برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


اتحاد مزدوج
اگر \(A\) و \(B\) دوتا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی زیر یک اتحاد است که به آن اتحاد مزودج می‌گویند.
\[({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}+{\color{blue}B})={\color{red}A}^2-{\color{blue}B}^2.\]

چرا تساوی بالا، اتحاد است؟

مثال ۱. حاصل عبارت‌های زیر را با استفاده از اتحاد مزدوج به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید.
الف) \((x+5)(x-5)\)

ب) \((x-x^2)(x+x^2)\)

ج) \((3x-4)(3x+4)\)

د) \(\big(x^2+x+1\big)\big(x^2-x+1\big)\)

تجزیه با استفاده از اتحاد مزدوج
می‌دانیم:
\[{\color{red}A}^2-{\color{blue}B}^2=({\color{red}A}-{\color{blue}B})({\color{red}A}+{\color{blue}B}).\]
برای مثال، با استفاده از اتحاد مزدوج، چندجمله‌ای \(x^2-2\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&x^2-2\\&={\color{red}x}^2-\big({\color{blue}\sqrt{2}}\big)^2\\&=\big({\color{red}x}-{\color{blue}\sqrt{2}}\big)\big({\color{red}x}+{\color{blue}\sqrt{2}}\big).\end{aligned}\]

از ما بپرسید


برای اینکه از اتحاد مزدوج استفاده کنیم، باید \(A\) و \(B\) را بشناسیم! در راه‌حل هریک از مثال‌های بالا، \(A\) و \(B\) به‌ترتیب با رنگ‌های قرمز و آبی نشان‌ داده‌ شده‌اند.

بله! هر چندجمله‌ای که با اتحاد مزدوج تجزیه شود، درواقع با فاکتورگیری تجزیه شده است! زیرا:
\[\begin{aligned}&A^2-B^2\\&=\underbrace{A^2-AB}+\underbrace{AB-B^2}\\&=A(A-B)+B(A-B)\\&=(A-B)(A+B).\end{aligned}\] برای مثال، \(x^2-2\) را می‌توان این‌گونه تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&x^2-2\\&=x^2-\sqrt{2}x+\sqrt{2}x-2\\&=\underbrace{x^2-\sqrt{2}x}+\underbrace{\sqrt{2}x-\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=x(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})\\&=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).\end{aligned}\]

مثال ۳. مانند راه‌حل بالا، ابتدا با مشخص کردن \(A\) و \(B\) چندجمله‌‌ای \(4x^2-9\) را با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه کنید. سپس، به‌عنوان راه‌حل دوم، آن را با استفاده از فاکتورگیری تجزیه کنید.

از ما بپرسید


اگر می‌خواهید ریاضیات را عمیق بیاموزید، نباید مقایسهٔ روش‌ها باعث شود که یکی را یاد بگیرید و دیگری را نیاموزید.
برای مثال، اگر در مثال بالا، روش فاکتورگیری را هم بلد باشید، خواهید دید که جزئیات این روش در مسائل سخت‌تر به شما کمک خواهد کرد.
اگر می‌خواهید پیرو بزرگان دنیای ریاضیات باشید، هیچ‌وقت در حل مسائل به یک روش قانع نشوید. برای آشنایی با روش حل مسئلهٔ یکی از برزگ‌ترین ریاضیدانان معاصر،‌ اینجا را کلیک کنید.

اگر درس ضرب کردن عبارت‌های جبری با استفاده از خاصیت پخشی، به‌طور اصولی برای شما تدریس شده باشد، به‌هیچ‌وجه چنین ایده‌هایی دور از ذهن شما نخواهد بود. مثلاً اگر معلم، شما را عادت داده باشد که برای مثال، برای ضرب کردن \(2x-3\) در \(2x+3\) راه‌حل زیر را به‌طور کامل بنویسید، آن‌وقت ایدهٔ تجزیهٔ \(4x^2-9\) با استفاده از فاکتورگیری، خیلی برایتان عجیب نیست! زیرا برای تجزیهٔ \(4x^2-9\) کافی است که راه‌حل زیر را برعکس بنویسید.
\[\begin{aligned}&(2x-3)(2x+3)\\&={\color{red}2x(2x+3)-3(2x+3)}\\&=4x^2+12x-12x-9\\&=4x^2-9.\end{aligned}\]
متأسفانه، خیلی از معلمان در همان ابتدای تدریس ضرب کردن عبارت‌های جبری، برای سریع‌تر ضرب کردن، استفاده از اتحادها را به دانش‌آموزان توصیه می‌کنند! البته، برخی از معلمان چنین کاری نمی‌کنند ولی آنها هم برای ضرب کردن مثال بالا، خط دوم را نمی‌نویسند!

اگر معلم راه‌حل چنین مثال‌هایی را، مانند بالا، کامل بنویسد و هربار پس از ضرب کردن، تأکید کند که در آینده مبحثی بسیار مهم به‌نام «تجزیه» وجود دارد که …، آن‌وقت ایده‌های فاکتورگیری این‌چنینی برای دانش‌آموزان جدید نخواهد بود.

مثال ۴. کمک اتحاد مزدوج، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) \(-625+x^4\)

ب) \((x+3)^4-(x-3)^4\)

مثال ۵. ابتدا به کمک فاکتورگیری و اتحاد مزدوج، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید و ریشه‌های آنها را بیابید. سپس، با استفاده از جئوجبرا رفتار آنها را بررسی کنید.

الف) \(25x^4-9x^2\)

ب) \((x+3)^3-2(x+3)\)

مثال ۶. برای تجزیهٔ عبارت‌های زیر از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج کمک بگیرید.

الف) \((x^4+4x^2+4)-4x^2\)

ب) \(4y^4+1+4y^2-4y^2\)

زنگ تفریح


تمرین‌های بیشتر

برای اینکه به مطالب این درس مسلط شوید، حتماً تمرین‌های اتحاد مزدوج را حل کنید.

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

ابتدا قانون دنبالهٔ زیر را کشف کنید. \[1,1,4,9,25,64,\dots\] سپس، سعی کنید روش هوشمندانه‌ای برای جمع زدن جمله‌های اول تا نهم این دنباله بیابید.

ارسال پاسخ

 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات