۹. ۱. ۲. ۵. فرض کنید $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. دو زیرمجموعهٔ $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ از مجموعهٔ $M$ را در نظر بگیرید. حداکثر چند زیرمجموعهٔ دیگر از $M$ به‌همراه این دو زیرمجموعه تشکیل یک زنجیر می‌دهند؟
تعریف زنجیر را در اینجا ببینید.
ایراد مسئله و اصلاح آن. ظاهراً صورت این مسئله، برای برخی افراد کمی مشکل‌ساز است. این مسئله، درواقع می‌گوید:
«فرض کنید $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. یک زنجیر از زیرمجموعه‌های \(M\) داریم که \(\{1\}\) و \(\{1,3,5,7\}\) اعضای این زنجیر هستند. این زنجیر، حداکثر چند عضو دیگر (به‌غیر از \(\{1\}\) و \(\{1,3,5,7\}\)) می‌تواند داشته باشد؟»
راهنمای حل
حداکثر شش زیرمجموعهٔ دیگر از $M$ به‌همراه دو مجموعهٔ $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ تشکیل یک زنجیر می‌دهند. (چرا؟)
پرسش در کلاس. فرض کنید $A$ یک مجموعهٔ $n$ عضوی باشد. اگر مجموعهٔ $C$ زنجیری از زیرمجموعه‌های $A$ باشد، آنگاه $C$ حداکثر چند عضو دارد؟
جواب میشه n فاکتوریل زنجیر n+1 عضوی متمایزچون همواره تهی یک عضو ثابت است و بقیه اعضاء n فاکتوریل تغییر دارند.
برای زیر مجموعه تک عضوی n حالت
برای زیر مجموعه 2 عضوی n-1 حالت
.
.
.
برای زیر مجموعه k عضوی n-k حالت
.
.
.
برای زیر مجموعه n عضوی 1 حالت
لذا تعداد n فاکتوریل زنجیر n+1 عضوی وجو دارد.
میشه n+1
من از راه یک مثال بدست آوردم برای یک مجموعه ۴ عضوی از ۱ تا ۴ اینطوری میشه
تهی (۱) (۱،۲) (۱،۲،۳) (۱،۲،۳،۴)
ما ۴ عضو داشتیم ولی حداکثر عضو یه زنجیرمون ۵ بود
درسته
نمیدونم چرا ولی معلممون میگه میشه ١۴:\
لطفاً دلیل معلم‌تون رو بپرسید و اینجا بنویسید.
توضیحات و جواب این مسئله را نویسندهٔ کتاب تکمیلی نوشته است.
سلام. خیلی ممنون از سایت خوبتون. مقر ریاضیات تکمیلی کجاست؟ ضمنا من برای این مساله یه جواب دیگه هم پیدا کردم:
8
سلام
مقر ریاضیات تکمیلی در شهر تهران است.
منظور شما این است که این مسئله دو جواب دارد؟
خیلی عالی با طراحی سایت زیبا
سلام ببخشید چرا ۶ تا فقط میشه مگه نمیشه اعداد را عوض کرد مثلا به جای {2,7,3,5,1} می توان به جای ۴،۲ را گذاشت
سلام
لطفاً «ایراد مسئله و اصلاح آن» (نوشتهٔ بنفش) را بخوانید.
بله ممنون متوجه شدم منظور عضو بوده
فکر کنم راه های دیگری هم برای حل داشته باشه ولی در کل 8 تا میشه که جواب سوال میشه 6 مثلا به جای 1و3 می تونیم 1و5 بنویسیم
سلام.ببخشید برای یک مجموعه،حداکثر تعداد زنجیر و پاد زنجیر چیه؟فرمولشون چیه ؟خیلی خیلی ممنون
سلام
در این سایت به ریاضیات حفظی و فرمولی اعتقادی نداریم. و به‌دست آوردن فرمولی برای زنجیرها و پادزنجیر‌ها، جزء مباحث ریاضی نهم نیست.
در این مسئله، هدف اصلی نویسنده این است که دانش‌آموز یاد بگیرد که خودش یک مفهوم جدید را بخواند، آن را درک کند و بتواند مسائل ساده‌ای در مورد مفهوم جدیدی را که یادگرفته است، حل کند. اما آنچه شما به دنبالش هستید، نیاز به تکنیک‌های شمارشی دارد که همان‌طور که گفتم جزء مباحث سال نهم نیست.
ببخشید الان (1 ، 2 ) نمیشه جزو زنجیره باشه ؟
خیر! چون \(\{1,2\}\) زیرمجموعهٔ \(\{1,3,5,7\}\) نیست.
c حداکثر n عضو دارد
مجموعه تهی را هم شمردید؟
با سلام و عرض ادب و احترام
جواب پرسش در کلاس : اولین مجموعه، مجموعه ی تهی است و در هر مرحله یک عضو به مجموعه ی قبلی اضافه می کنیم تا در آخر به مجموعه ی مرجع برسیم . پس اگر یک مجموعه n عضوی داشته باشیم حداکثر n+1 تا زیرمجموعه می توانیم پیدا کنیم که رابطه ی زیر مجموعه بین هر دو عضو آن برقرار باشد
ببخشید من نفهمیدم یعنی الان می تونیم هر تعداد مجموعه ای با هر تعداد دلخواهی از زیر مجموعه های مجموعه m داشته باشیم بطوریکه اون قوانین زنجیر هم رعایت بشه ؟! الان توی سوال تعداد این مجموعه هایی که ساخته میشن رو خواسته یا تعداد اعضایی که میتونیم توی مجموعه بذاریم ؟؟
لطفاً نوشتهٔ بنفش‌رنگ را بخوانید.
در این مسئله، تعداد زنجیرها خواسته نشده است.
چرا نمیتونیم مجموعه ی { 1و5 } و { 1و7 } و { 3و5 } و { 3و7 } رو نوشت ؟؟
منظورتان این است که به‌جای \(\{1,3\}\) یکی از مجموعه‌هایی که شما گفتید را بنویسیم؟
سلام خسته نباشید . آیا علاوه بر اونهایی که شما نوشتید ، {1و3و5و7و4 } و { 1و3و5و7و2 } و { 1و3و5و7و6 } رو نمیشه نوشت ؟! اگر نمیشه ممنون میشم دلیلشو توضیح بدید مرسی
سلام
همان‌طور که در کامنت‌های پایین هم توضیح داده شده است، برای این مسئله جواب‌های بسیار وجود دارد.
با توجه به راه حلی که نوشتم به سادگی میشه گفت هشت عضو داریم و صورت سوال دو عضو رو داره پس جمعا حداکثر 6 عضو دیگر میشه به این مجموعه زنجیر اضافه کرد!
سلام جواب پرسش آبی رنگ میشه n+1 !
چرا؟
{X1.X2.X3.X4…Xn}=A
حداکثر اعضا در C زمانی رخ می دهد که مجموعه C به شکل زیر باشد :
تهی
{Xk}
{Xk.Xa}
{Xk.Xa.Xb}
.
.
{Xk,Xa,Xt.Xi.Xo…Xn}
Xk یه عضو هستش از X1 تا Xn همینطور Xa.Xb و …
خب همونطور که می بینید واضحه که n+1 عضو داره.
سلام اگه میشه زنجیره رو بهتر توضیح بدید
سلام
فرض کنید زنجیری دارید که هر حلقهٔ آن از حلقهٔ قبلی بزرگ‌تر است. سپس، این حلقه‌ها را مجموعه‌هایی در نظر بگیرید که هریک (هر حلقه)، زیرمجموعهٔ، مجموعهٔ بعدی (حلقهٔ بعدی) است.
ببخشید ی سوال کتاب […] بدون پاسخ برای کسایی که تکمیلی کار میکنن چگونه است؟
مناسب نیست.
چرا؟
چون رویکرد کتاب‌های ریاضیات تکمیلی با رویکرد کتاب‌های بازاری متفاوت است.
در کتاب‌های ریاضیات تکمیلی به‌طور خیلی عمیق و حرفه‌ای به مباحث ریاضیات دبیرستانی پرداخته شده است؛ اما رویکرد کتاب‌های بازاری خیلی سطحی و بیشتر محاسباتی است.
برای آموختن هر مطلبی، نباید از کتاب‌هایی با رویکردهای متفاوت استفاده کرد.
در کل، ریاضیات دبیرستانی مطلب چندان پیچیده‌ای ندارد که شما بخواهید از چند کتاب همزمان استفاده کنید. از نظر ما، اگر کسی واقعاً به همین کتاب‌های ریاضیات تکمیلی مسلط باشد، کاملاً به ریاضیات دورهٔ اول دبیرستان مسلط است.
جواب پرسش ابیتون به خاطر تهی میشهn+1یا نه؟
جواب بدین????
سلام ! بله!
جواب سوال فکنم میشوه n=1 ایا درسته ؟
سلام ببخشید چرا عضو 1.3.5.7.2.6 یا 1.3.5.7.4.6 را حساب نکرده اید؟
سلام
منظورتان «زیرمجموعه» است نه «عضو».
توجه کنید که یک مثال ساخته‌ایم. مثال‌های دیگری نیز می‌توان ساخت؛ ولی در همهٔ مثال‌ها، زنجیر ساخته شده، حداکثر \(8\) عضو خواهد داشت.
خیر بیشتر هم میتونه باشه
نه!
سلام ببخشید اگه میشه لطف کنید فرمول نحوه بدست آوردن تعداد زنجیر و پاد زنجیر رو در سایت قراربدید
طول یک زنجیر حداکثر n+1 است. اثباتش هم واضحه.
طول پادزنجیری که حداکثر عضو رو داشته باشه برای یک مجموعهٔ n عضوی برابر\(\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}\) است که جزء مباحث سال نهم نیست.
میشه توضیح بدین چرا جوابش این میشه؟
اثباتش مفصله و ربطی به این تمرین نداره.
در همهٔ کتاب‌های ترکیبیات معتبر اثبات آنچه در بالا گفته شد، هست.
سلام جواب سوال آبی که طرح کردین n+1 می شه؟
سلام.
بله
دبیر ما گفتن 14 تا آخه این چه سوالیه که هر کی یه جور برداشت میکنه؟
نام دبیرتون چیه؟
منم ۱۴ در آوردم
این سوال جواب های متفاوتی میتونه داشته باشه
ما میتونیم بجای 2.4.6 عدد های دیگری بزاریم و همینطور زنجیره رو ادامش بدیم…
نباید در سر سوال از کلمه ی حداقل استفاده میشد؟؟
درسته که میتونیم مثال‌های مختلفی بزنیم؛ ولی در همهٔ مثال‌ها، حداکثر تعداد اعضای زنجیر برابر \(8\) است.
سؤال درست است و مشکلی ندارد.
با تشکر فراوان از سایت تکمیلی نهم
هیچی متوجه شدم|:
احتمالاً تعریف زنجیر را متوجه نشده‌اید.
اگر تعریف زنجیر را بفهمید، قطعاً به‌سادگی می‌توانید این مسئله را حل کنید.
ببخشید شما مجموعه ی 1و3و5و7 رو هم جزو m ها حساب کردید. خب ما اینجوری دو بار این زیر مجموعه رو توی مجموعه میاریم که با تعریف مجموعه تناقض دارد
دقت کنید که زنجیر را کامل نوشته‌ایم؛ با هشت‌تا مجموعه.
ولی در راه‌حل نوشته‌ایم که باید شش مجموعه به دو مجموعهٔ داده شده اضافه کنیم.
برای پرسش،می توان گفت که تعداد عضو های A رو به علاوه یک(تهی) بکنیم؟
آره درسته
من از واژه ی “حد اکثر”، برداشت درستی نداشته ام.. حداقل اینطور فکر می کنم..
آنطور که شما گفته اید، یعنی بلند ترین و پر عضو تدین زنجیره ای که می توان با دو عضو مفروض {1} و {1، 3،5،7} ساخت.
من خودم ۱۴ به دست اوردم. به این طریق که یک بار عضو تهی را حساب می کنیم که زیر مجموعه ی تمامی مجموعه هاست، و بعد ۱۳ حالت دیگر می ماند. ۱۳ حالت به این اختصاص می یابد که مجموعه ی {1 3 5 7} پر عضو ترین زیر مجموعه باشد یا نه. (مثلا { 1 3 5 7 2} عضو بیشتری دارد.)
ولی ۱۴ حالت، فقط اختصاص به یک زنجیر ۳ عضوی است.
پس من برای زنجیر های طولانی تر این کار را ادامه دادم (آن موقع درکی از منظور “حداکثر” نداشتم.)
و من در این محاسبه، طولانی ترین زنجیر را با تعداد اعضای ۸ عضو به دست اوردم که حالت های مختلف دارد.
می شود بگویید کجا را اشتباه کرده ام؟!
ممنون از سایت خوبتان. موفق و موید باشید.
سلام
ببخشید؛ متوجه نشدم که ۱۴ حالت چیست؟ میشه ۱۴ حالت رو بنویسید؟
ظاهراً مشکل اساسی در این مسئله، صورت مسئله است. صورت مسئله، در واقع می‌گوید:
یک زنجیر داریم که #\{1\}# و #\{1,3,5,7\}# اعضای آن هستند. این زنجیر حداکثر چند عضو می‌تواند داشته باشد؟
آیا جملهٔ بالا، منظور مسئله را راحت‌تر منتقل می‌کند؟
سلام ببخشید اگه ما اعداد ۲٫۴٫۶ رو در نظر بگیریم تعداد حالات ۳۶ تا می شود.
سلام.
تعداد حالات چه مسئله‌ای ۳۶ تا می‌شود؟
به‌نظر می‌رسد برداشت شما از صورت مسئله، متفاوت است.
سلام .ببخشید شما در انتهای حل مسئله پرسشی قرار دادید میشه جوابشو بگید؟ایا n_1 هست یا خیر؟
سلام.ببخشید برای اینکه بفهمیم ک یک مجموعه ، چند زیر مجموعه (زنجیر) تشکیل میدهد آیا راهی وجود داره؟؟
سلام.
تعداد زنجیرها در دنبالهٔ A007047 آمده است.
برای پیدا کردن زیر مجموعه های یک مجموعه عدد دو رو به توان تعداد عضو های اون مجموعه می رسونیمش
سلام خسته نباشید . نوشتیم حد اکثر ۶ مورد در حالی که جوابی که به دست میارین شده ۸ مورد. دقیقا میشه توضیح بدین لطفا??
سلام.
حداکثر ۶ مورد به همراه آن ۲تا…
جملهٔ آخر صورت مسئله را با دقت بخوانید.
حاجی بعد باید دوتایی که تو صورت اورده رو ازش کم کنی
سلام میشه جواب سوال های ۱۱ و ۱۲ صفحه ۱۵ ریاضی تکمیلی نهم رو بگید ؟
یه توضیحی هم اگه میشه واسه افراز:|
سلام.
آن دو سؤالی که فرمودید حل شده‌اند. اگر به توضیح بیشتر نیاز دارند، لطفاً در همان سؤال کامنت بگذارید.
اگر تعریف اِفراز به توضیح بیشتر نیاز دارد، در تعریف افراز کامنت بگذارید.
به نظر من که ۶ تا زیر مجموعه میشه فقط . خیلی زیاد نمیشه که.
به طور کلی 10 مجموعه به نطر من میشه نوشت که به همراه {1} و {1،3،5،7} یک زنجیر 3 عصوی بسازه. که عبارت است از: {1،3} – {1،5} – {1،7} – {1،3،5} – {1،3،7} – {1،5،7} – {1،2،3،5،7} – {1،3،4،5،7} – {1،3،5،6،7} – {1،2،3،4،5،7} – {1،2،3،5،6،7} – {1،3،4،5،6،7} – {1،2،3،4،5،6،7}. خوده {1} و {1،3،5} نمیتونن توش باشن چون در سوال گفته: حداکثر چند زیر مجموعه (دیگر). این 10 تا تازه فقط زنجیر های 3 عصوی این سوالو تشکیل میدن. زنجیر های 4 عصوی هم میشه براش گفت. که بیشتر هم میشه. 5 عصوی هم میشه. خیلی میشه در نهایت. دوستان اگه چیزی رو از قلم انداختم بگین. ولی سعی کردم دقیق بنویسم.
ببخشید 13 زیر مجموعه که نوشته شده.
با سلام
با عرض معذرت اشتباه است مثلا بین {1,3} و {1,5} رابطه زیر مجموعه بودن برقرار نیست پس تشکیل زنجیر نمیدهد.
اهوم راست میگین. از این اشتباه ها زیاد میکنم…
به نظر من شما اشتباه میگویید زیرا مثلا {۱،۵}زیر مجموعه {۱،۷}نمیشود و جواب سایت درست است
نه درسته یه بار دیگه سوال رو خوب بخون.
دوستان شما جواب‌هایی دادید ولی اینها نمونه‌هایی از پاسخ‌ها هستند.
اینجا فقط تعداد زیرمجموعه ها مهمه. قرار نیست از جاده چالوس برید به بوشهر برسید. جواب سوال درست نوشته شده.
سلام معمولاً حل مسائلتون درسته نمیدونم این یکی رو چرا ناقص حل کردید در اینجا چهارده تا زیرمجموعه مختلف میتونن با اون دو تا زیر مجموعه تشکیل یک زنجیر هشت عضوی بدن . مثلا علاوه بر {۱,۳} بعد از {۱} دو زیر مجموعه ی {۱,۷} و {۱,۵} هم میتونن قرار بگیرن که اگه {۱,۷} رو بزاریم همراه باهاش سه زیر مجموعه ی دیگر نسبت به این جواب به دست میاد
({1,2,3,4,5,6,7},{1,3,4,5,6,7},{1,3,5,6,7} ,{ 1,3,5,7} ,{1,5,7} ,{1,7}, {1}, {})
شما زیر مجموعه ها دیگه رو در نظر نگرفتید و فقط یک حالت را در نظر گرفتید با در نظر گرفتن زیر مجموعه های دیگه شش زیر مجموعه دیگه به این هشت زیر مجموعه شما اضافه میشه پس میشه چهارده تا زیرمجموعه.
سلام.
سپاسگزاریم که این مشکل را واضح نوشته‌اید و استدلال‌تان را خوب توضیح داده‌اید.
آنچه شما گفته‌اید مثال دیگری است. آنچه ما نوشته‌ایم نیز یک مثال است. (در هر دو مثال، حداکثر تعداد ممکن زیرمجموعه‌ها به‌همراه $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ تشکیل یک زنجیر داده‌اند.)
واضح است که فقط یک زنجیر وجود ندارد که $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ را داشته باشد.
ولی مسئله چیز دیگری می‌خواهد.
مسئله، حداکثر تعداد اعضای این زنجیر را می‌خواهد؛ که هم در مثال ما و هم در مثال شما، تعداد اعضای این زنجیر برابر ۸ است.
واژهٔ حداکثر برای تعداد اعضای یک زنجیر است. در این مسئله می‌خواهیم بدانیم حداکثر تعداد اعضای یک زنجیر که $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ عضو آن هستند چیست.
حالا مسئلهٔ زیر را حل کنید:
«زنجیرهایی بسازید که $\{1\}$ و $\{1,3,5,7\}$ عضو آن باشند. حداکثر چند زیرمجموعه از $M$ در زنجیرهایی که ساخته‌اید به‌کار رفته است؟»
احتمالاً شما به مسئلهٔ بالا پاسخ می‌دهید.
البته، واضح نیست که شما واژهٔ حداکثر را برای تعداد زیرمجموعه‌های استفاده شده به‌کار می‌برید، یا برای تعداد اعضای زنجیر، یا هردو.