پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مهر ۹۸

آقای اسماعیلی از همسایه‌اش، که ریاضی‌دانی بازنشسته است، در مورد ساکنین یک خانه می‌پرسد. همان‌طور که خواهیم دید، این پیرمرد موقر جواب‌های چندان مناسبی نمی‌دهد.

آقای اسماعیلی می‌پرسد: «چند نفر در این خانه زندگی می‌کنند؟»
«سه نفر.»
«چند سال دارند؟»
«نمی‌گویم. فقط می‌توانم بگویم حاصل‌ضرب سن‌شان \(1296\) است.»
«خب، من هنوز نمی‌توانم سن آنها را مشخص کنم.»
«مجموع سن آنها برابر شمارهٔ پلاک خانهٔ شماست. حالا چه می‌گویید؟»

آقای اسماعیلی که به دردسر افتاده است تلاش می‌کند معما را حل کند و می‌گوید:
«هنوز نتوانسته‌ام بفهمم افراد این خانه چند سال دارند.»
پیرمرد می‌پرسد: «ولی قطعاً می‌دانید من چند سال دارم؟»
«بله.»
«خب، هر سه از من کوچک‌ترند.»
آقای اسماعیلی جواب داد: «خیلی ممنون. حالا می‌دانم این سه نفر چند سال دارند.»

ولی ما چگونه مسئله را حل کنیم؟ ما که سن این آقای محترم یا شمارهٔ پلاک خانهٔ آقای اسماعیلی را نمی‌دانیم.
آیا راهی برای تشخیص سن این افراد وجود دارد؟ در صورتی که پاسخ‌تان مثبت است، سن این سه نفر را در قسمت دیدگاه‌های زیر بنویسید.

راهنمای حل

ابتدا عدد \(1296\) را تجزیه می‌کنیم: \[1296=2^4\times3^4.\] پس همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(1296\) را به‌صورت حاصل‌ضرب سه‌ عدد طبیعی نوشت، به‌صورت زیر هستند:
\[1296=(2^a\times3^x)\times(2^b\times3^y)\times(2^c\times3^z)\]
به‌طوری‌که:
\[a+b+c=x+y+z=4.\]
بنابراین، به‌سادگی می‌توان همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(1296\) را به‌صورت حاصل‌ضرب سه عدد طبیعی نوشت، به‌دست آورد: (عدد داخل پرانتز، مجموع سه عدد است)
\[\begin{aligned}&1\times1\times1296\;(1298)\\&1\times2\times648\;(651)\\&1\times4\times324\;(329)\\&1\times8\times162\;(171)\\&1\times16\times81\;(98)\\&1\times3\times432\;(436)\\&1\times6\times216\;(223)\\&1\times12\times108\;(121)\\&1\times24\times54\;(79)\\&1\times27\times48\;(76)\\&1\times9\times144\;(154)\\&{\color{red}1\times18\times72\;(91)}\\&1\times36\times36\;(73)\\&2\times2\times324\;(328)\\&2\times4\times162\;(168)\\&{\color{red}2\times8\times81\;(91)}\\&2\times3\times216\;(221)\\&2\times6\times108\;(116)\\&2\times12\times54\;(68)\\&2\times24\times27\;(53)\\&2\times9\times72\;(83)\\&2\times18\times36\;(56)\\&4\times4\times81\;(89)\\&4\times3\times108\;(115)\\&4\times6\times54\;(64)\\&4\times12\times27\;(43)\\&4\times9\times36\;(49)\\&4\times18\times18\;(40)\\&8\times3\times54\;(65)\\&8\times6\times27\;(41)\\&8\times9\times18\;(35)\\&16\times3\times27\;(46)\\&16\times9\times9\;(34)\\&3\times6\times72\;(81)\\&3\times24\times18\;(45)\\&3\times3\times144\;(150)\\&3\times12\times36\;(51)\\&3\times48\times9\;(60)\\&6\times6\times36\;(48)\\&6\times12\times18\;(36)\\&6\times24\times9\;(39)\\&12\times12\times9\;(33).\end{aligned}\]
توجه کنید که آقای اسماعیلی شمارهٔ پلاک خانه‌اش را می‌داند (ولی ما نمی‌دانیم!). یعنی یکی از اعداد داخل پرانتز بالا، شمارهٔ پلاک خانهٔ‌ آقای اسماعیلی است. اما در مسئله نوشته شده است:

آقای اسماعیلی که به دردسر افتاده است تلاش می‌کند معما را حل کند و می‌گوید:
«هنوز نتوانسته‌ام بفهمم افراد این خانه چند سال دارند.»

یعنی، آقای اسماعیلی همهٔ حالت‌های بالا را چک کرده و آنهایی را که، مجموع سه عدد (عدد داخل پرانتز)، شمارهٔ پلاک خانه‌اش نبوده، کنار گذاشته است. بنابراین، او دو یا چند حالت به‌دست آورده که مجموع سه عدد، شمارهٔ پلاک خانه‌اش است. در نتیجه، شمارهٔ پلاک خانهٔ آقای اسماعیلی \(91\) است و سن ساکنین یکی از دو مورد زیر است:
\[1,18,72,\;\text{یا}\;\;2,8,81.\]

در ادامهٔ مسئله، نوشته شده است:

پیرمرد می‌پرسد: «ولی قطعاً می‌دانید من چند سال دارم؟»
«بله.»
«خب، هر سه از من کوچک‌ترند.»
آقای اسماعیلی جواب داد: «خیلی ممنون. حالا می‌دانم این سه نفر چند سال دارند.»

آقای اسماعیلی، وقتی و فقط وقتی می‌تواند جواب را فهمیده باشد که سن پیرمرد بین \(72\) و \(81\) باشد.
بنابراین، سن ساکنین \(1\)، \(18\)، و \(72\) است.

این مسئله مشابه مسئلهٔ ۱۲ صفحهٔ ۴۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم است.