$n(A)=n(C)$. (چرا؟)
در مجموعهٔ $A$، هریک از شش غذا میتواند یکی از سه پیک را انتخاب کند و در مجموعهٔ $C$، اگر جایگاه رقمها را مشخص کنیم، هر جایگاه میتواند یکی از اعداد $1$، $2$، یا $3$ را انتخاب کند.
برای مثال، یکی از اعضای مجموعهٔ $A$ را میتوان بهصورت زیر نمایش داد:
که این حالت، همان عدد $121311$ در مجموعهٔ $C$ است.
$n(B)=n(D)$. (چرا؟)
در مجموعهٔ $B$، اگر جایگاه رقمها را مشخص کنیم، هر جایگاه میتواند یکی از اعداد $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، یا $6$ را انتخاب کند. در مجموعهٔ $D$ هریک از سه توپ میتواند یکی از شش جعبه را انتخاب کند.
برای مثال، یکی از اعضای مجموعهٔ $D$ را میتوان بهصورت زیر نشان داد:
که این حالت همان عدد $115$ در مجموعهٔ $B$ است.
مجموعه‌هایی را که ساخته‌اید در قسمت دیدگاه‌ها بنویسید.
این مسئله که در اکثر کتاب‌های معتبر آمده است، به‌سادگی میتواند شما را بسنجد که صرفاً فرمول‌های شمارشی را حفظ کرده‌اید یا واقعاً به آنها مسلط هستید. برای یادآوری، تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۳۴ کتاب ریاضی تکمیلی هشتم را دوباره بررسی می‌کنیم.
شش نامه و سه نفر پیک نامه‌رسان داریم. اگر این شش نامه را به‌تصادف بین سه نفر تقسیم کنیم، چقدر احتمال دارد که به پیک اول هیچ نامه‌ای نرسد؟
برای حل چنین مسائلی، ابتدا تعداد حالت‌ها را کمتر کنید تا بتوانید به‌راحتی همهٔ حالت‌های ممکن را بنویسید و سپس، راه‌حلی کلی برای شمارش تعداد حالت‌ها ارائه دهید. (چگونه چنین کاری کنم؟!)
فرض کنید سه نامه و دو نفر پیک نامه‌رسان داریم. همهٔ حالات ممکن را که بتوانیم این سه نامه را به دو پیک بدهیم، بنویسید.
حالت اول) هر سه نامه به پیک ۱ داده شود.
حالت دوم) هر سه نامه به پیک ۲ داده شود.
حالت سوم) نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۲ به پیک ۱ و نامهٔ شمارهٔ ۳ به پیک ۲ داده شود.
حالت چهارم) نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۳ به پیک ۱ و نامهٔ شمارهٔ ۲ به پیک ۲ داده شود.
حالت پنجم) نامه‌های شمارهٔ ۲ و ۳ به پیک ۱ و نامهٔ شمارهٔ ۱ به پیک ۲ داده شود.
حالت ششم) نامهٔ شمارهٔ ۱ به پیک ۱ و نامه‌های شمارهٔ ۲ و ۳ به پیک ۲ داده شود.
حالت هفتم) نامهٔ شمارهٔ ۲ به پیک ۱ و نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۳ به پیک ۲ داده شود.
حالت هشتم) نامهٔ شمارهٔ ۳ به پیک ۱ و نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۲ به پیک ۲ داده شود.
آیا حالت دیگری داریم؟
حالا برای اینکه بتوانیم همهٔ حالت‌ها را بشماریم (بدون اینکه همهٔ حالت‌ها را بنویسیم)، هریک از حالت‌ها را به یک کد تبدیل می‌کنیم.
حالت اول را با کد 111 نمایش میدهیم؛ یعنی هر سه نامه پیک 1 را انتخاب کرده‌‌اند.
حالت دوم را با کد 222 نمایش میدهیم؛ یعنی هر سه نامه پیک 2 را انتخاب کرده‌‌اند.
حالت سوم را با کد 112 نمایش میدهیم؛ یعنی نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۲ پیک 1 را انتخاب کرده باشند و نامهٔ شمارهٔ ۳ پیک 2 را انتخاب کرده باشد.
حالت چهارم را با کد 121 نمایش میدهیم؛ یعنی نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۳ پیک 1 را انتخاب کرده باشند و نامهٔ شمارهٔ ۲ پیک 2 را انتخاب کرده باشد.
حالت پنجم را با کد 211 نمایش میدهیم؛ یعنی نامه‌های شمارهٔ ۲ و ۳ پیک 1 را انتخاب کرده باشند و نامهٔ شمارهٔ ۱ پیک 2 را انتخاب کرده باشد.
حالت ششم را با کد 122 نمایش میدهیم؛ یعنی نامهٔ شماره ۱ پیک 1 را انتخاب کرده باشد و نامه‌های شمارهٔ ۲ و ۳ پیک 2 را انتخاب کرده باشند.
حالت هفتم را با کد 212 نمایش میدهیم؛ یعنی نامهٔ شمارهٔ ۲ پیک 1 را انتخاب کرده باشد و نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۳ پیک 2 را انتخاب کرده باشند.
حالت هشتم را با کد 221 نمایش میدهیم؛ یعنی نامهٔ شمارهٔ ۳ پیک 1 را انتخاب کرده باشد و نامه‌های شمارهٔ ۱ و ۲ پیک 2 را انتخاب کرده باشند.
به کدهای بالا دقت کنید! مسئلهٔ نامه‌ها و پیک‌ها شبیه این است که بخواهیم همهٔ اعداد سه‌رقمی را بنویسیم که با ارقام 1 و 2 نوشته می‌شوند که تعداد آنها برابر است با: \[2\times2\times2=2^3.\]
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ میدهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️سلام وقتتون بخیر. چرا بی شمارش جدا از هم نوشته شده دلیل خاصی داره؟
بله. خواسته تأکید کنه که منظور شمارش تعداد اعضاء نیست.
با عرض سلام و خسته نباشید
میخواستم راه حل خودم را ارائه دهم زیرا از نظرم راه حل سایت پیچیده بود
(A)n= برای هر شش غذا میتوان 3 پیک را در نظر گرفت
شش جای خالی میگذاریم(به تعداد غذا ها) و بین آنها علامت ضرب میگذاریم. امکان دارد هر یک از پیک ها رساننده ای غذا باشند پس برای هر یک از جاهای خالی عدد سه را در نظر میگیریم:
_*_*_*_*_*_=
3*3*3*3*3*3=729
(B)n= اعداد سه رقمی اند پس 3 جای خالی میگذاریم و بین آنها علامت ضرب را قرار میدهیم. هر یک از اعداد 6،5،4،3،2،1 میتواند در جای خالی قرار گیرد پس عدد 6 را در جای خالی میگذاریم. (تعداد اعداد مورد نظر)
_*_*_=
6*6*6=216
(C)n= عدد مورد نظر 6 رقمی است پسشش جای خالی میگذاریم. هریک از اعداد 3،2،1 میتواند در جای خالی باشد پس عدد 3 را در جاهای خالی میگذاریم(به تعداد اعدادی که در اختیار داریم)
_*_*_*_*_*_=
3*3*3*3*3*3=729
(D)n= برای هر توپ شش جعبه در اختیار داریم. سه جای خالی گذاشته و عدد 6 را در جای خالی قرار میدهیم(تعداد جعبه ها)
_*_*_=
6*6*6=216
نتیجه میگیریم:
n(A) = n(C) n(B) = n(D)
سلام
شما همهٔ حالت‌ها را شمرده‌اید! در این بخش، هدف شمارش تعداد حالت‌ها نیست. (جملهٔ اول این بخش در کتاب تکمیلی را بخوانید.)
در واقع آنچه شما نوشته‌اید، پاسخ این مسئله نیست! اگر مسئله از شما می‌خواست که تعداد حالت‌های هریک از مجموعه‌ها را بشمارید و جواب نهایی را باهم مقایسه کنید، آن‌وقت پاسختان درست بود.
در این مسائل باید بین اعضای مجموعه‌های با تعداد اعضای برابر، تناظر برقرار کنید. (راه‌حل تمرین‌های این بخش را با دقت بخوانید.)
در واقع هدف این بخش از کتاب ریاضیات تکمیلی نهم این است که دانش‌آموزان بیاموزند مسائل مشابه هم را تشخیص دهند. برای مثال، در همین مسئله، قسمت‌های الف و ج درواقع یک مسئله هستند. اگر دانش‌آموز این را درک کند، بعداً که در سال دهم به فصل شمارش می‌رسد، نیازی ندارد که تعداد اعضای هر دو مجموعهٔ \(A\) و \(C\) را بشمارد؛ وقتی یکی را شمرده باشد، طبیعتاً دیگری را هم شمرده است.
اکثر دانش‌آموزان در مسائل شمارشی مشکل دارند. مهم‌ترین دلیل مشکلات دانش‌آموزان در چنین مسائل این است که آنها نمی‌توانند مسائل مشابه را تشخیص دهند. در حالی که در مسائل شمارشی دبیرستانی حداکثر ۱۲ مسئلهٔ مختلف وجود دارد. ولی وقتی مسائلی از یک نوع و با صورت‌های مختلف بیان می‌شود (مثل قسمت «الف» و «ج» همین مسئله بالا) چون دانش‌آموزان نمی‌توانند همسان بودن این دو مسئله را تشخیص دهند، به مشکل برمی‌خورند.
در ریاضیات یک دید کلی وجود دارد که ریاضیدانان و انسان‌های خلاق و خوش‌فکر از آن استفاده می‌کنند: «مسائل و مشکلات باید طوری دسته‌بندی شوند که اگر راه‌حل یک مسئله از یکی دسته پیدا شد، راه‌حل بقیه مسائل آن دسته هم خودبه‌خود پیدا شود».
ولی اکثر افراد حوصلهٔ چنین دسته‌بندی‌هایی را ندارند و طبیعتاً میزان کارهای بیهودهٔ این افراد خیلی‌خیلی زیاد می‌شود.
و جسارتا سایت اشکال دیگه هم که داره میخواییم عکس آپلود کنیم صدامون رو ضبط میکنه 😐
ممنون که اطلاع دادید.
مشکل به تیم فنی ارجاع داده شد.
خواهش میکنم وظیفه بود
سلام به نظر من الف و ب یکسان هستند و ج و د یکسان هستند
چون مثلا برای الف ما 6 تا غذا با 3 تا جا داریم و برای ب 6 عدد با 3 تا جا داریم
برای ج 3 تا عدد داریم 6 تا جا و د سه تا توپ با 6 تا جا
اگر امکانش هست اشکال بنده را بگویید
با تشکر
سلام
شما به‌جای 6 و 3 از اعداد 3 و 2 استفاده کنید. یعنی مثلاً فرض کنید به‌جای ۶ غذا و ۳ پیک، ۳ غذا و ۲ پیک داشته باشیم. برای حالت جدید همهٔ حالت‌ها را بنویسید.
سلام بسیار متشکر 🙂
من متوجه منظورتان نمیشم ممنون میشم من را راهنمایی کنید
منظور این است که مسئله را تبدیل به حالت کوچک‌تری کنید تا بتوانید همهٔ حالت‌های ممکن را بنویسید.
سلام تعداد اعضای مجموعه د چن تا میشه؟ با توجه به قسمت ب ۲۱۶ تا؟
سلام
در این بخش، هدف شمارش تعداد اعضای مجموعه‌ها نیست.
تعداد اعضای مجموعهٔ \(B\) با تعداد اعضای مجموعهٔ \(D\) برابر است.
د میشه ترکیب ۳ از ۶ که تعدادش میشه ۲۰ تا
در این بخش، همان‌طور که خود کتاب نوشته است، هدف، شمارش تعداد اعضاء نیست. هرچند تعداد اعضای قسمت «د» عدد ۲۰ نمی‌شود.
و دلیل اینکه شما و خیلی از دانش‌آموزان در مسائل شمارشی به مشکل برمی‌خورید، رویکرد نادرست بسیاری از معلمان به این بخش مهم از ریاضیات است: تا قبل از اینکه مفاهیم به‌خوبی جا نیوفتاده باشد، نباید سراغ فرمول‌هایی مثل «ترکیب ۳ از ۶» رفت. و واضح است که آنچه شما نوشته‌اید جزء مباحث ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم نیست.
سلام
ببخشید مگه در قسمت دال نگفته 6 جعبه متمایز پس چرا شما جعبه 1 را دوبار حساب کردید؟
سلام
جعبهٔ ۱ را دوبار حساب نکرده‌ایم. هر دو توپ ۱ و ۲ را در جعبهٔ ۱ قرار داده‌ایم.
عالیه و واقعا ممنون???
چقد بد بود این قسمت بیشمارش
و اینکه ببخشید دکمه ویرایش کامنت هر کاری میکنم نمیاد?
ببخشید اگه عضو سایت بشیم اسمی که نشون میده همون نام و نام خانوادگی هست که مینویسیم یا نام کاربری؟
طبیعتاً نام و نام خانوادگی.
خودتان هم نباید نام کاربری‌تان را به کسی بگویید.
ممنون کاملا درسته من یه تناظری ایجاد کردم مثلا بین نامه و غذاها ولی دوباره فک کردم اگه پاسخم درست باشه پس همین تناظره هم درست بوده.۲ به توان ۶ تقسیم بر ۳ توان ۶ هست؟ اگه میشه بگین درست هست یا غلط بسیار ممنون⚘⚘
فکر کنم منظور از برقراری تناظر را متوجه نشدید. تناظر را نباید بین نامه‌ها و غذاها ایجاد کنید!
تناظری که در راه‌حل (توضیح بیشتر) مشخص شده، بین هریک از «حالت‌هایی است که سه نامه را به دو پیک داده‌ایم» و هریک از «حالت‌هایی که میتوان با ارقام 1 و 2 عددی سه‌رقمی ساخت».
آها فهمیدم بسیار متشکرم این در واقع یادگیری مفهوم و علت فرمولی هست که برای تعداد اعداد فلان رقمی می سازیم که از کجا میاد، حالا پاسخ درست هست یا نه?
خیر! اینجا اصلاً به آن فرمول‌ها کاری نداریم!! برای اینکه راه‌حل این مسئله کامل باشد، فقط کافی است، تناظر خواسته شده را بسازیم.
در این مسئله، شمارش اینکه مثلاً به چند روش میتوان شش غذا را به سه پیک داد، خواسته نشده است. اگر شما اصرار دارید که این تعداد را بشمارید، پاسخ آن \(3^6\) می‌شود.
نه منظورم احتمالی بود که به پیک اول نامه نرسه.
۲ به توان ۶ تقسیم بر ۳ به توان ۶ که ۳ به توان ۶ کل حالت های ممکن و ۲ به توان ۶ حالت هایی که به پیک اول نمیفته و تقسیم اون ها که میشه جواب مسئله. این درسته؟
پس خودتون یه مسئلهٔ جدید طرح کردید!
البته، این مسئله در صفحهٔ ۱۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم آمده است.
خب الان جواب مسئله در توضیح بیشتر 42 تقسیم بر ۶ به توان سه هست؟ و اگه غلطه لطفا جواب درست رو بدین ممنون
جواب مسئله این نیست که تعداد را به‌دست بیاورید.
در این مسئله باید یک تناظر بین اعضای مجموعه‌ها برقرار کنید.
در «توضیح بیشتر» مسئله به حالت کوچک‌تری تبدیل شده است و تناظر مدنظر بین تک‌تکِ اعضای دو مجموعه، مشخص شده است.
سلام.چجوری باید تعداد کل حالت هارو بدست بیاریم؟
در قسمت «توضیح بیشتر» و در انتهای «پاسخ را نشان بده» روش به‌دست آوردن تعداد کل حالت‌ها نوشته شده است.
چرا در قسمت Dدو جعبه یکسان را برای دو توپ مختلف مثال زدید مگر سوال نمی گوید باید متفاوت باشد یعنی تکرار وجود دارد یا نه
منظور این است که در جعبهٔ ۱ دو توپ قرار دارد: توپ‌های ۱ و ۲؛ اما شکل به‌گونه‌ای رسم شده که بتوانیم با استفاده از آن تناظر بین مجموعه‌های \(B\) و \(D\) را راحت‌تر درک کنیم.
قسمت «توضیح بیشتر» را بخوانید. در آنجا، مسئله را برای مثال‌های کوچکتر حل کرده‌ایم.
تعداد حالت های ممکن برای AوCسه به توان شیش هست درسته.
در بخش (د) می تونیم بگیم که جعبه اول — 3 حالت
جعبه دوم –3 حالت
.
.
.
جعبه 6 ام 3 حالت و در نتیجه جواب 3 به توان 6 میاد ؟؟
سلام
پاسخ غلط هست?
چون در مجموعه B تکرار ارقام مجاز هست. ولی در مجموعه D توپ نمی‌تواند تکراری باشد
سلام
استدلالی که شما آورده‌اید، دلیلی برای غلط بودن پاسخ نیست.
حتماً این مسئله‌ها را با اعداد کوچکتر حل کنید و همهٔ حالت‌ها را بنویسید.
سلام
کن این کار که شما کردین رو متوجه نشدم (اونهایی که گفتین توپ اول یک جعبه توپ دوم یک جعبه توپ سوم پنج جعبه بعد گفتین که ۱۱۵همان حالت در Bاست )
سلام
آنچه نوشته‌اید را متوجه نشدم!
در مثال، گفته شده که فرض کنید:
\(\bullet\) توپ شمارهٔ ۱ در جعبهٔ شمارهٔ ۱ باشد.
\(\bullet\) توپ شمارهٔ ۲ در جعبهٔ شمارهٔ ۱ باشد.
\(\bullet\) و توپ شمارهٔ ۳ در جعبهٔ شمارهٔ ۵ باشد.
توضیحات مفصلی به انتهای راه‌حل اضافه شد. لطفاً بخوانید.
سلام آیا جواب ۴۰۴ است؟
سلام
جواب این مسئله، عدد نیست.