مسائل ریاضی آزمون ورودی پایه دهم سمپاد و نمونه دولتی (خرداد ۹۷)
۷۱. به‌جای $x$ چند مقدار صحیح مختلف می‌توان قرار داد تا مقدار عددی عبارت $(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)$ برابر صفر شود؟ ۱) یک ۲) دو ۳) چهار ۴) شش پاسخ تشریحی ۷۲. می‌خواهیم جدول زیر را طوری پر کنیم که جمع اعداد هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت باشد. در مورد $x$ چه می‌توان گفت؟ […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۱
به‌جای $x$ چند مقدار صحیح مختلف می‌توان قرار داد تا مقدار عددی عبارت $(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)$ برابر صفر شود؟ ۱) یک ۲) دو ۳) چهار ۴) شش راهنمای حل گزینهٔ ۳ درست است. زیرا: \[\begin{aligned}&(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)=0\\&\Rightarrow(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-2)(x+2)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1\\&x-\sqrt{2}=0\Rightarrow x=\sqrt{2}\\&x+\sqrt{2}=0\Rightarrow x=-\sqrt{2}\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون $\sqrt{2}$ و $-\sqrt{2}$ اعداد صحیح نیستند، پس عبارت $(x^2-1)(x^2-2)(x^2-4)$ به‌ازای چهار مقدار صحیحِ $1$، $-1$، […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۲
آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۷۲. می‌خواهیم جدول زیر را طوری پر کنیم که جمع اعداد هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت باشد. در مورد $x$ چه می‌توان گفت؟ ۱) می‌تواند هر عددی باشد. ۲) تنها می‌تواند صفر باشد. ۳) عددی بزرگ‌تر از ۷ است. ۴) حتماً […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۳
امیر حسین $11$ تکه کاغذ روی میز شمارهٔ $1$ دارد. او تکه کاغذها را به‌نوبت از میز شمارهٔ $1$ به میز شمارهٔ $2$ منتقل می‌کند. در نوبت‌های زوج، امیرحسین تکه کاغذی را که در حال جابه‌جا شدن است، نصف می‌کند. بنابراین در انتها، $16$ تکه کاغذ روی میز شمارهٔ $2$ دارد. برای انتقال کاغذها از […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۴
یک پرتو نور را از نقطهٔ $(2,7)$ به نقطهٔ $3$ روی محور $y$ها می‌تابانیم. هر دو محور $x$ها و $y$ها مانند آینه عمل می‌کنند. پس از دومین بازتاب، پرتو نور با چه شیبی ادامهٔ مسیر خواهد داد؟ ۱) $2$ ۲) $\frac{1}{2}$ ۳) $-2$ ۴) $-\frac{1}{2}$ راهنمای حل زاویهٔ بین پرتو نور و محور $y$ها را […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۵
با $30$ مکعب توپُرِ هم‌اندازه به ضلع یک سانتی‌متر، چند مکعب‌مستطیلِ توپُرِ متفاوت به حجم $30$ سانتی‌مترِ مکعب می‌توان ساخت؟ ۱) $6$ ۲) $5$ ۳) $4$ ۴) $3$ راهنمای حل کافی است همهٔ حالت‌هایی را که می‌توان عدد $30$ را به‌صورت حاصل‌ضرب سه عدد طبیعی نوشت، بیابیم: \[\begin{aligned}30&=1\times1\times30\\&=1\times2\times15\\&=1\times3\times10\\&=1\times5\times6\\&=2\times3\times5.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است. مسئلهٔ مشابه […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۶
آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۷۶. شعاع هر هفت دایرهٔ کوچک در شکل زیر، برابر ۱ است. دایرهٔ بزرگ، از نقطه‌های مماس شدن دایره‌های کوچک می‌گذرد. شعاع دایرهٔ بزرگ چقدر است؟ ۱) \(2\) ۲) $\dfrac{3}{2}$ ۳) $\sqrt{5}$ ۴) $\sqrt{3}$ این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۷
هریک از اعداد یک تا صد را با یکی از دو رنگ آبی و قرمز، رنگ‌آمیزی می‌کنیم. می‌دانیم هیچ $7$ عدد متوالی، آبی‌رنگ نیستند. حداقل چند عدد را قرمز کرده‌ایم؟ ۱) $14$ عدد ۲) $15$ عدد ۳) $16$ عدد ۴) $17$ عدد راهنمای حل کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم: \[100=7\times14+2.\] […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۸
در یک گروه از مسابقات فوتبال، $4$ تیم وجود دارد که هریک با سه تیم دیگر گروه مسابقه می‌دهند. اگر نتیجهٔ بازی تساوی بود، هرکدام یک امتیاز کسب می‌کنند. اگر نتیجه تساوی نباشد، تیم برنده $3$ امتیاز و تیم بازنده صفر امتیاز می‌گیرد. در پایان مسابقات، مجموع امتیازات هر $4$ تیم، چند عدد مختلف می‌تواند […]
آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۷۹
مریم یک عدد دو رقمی به‌تصادف انتخاب کرده است. احتمال اینکه حاصل‌ضرب ارقام آن عددی زوج باشد، چقدر است؟ ۱) $\frac{3}{4}$ ۲) $\frac{2}{8}$ ۳) $\frac{7}{14}$ ۴) $\frac{13}{18}$ راهنمای حل تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا […]