اعداد فراگلدباخی

فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی زوج باشد. اگر برای هریک از اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{n}{2}\)، مانند \(p\)، عدد اولی مانند \(q\) وجود داشته باشد به‌طوری‌که \(p+q=n\)، آن‌وقت \(n\) را یک عدد زوج فراگُلدباخی می‌نامیم.
مثال ۱. عدد \(10\) یک عدد زوج فراگُلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{10}{2}\) عبارتند از: \[5,7\]و برای هریک از این دو عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(10\) شود:\[\begin{aligned}5+5&=10\\7+3&=10.\end{aligned}\]مثال۲. عدد \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{54}{2}\) عبارتند از:\[29,31,37,41,43,47,53\]و چون \(29+25=54\)، و \(25\) عدد اول نیست، پس \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست.

به‌غیر از \(10\)، همهٔ اعداد زوج فراگُلدباخی کوچک‌تر از \(250\) را پیدا کنید.

راهنمای حل

\(\bullet\) عدد \(16\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{16}{2}\) عبارتند از\[11,13\]و برای هریک از این دو عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(16\) شود:\[\begin{aligned}11+5&=16\\13+3&=16.\end{aligned}\]
\(\bullet\) عدد \(36\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{36}{2}\) عبارتند از\[19,23,29,31\]و برای هریک از این چهار عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(36\) شود:\[\begin{aligned}19+17&=36\\23+13&=36\\29+7&=36\\31+5&=36.\end{aligned}\]
\(\bullet\) عدد \(210\) یک عدد فراگلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{210}{2}\) عبارتند از
\[107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199\]و برای هریک از این اعداد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(210\) شود:\[\begin{aligned}107+103&=210\\109+101&=210\\113+97&=210\\127+83&=210\\131+79&=210\\137+73&=210\\139+71&=210\\149+61&=210\\151+59&=210\\157+53&=210\\163+47&=210\\167+43&=210\\173+37&=210\\179+31&=210\\181+29&=210\\191+19&=210\\193+17&=210\\197+13&=210\\199+11&=210.\end{aligned}\]

در ویدئوی زیر، کارل پومرنس (Carl Pomerance)، استاد ریاضی کالج دارتموث (Dartmouth)، بدون اینکه همهٔ اعداد اول بین \(105\) تا \(210\) را بررسی کند، نشان می‌دهد که \(210\) یک عدد فراگلدباخی است.

\(\bullet\) به‌غیر از \(10\)، \(16\)، \(36\)، و \(210\)، هیچ‌یک از اعداد دیگر کوچک‌تر از \(250\)، فراگلدباخی نیستند. با آزمایش دستی یا چند خط برنامه‌نویسی ساده با رایانه، می‌توان همهٔ اعداد فراگلدباخی کوچک‌تر از \(250\) را به‌دست آورد: