فرض کنیم زمین به شکل کرهٔ کامل، و طول خط استوا \(40000\) کیلومتر باشد.
یک شرکت تلفن، خطی به فاصلهٔ $3$ متری زمین در سراسر دایرهٔ استوا کشیده شده است. برای پیشگیری از خرابی‌های پی‌در‌پی، یکی از مهندسان شرکت پیشنهاد کرد که ارتفاع خط از سطح زمین را دو متر افزایش دهند. مدیر شرکت قبول نکرد؛ هزینهٔ سیمی که باید اضافه شود زیاد می‌شود، زیرا قیمت هر متر سیم $20$ هزار تومان است. مهندس قبول می‌کند که هزینهٔ اضافی را خودش بپردازد!
این پیشنهاد چقدر برای مهندس هزینه دارد؟ عدد پی را $3.14$ در نظر بگیرید. (\(\pi\simeq3.14\))
راهنمای حل
می‌دانیم محیط دایره‌ای به شعاع \(r\) برابر \(2\pi r\) و یا تقریباً \(6.28r\) است.
فرض کنید \(r\) شعاع دایره‌ای (برحسب متر) باشد که سیم تلفن به‌دور آن پیچیده شده است. مهندس می‌خواهد خط تلفن را به دایره‌ای به شعاع \(r+2\) منتقل کند. در این‌صورت طول سیم اضافی مورد نیاز برابر \(12.56\) است. (چرا؟)
یعنی خط تلفن \(12.56\) متر بلندتر می‌شود. پس هزینه‌اش \(251,200\) تومان خواهد شد. (چرا؟)
دقت کنید که در راه‌حل از \(40000\) کیلومتر (طول خط استوا) استفاده نشده است؛ به‌عبارت دیگر، به‌ازای هر مقدار دلخواه \(r\)، هزینهٔ سیم اضافه دلخواه همین مقدار است!
