هفته پنجم دورهٔ پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد

مطالب تدریس شده در کلاس

1. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$$(4.2)^2+2(4.2)(1.8)+(1.8)^2$$


پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&(4.2)^2+2(4.2)(1.8)+(1.8)^2\\&=(4.2+1.8)^2\\&=6^2\\&=36.\end{aligned}\]


---

2. فرض کنید $A$ مجموعه‌ای باشد که اعضای آن ریشه‌های چندجمله‌ای زیر هستند.
   $$x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1$$ $n(A)$ چه عددی است؟
پاسخ را نشان بده!

برای پیدا کردن ریشه‌های چندجمله‌ای داده شده، آن را تجزیه می‌کنیم. چون مجموع ضرایب چندجمله‌ای
\[x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1\] برابر صفر است، پس این چندجمله‌ای بر \(x-1\) بخش‌پذیر است و با تقسیم آن بر \(x-1\)، عملیات تجزیه یک مرحله پیش می‌رود. ولی ما در اینجا از روش دیگری برای تجزیهٔ $x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1$ استفاده می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1\\&=x^5+x^3+3x^3-3x^4-x^2-3x^2+3x-1\\&=(x^5+x^3)+(3x^3+3x)+(-3x^4-3x^2)+(-x^2-1)\\&=x^3(x^2+1)+3x(x^2+1)-3x^2(x^2+1)-(x^2+1)\\&=(x^3+3x-3x^2-1)(x^2+1)\\&=(x-1)^3(x^2+1)\end{aligned}\]بنابراین، چندجمله‌ای $x^5+4x^3-3x^4-4x^2+3x-1$ فقط یک ریشه دارد: \(x=1\). پس \(A=\{1\}\) و در نتیجه:
\[n(A)=1.\]


---

3. یک چندجمله‌ای بیابید که ریشه‌اش \(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\) باشد ولی ضرایب یک‌جمله‌ای‌های آن اعداد صحیح باشد.
پاسخ را نشان بده!

قبل از حل این تمرین، حتماً تمرین‌ ۱۰ صفحهٔ ۹۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را حل کنید.
\[\begin{aligned}&\alpha=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\\&\Rightarrow\alpha-\sqrt{3}=\sqrt[3]{2}\\&\Rightarrow\big(\alpha-\sqrt{3}\big)^3=\big(\sqrt[3]{2}\big)^3\\&\Rightarrow\alpha^3-3\sqrt{3}\alpha^2+9\alpha-3\sqrt{3}=2\\&\Rightarrow\alpha^3+9\alpha-2=3\sqrt{3}\alpha^2+3\sqrt{3}\\&\Rightarrow\alpha^3+9\alpha-2=3\sqrt{3}(\alpha^2+1)\\&\Rightarrow \big(\alpha^3+9\alpha-2\big)^2=\big(3\sqrt{3}(\alpha^2+1)\big)^2\\&\Rightarrow\alpha^6+81\alpha^2+4+18\alpha^4-4\alpha^3-36\alpha=27(\alpha^2+1)^2\\&\Rightarrow\alpha^6+18\alpha^4-4\alpha^3+81\alpha^2-36\alpha+4=27(\alpha^4+2\alpha^2+1)\\&\Rightarrow \alpha^6+18\alpha^4-4\alpha^3+81\alpha^2-36\alpha+4=27\alpha^4+54\alpha^2+27\\&\Rightarrow \alpha^6-9\alpha^4-4\alpha^3+27\alpha^2-36\alpha-23=0.\end{aligned}\]
بنابراین، \(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\) یکی از ریشه‌های چندجمله‌ای
\[x^6-9x^4-4x^3+27x^2-36x-23\] است.


---

4. اگر $B=\big\{|x+1|\;\big| x^2\in ‎\mathbb{Z} , |x|<2\big\}$، آنگاه کوچک‌ترین عضو گنگ مجموعهٔ $B$ را روی محور اعداد نشان دهید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}B&=\big\{|x+1|\;\big|\; x^2\in ‎\mathbb{Z} , |x|<2\big\}\\&=\{|\sqrt{3}+1|,|\sqrt{2}+1|,|2|,|1|,|0|,|-\sqrt{2}+1|,|-\sqrt{3}+1|\}\\&=\{\sqrt{3}+1,\sqrt{2}+1,2,1,0,\sqrt{2}-1,\sqrt{3}-1\}.\end{aligned} \]
بنابراین کوچک‌ترین عضو گنگ مجموعهٔ $B$ عدد $\sqrt{2}-1$ یا $-1+\sqrt{2}$ است.
برای نشان دادن این عدد روی محور، مثلث قائم‌الزاویه‌ٔ متساوی‌الساقینی مانند شکل زیر رسم می‌کنیم. چون وتر این مثلث برابر $\sqrt{2}$ است پس دایرهٔ رسم شده در شکل زیر، قسمت مثبت محور را در نقطهٔ $-1+\sqrt{2}$ قطع کرده است.



---

5. اگر $a+1$ عددی منفی باشد، آنگاه حاصل عبارت $\sqrt{(1-a)^2}-\sqrt{(a+1)^2}$ را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}\sqrt{(1-a)^2}-\sqrt{(a+1)^2}=|1-a|+|a+1|.\end{aligned}\] چون \(a+1\) عددی منفی است، پس
\[|a+1|=-(a+1)=-a-1.\] از اینکه \(a+1\) عددی منفی است، نتیجه می‌شود \(1-a\) عددی مثبت است.
چگونه؟

\[\begin{aligned} a+1 < 0 &\Rightarrow a < -1\\&\Rightarrow -a > 1\\&\Rightarrow 1-a > 1+1\\&\Rightarrow 1-a > 2.\end{aligned}\]

بنابراین،
\[|1-a|=1-a.\]
در نتیجه، داریم:
\[\begin{aligned}\sqrt{(1-a)^2}-\sqrt{(a+1)^2}&=|1-a|+|a+1|\\&=1-a-a-1\\&=-2a.\end{aligned}\]


---

6. معادلهٔ زیر را حل کنید.

\[4a^4+10a^2+b^2-4ab+1=0.\]


پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&4a^4+10a^2+b^2-4ab+1=0\\&\Rightarrow4a^4+6a^2+4a^2+b^2-4ab+1=0\\&\Rightarrow4a^4+6a^2+(4a^2+b^2-4ab)+1=0\\&\Rightarrow 4a^4+6a^2+(2a-1)^2+1=0.\end{aligned}\] چون برای هر مقدار \(a\) و \(b\)، مقادیر \(4a^4\)، \(6a^2\)، و \((2a-1)^2\) همواره نامنفی هستند، پس
\[4a^4+6a^2+(2a-1)^2+1\geq 1.\] بنابراین، معادلهٔ داده شده جواب حقیقی ندارد.


---

7. اگر \(x=1-\sqrt{2}\)، حاصل \(\sqrt[3]{x+x^{-1}}\) چیست؟
پاسخ را نشان بده!

ابتدا حاصل $x^{-1}$ را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}x^{-1}&=\Big(1-\sqrt{2}\Big)^{-1}\\[5pt]&=\frac{1}{1-\sqrt{2}}\\[6pt]&=\frac{1}{1-\sqrt{2}}\times\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\\[6pt]&=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\\[6pt]&=-1-\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}\sqrt[3]{x+x^{-1}}&=\sqrt[3]{1-\sqrt{2}-1-\sqrt{2}}\\&=\sqrt[3]{-2\sqrt{2}}\\&=\sqrt[3]{-\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=-\sqrt{2}.\end{aligned}\]


---

8. معادلهٔ زیر را حل کنید.

\[16x^2+16x+3=0\]


پاسخ را نشان بده!

راه‌حل اول

\[\begin{aligned}&16x^2+16x+3=0\\&\Rightarrow16x^2+12x+4x+3=0\\&\Rightarrow(16x^2+12x)+(4x+3)=0\\&\Rightarrow4x(4x+3)+1(4x+3)=0\\&\Rightarrow(4x+1)(4x+3)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&4x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\\[7pt]&4x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{4}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]

---

راه‌حل دوم

\[\begin{aligned}&16x^2+16x+3=0\\&\Rightarrow(4x)^2+4(4x)+3=0\\&\Rightarrow(4x+1)(4x+3)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&4x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\\[7pt]&4x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{4}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]


---

9. یک چندجمله‌ای درجه ۳، مانند \(P(x)\) بیابید، به‌طوری که \(P(-1)=0\)، \(P(-2)=-1\)، و \(P(3)=4\).
پاسخ را نشان بده!

\[P(x)=(x+1)+(x+1)(x+2)(x-3).\]


---

10. در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، $\widehat{A}=45^\circ$، $AB=6$، و $AD=4\sqrt{2}$. حجم حاصل از دوران این متوازی‌الاضلاع را یک‌بار حول ضلع $AB$ و بار دیگر حول ضلع $AD$ حساب کنید.
پاسخ را نشان بده!

اگر ارتفاع $DH$ را رسم کنیم، خواهیم داشت:
\[AH=DH=4.\]
چرا؟

چون $\widehat{A}=45^\circ$ و $D\widehat{H}A=90$، پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث $ADH$) داریم: $A\widehat{D}H=45^\circ$. بنابراین، بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[DH=AH.\]
برای سادگی قرار می‌دهیم: $AH=x$. حال، بنابه قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث $ADH$) داریم:
\[\begin{aligned}&AH^2+DH^2=AD^2\\&\Rightarrow x^2+x^2=(4\sqrt{2})^2\\&\Rightarrow 2x^2=32\\&\Rightarrow x^2=16\\&\Rightarrow x=4.\end{aligned}\]

---

حال، اگر ارتفاع $CK$ را رسم کنیم. دو مثلث $ADH$ و $BCK$ هم‌نهشت خواهند بود.
چرا؟

می‌دانیم در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های مجاور مکمل هستند(؟). پس $A\widehat{B}C=135^\circ$. در نتیجه $C\widehat{B}K=45^\circ$. یعنی:
\[D\widehat{A}H=C\widehat{B}K.\quad(1)\]
همچنین می‌دانیم که در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های روبه‌رو برابرند(؟). پس:
\[AD=BC.\quad(2)\]
از طرفی،
\[A\widehat{H}D=B\widehat{K}C=90^\circ.\quad(3)\]
از رابطه‌های $(1)$، $(2)$، و $(3)$ نتیجه می‌شود که دو مثلث $ADH$ و $BCK$ در حالت ززض هم‌نهشت هستند.



پس حجم حاصل از دوران مثلث $ADH$ حول خط $AB$ برابر است با حجم حاصل از دوران مثلث $BCK$ حول خط $AB$.
در نتیجه حجم حاصل از دوران مستطیل $CDHK$ حول خط $AB$ برابر است با حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول خط $AB$. بنابراین، حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول خط $AB$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times6\\&=\pi\times16\times6\\&=96\pi.\end{aligned}\]

---

راه‌حل زیر، مشابه راه‌حل بالا است.

اگر ارتفاع $BH$ را رسم کنیم، خواهیم داشت:
\[AH=BH=3\sqrt{2}.\]
(چرا؟)



حال، اگر ارتفاع $CK$ را رسم کنیم، دو مثلث $ABH$ و $CDK$ هم‌نهشت خواهند بود. (چرا؟)



پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABH$ حول خط $AD$ برابر است با حجم حاصل از دوران مثلث $CDK$ حول خط $AD$.
در نتیجه حجم حاصل از دوران مستطیل $BCKH$ حول خط $AD$ برابر است با حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول خط $AD$. بنابراین، حجم حاصل از دوران متوازی‌الاضلاع $ABCD$ حول خط $AD$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times(3\sqrt{2})^2\times4\sqrt{2}\\&=\pi\times18\times4\sqrt{2}\\&=72\sqrt{2}\,\pi.\end{aligned}\]

---