrt{x}=\frac{2}{3}\\&2x=\frac{8}{9}.\end{aligned}\right.\]
در این مثال، واضح است که
\[\begin{aligned}&x^2<\sqrt{x},\\&x<\sqrt{x}<2x.\end{aligned}\]
برای مورد سوم قرار دهید:
\[x=2\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2}x=1\\&\sqrt{x}=\sqrt{2}.\end{aligned}\right.\]
در این مثال، واضح است که
\[\frac{1}{2}x<\sqrt{x}<x.\]
می‌توان با قرار دادن \(15\) عدد طبیعی متفاوت بر تمام رأس‌های شکل زیر، آن را به نموداری تبدیل کرد که اگر از \(a\) به \(b\) یک پیکان باشد، آنگاه \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشند و برعکس، اگر \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشد یک پیکان از \(a\) به \(b\) باشد. حاصل‌ضرب این پانزده عدد دست‌کم چند شمارندهٔ اول دارد؟
حاصل‌ضرب این پانزده عدد دست‌کم \(5\) شمارندهٔ اول دارد. کافی است پنج نقطه‌ای که پیکان‌ها از آنها خارج شده‌اند، اعداد اول باشند و بقیه اعداد مرکبی باشند که مقسوم‌علیه‌های اول آنها فقط این پنج عدد باشند. برای مثال، شکل زیر را بببینید.
مجموع ارقام حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1+2+3+\dots+10^{100}\]
می‌دانیم:
\[1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&1+2+3+\dots+10^{100}\\[7pt]&=\frac{10^{100}\big(10^{100}+1\big)}{2}\\[7pt]&=\frac{10\times10^{99}\big(10^{100}+1\big)}{2}\\[7pt]&=5\times10^{99}\big(10^{100}+1\big)\\[7pt]&=5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}\big(1\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}1\big)\\[7pt]&=5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}5\underbrace{000\dots000}_{\text{تا}99}.\end{aligned}\] در نتیجه، مجموع ارقام حاصل عبارت \(1+2+3+\dots+10^{100}\) برابر است با:
\[5+5=10.\]
قطرهای یک توری \(4\times5\) (شکل زیر)، \(6\)تا از مربع‌های کوچک توری را قطع نکرده‌اند. اگر قطرهای یک توری \(8 \times 10\) را رسم کنیم، این قطرها چندتا مربع \(1\times 1\) توری را قطع نمی‌کنند؟
اگر یکی از قطرهای توری \(4 \times 5\) حذف کنیم، یکی از قطرها، \(8\)تا مربع را قطع می‌کند و \(12\) مربع باقی‌مانده با آن قطر، تقاطعی ندارند. (هرکدام از قطرها حذف شوند، نتیجه یکسان است.)
حال، می‌توانیم با به‌هم چسباندن چهارتا توری \(4\times5\)، یک توری $8 \times 10$ بسازیم:
همان‌طور که در شکل بالا می‌بینید، وقتی این چهار توری به‌هم چسبانده می‌شوند، قطرهای هریک از آنها، قطرهای توری بزرگ‌تر را می‌سازند؛ زیرا این قطرها، شیب یکسانی دارند.
در هر کدام از این چهار توری \(4\times5\)، \(12\)تا مربع \(1 \times 1\) وجود دارند که با قطرها تقاطعی ندارند. بنابراین، اگر قطرهای یک توری \(8 \times 10\) را رسم کنیم، تعداد مربع‌های \(1\times 1\) این توری که توسط قطرها قطع نمی‌شوند، برابر است با:
\[4\times12=48.\]
مجموع دو عدد اول \(30\) شده است. آن دو عدد را پیدا کردیم. این مسئله چند جواب دارد؟
\[\begin{aligned}30&=7+23\\&=11+19\\&=13+17.\end{aligned}\] بنابراین، این مسئله سه جواب دارد.
فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی زوج باشد. اگر برای هریک از اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{n}{2}\)، مانند \(p\)، عدد اولی مانند \(q\) وجود داشته باشد به‌طوری‌که \(p+q=n\)، آن‌وقت \(n\) را یک عدد زوج فراگُلدباخی می‌نامیم. مثال ۱. عدد \(10\) یک عدد زوج فراگُلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{10}{2}\) عبارتند از: \[5,7\]و برای هریک از این دو عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(10\) شود:\[\begin{aligned}5+5&=10\\7+3&=10.\end{aligned}\]مثال۲. عدد \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{54}{2}\) عبارتند از:\[29,31,37,41,43,47,53\]و چون \(29+25=54\)، و \(25\) عدد اول نیست، پس \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست.
به‌غیر از \(10\)، همهٔ اعداد زوج فراگُلدباخی کوچک‌تر از \(250\) را پیدا کنید.
\(\bullet\) عدد \(16\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{16}{2}\) عبارتند از\[11,13\]و برای هریک از این دو عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(16\) شود:\[\begin{aligned}11+5&=16\\13+3&=16.\end{aligned}\]
\(\bullet\) عدد \(36\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{36}{2}\) عبارتند از\[19,23,29,31\]و برای هریک از این چهار عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(36\) شود:\[\begin{aligned}19+17&=36\\23+13&=36\\29+7&=36\\31+5&=36.\end{aligned}\]
\(\bullet\) عدد \(210\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{210}{2}\) عبارتند از
\[\begin{aligned}&107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,\\& 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199\end{aligned}\]و برای هریک از این اعداد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(210\) شود:\[\begin{aligned}107+103&=210\\109+101&=210\\113+97&=210\\127+83&=210\\131+79&=210\\137+73&=210\\139+71&=210\\149+61&=210\\151+59&=210\\157+53&=210\\163+47&=210\\167+43&=210\\173+37&=210\\179+31&=210\\181+29&=210\\191+19&=210\\193+17&=210\\197+13&=210\\199+11&=210.\end{aligned}\]
\(\bullet\) به‌غیر از \(10\)، \(16\)، \(36\)، و \(210\)، هیچ‌یک از اعداد دیگر کوچک‌تر از \(250\)، فراگلدباخی نیستند. با آزمایش دستی یا چند خط برنامه‌نویسی ساده با رایانه، می‌توان همهٔ اعداد فراگلدباخی کوچک‌تر از \(250\) را به‌دست آورد:
برنامه‌ای که اعداد فراگلدباخی کوچک‌تر از ۲۵۰ را چاپ می‌کند.
پرسش. چند عدد فراگلدباخی بزرگ‌تر از \(250\) وجود دارد؟
در ویدئوی زیر، به پرسش بالا پاسخ داده می‌شود.
برای مشاهدهٔ مقاله‌ای که در ویدئوی بالا به آن اشاره شد، اینجا را کلیک کنید.
الگوی زیر با مستطیل‌های \(2\times4\) ساخته می‌شود به‌طوری‌که رأس سمت چپ بالای هر مستطیل، وسط ضلع مستطیل بالا آن قرار داد.
اگر شکل بالا را تا مستطیل دهم ادامه دهیم، محیط شکل حاصل چقدر است؟
در سمت چپ و راست هر مستطیل دوتا ضلع عمودی با اندازهٔ \(2\) وجود دارد. مجموع طول این ضلع‌ها برابر است با: \[(2+2)\times10=4\times10=40.\] حالا مجموع اندازهٔ ضلع‌های افقی را محاسبه می‌کنم.
مجموع اندازهٔ ضلع‌های افقیِ مستطیل اول که در محیط کل محاسبه می‌شود برابر است با: \[4+2=6.\]
مجموع اندازهٔ ضلع‌های افقیِ مستطیل دهم که در محیط کل محاسبه می‌شود برابر است با: \[4+2=6.\]
مجموع اندازهٔ ضلع‌های افقیِ هریک از مستطیل‌های دوم تا هشتم که در محیط کل محاسبه می‌شود برابر است با: \[2+2=4.\] پس مجموع اندازهٔ ضلع‌های افقی همهٔ مستطیل‌ها که در محیط کل شکل دهم محاسبه می‌شود، برابر است با: \[6+6+8\times4=12+32=44.\] بنابراین، محیط شکل دهم برابر است با: \[40+44=84.\]
راهنمای حل ۲
محیط یک مستطیل \(2\times4\) برابر است با: \[2\times(2+4)=2\times6=12.\] اگر شکل داده شده را تا مستطیل دهم ادامه دهیم، \(10\)تا مستطیل روی هم خواهیم داشت. ابتدا فرض کنیم که این \(10\) مستطیل جدا از هم باشند. در اینصورت، مجموع محیط این مستطیل‌ها برابر است با:
\[12\times10=120.\]
وقتی مستطیل‌ها روی هم قرار می‌گیرند، مقداری از محیط حذف می‌شود! مثلاً وقتی مستطیل اول روی مستطیل دوم قرار می‌گیرد، \(2\) واحد از محیط مستطیل اول و \(2\) واحد از محیط مستطیل دوم حذف می‌شود. در مکان‌های دیگری که دو مستطیل به‌هم چسبیده‌اند، \(2\) واحد از هریک از مستطیل‌ها حذف می‌شود. واضح است که تعداد چسبیدن دو مستطیل به‌هم \(9\)تاست.
۱. محل چسبیدن مستطیل اول به دوم
۲. محل چسبیدن مستطیل دوم به سوم
۳. محل چسبیدن مستطیل سوم به چهارم
۴. محل چسبیدن مستطیل چهارم به پنجم
۵. محل چسبیدن مستطیل پنجم به ششم
۶. محل چسبیدن مستطیل ششم به هفتم
۷. محل چسبیدن مستطیل هفتم به هشتم
۸. محل چسبیدن مستطیل هشتم به نهم
۹. محل چسبیدن مستطیل نهم به دهم
بنابراین، مجموع محیط‌های حذف شده برابر است با: \[9\times(2+2)=9\times4=36.\] در نتیجه، محیط شکل دهم برابر است با: \[120-36=84.\]
شکل زیر از یک مثلث متساوی‌الاضلاع، یک مربع، و یک پنج‌ضلعی منتظم تشکیل شده است. محیط آن با توجه به اندازه‌های داده شده چقدر است؟
در زیر، محیط شکل را به سه قسمت آبی، قرمز، و سبز، تقسیم کرده‌ایم. محیط قسمت آبی برابر است با:
\[\begin{aligned}&(6a-9)\times5-(3a+4)\\&=30a-45-3a-4\\&=27a-49.\end{aligned}\]
محیط قسمت قرمز برابر است با:
\[\begin{aligned}&(3a+4)\times3-(2a+3)\\&=9a+12-2a-3\\&=7a+9.\end{aligned}\]
محیط قسمت سبز برابر است با:
\[\begin{aligned}(2a+3)\times2=4a+6.\end{aligned}\]
در نتیجه، محیط کل شکل برابر است با:
\[\begin{aligned}&(27a-49)+(7a+9)+(4a+6)\\&=38a-34.\end{aligned}\]
زمین بسیار بزرگی را با الگویی یکسان با کاشی‌های سفید و سیاه، کاشی‌کاری کرده‌ایم. شکل زیر، قطعه‌ای از این کاشی‌کاری است. اگر برای این کار از \(3000\) کاشی سیاه استفاده کرده باشیم، حدوداً چند کاشی سفید مصرف شده است؟
مشابه شکل زیر، می‌توان چهارتا کاشی را به‌هم چسباند و آن را یک کاشیِ جدید در نظر گرفت.
با انتقالِ این کاشی جدید، می‌توان کل زمین را کاشی‌کاری کرد. ویدئوی زیر را ببینید.
چون در کاشی جدید، به‌ازای هر سه کاشی سفید، یک کاشی سیاه وجود دارد، پس اگر در کاشی‌کاری زمین بسیار بزرگ از \(3000\) کاشی سیاه استفاده کرده باشیم، تعداد کاشی‌های سفید حدوداً برابر است با:
\[3000\times3=9000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.
اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، و \(\dots\) را مطابق شکل بر روی صفحهٔ مختصات می‌نویسیم. این اعداد به‌ترتیب در مختصات \(\big[{0\atop0}\big]\)، \(\big[{1\atop-1}\big]\)، \(\big[{2\atop0}\big]\)، و \(\dots\) قرار دارند.
اگر مختصات نقطهٔ متناظر عدد \(1399\) را \(\big[{x\atop y}\big]\) بنامیم، آنگاه مقدار \(x-y\) را حساب کنید.
مسیر آبی‌رنگ شکل زیر را با دقت ببینید.
واضح است که این الگو از به‌هم چسباندن تعدادی مسیر آبی‌رنگ تولید می‌شود. هر مسیر آبی، از شش نقطه تشکیل شده است. پس برای اینکه بدانیم نقطهٔ \(1399\) کجاست، ابتدا باید باقی‌ماندهٔ تقسیم \(1399\) بر \(6\) را به‌دست بیاوریم: \[1399=6\times233+1.\] پس جایگاه \(1399\) به‌صورت زیر است.
در این الگو، همهٔ نقاطی که باقی‌ماندهٔ تقسیم آنها بر \(6\) برابر \(1\) است، طول و عرض‌شان برابر است.
مختصات نقطهٔ \(1\) برابر است با: \(\big[{0\atop0}\big]\)
مختصات نقطهٔ \(7\) برابر است با: \(\big[{2\atop2}\big]\)
مختصات نقطهٔ \(13\) برابر است با: \(\big[{4\atop4}\big]\)
پس \(x-y=0\).
پرسش. آیا می‌توانید \(x\) و \(y\) را به‌دست آورید.
می‌دانیم \(P=\big[{1\atop0}\big]\) و \(Q=\big[{5\atop0}\big]\). کدام نقطه (نقطه‌های) زیر را انتخاب کنیم تا با نقاط \(P\) و \(Q\) یک مثلث با مساحت \(6\) بسازد؟
\[\begin{aligned}\Big[{2\atop5}\Big],\,\Big[{3\atop2}\Big],\,\Big[{4\atop6}\Big],\,\Big[{5\atop4}\Big],\,\Big[{6\atop3}\Big].\end{aligned}\]
نقاط داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.
با توجه به شکل بالا، پاره‌خط \(PQ\) را قائدهٔ مثلث در نظر می‌گیریم. در اینصورت اگر ارتفاع مثلث را \(h\) بنامیم، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{\overline{PQ}\times h}{2}=6\\[7pt]&\Rightarrow\frac{4h}{2}=6\\[7pt]&\Rightarrow2h=6\\&\Rightarrow h=3.\end{aligned}\]چون ارتفاع مثلث باید برابر \(3\) باشد و از بین نقاط داده شده، فقط فاصلهٔ نقطهٔ \(E=\big[{6\atop3}\big]\) از خط \(PQ\) برابر \(3\) است، پس فقط مساحت مثلث \(PQE\) برابر \(6\) می‌شود.
محیط قسمت آبی برابر است با:
سلام.وقت بخیر