نهم. فصل ۳. قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس

قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.

فرض: دو زاویه متقابل به‌رأس هستند.
حکم: این دو زاویه برابرند.

اثبات. در شکل زیر، دو خط \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. می‌خواهیم ثابت کنیم که زاویه‌های متقابل‌به‌رأس \(AOB\) و \(COD\) برابرند.

برای سادگی، زاویه‌های \(AOB\)، \(AOD\)، و \(COD\) را به‌ترتیب با \(O_1\)، \(O_2\)، و \(O_3\) نمایش می‌دهیم.

\[\left.\begin{aligned}&\widehat{O}_1+\widehat{O}_2=180^\circ\\&\widehat{O}_3+\widehat{O}_2=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow \widehat{O}_1=\widehat{O}_3.\]