در شکل زیر، نقطه‌های \(E\) و \(F\) به‌ترتیب روی پاره‌خط‌های \(AB\) و \(AD\) قرار دارند. نقطهٔ \(G\) محل برخورد پاره‌خط‌های \(AC\) و \(BD\) است. همچنین، پاره‌خط‌های \(AG\)، \(BF\)، و \(DE\) یکدیگر را در نقطهٔ \(H\) قطع کرده‌اند. 
اگر \(x\) یک عدد باشد و
\(\bullet\) مساحت مثلث \(AFH\) برابر \(4x+4\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(DFH\) برابر \(2x+20\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(DGH\) برابر \(5x+20\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(CDG\) برابر \(5x+11\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(BCG\) برابر \(8x+32\)،
\(\bullet\) و مساحت مثلث \(BGH\) برابر \(8x+50\) باشد،
آن‌وقت مقدار \(x\)، و مساحت مثلث‌های \(AEH\) و \(BEH\) را به‌دست آورید.
راهنمای حل
برای حل این مسئله، ابتدا با یک قضیهٔ ساده آشنا می‌شویم:
قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها. مثلث دلخواه \(ABC\) را در نظر بگیرید. اگر نقطهٔ \(D\) روی ضلع \(BC\) باشد، آن‌وقت داریم:
\[\frac{S_{\overset{\triangle}{ABD}}}{S_{\overset{\triangle}{ACD}}}=\frac{BD}{CD}.\]
(چرا؟)
اگر از نقطهٔ \(A\) عمودی بر خط \(BC\) رسم کنیم و پای عمود را \(H\) بنامیم، آن‌وقت پارهخط \(AH\) ارتفاع دو مثلث \(ABD\) و \(ACD\) خواهد بود.
بنابراین:
\[\begin{aligned}\frac{S_{\overset{\triangle}{ABD}}}{S_{\overset{\triangle}{ACD}}}&=\frac{\frac{1}{2}\times AH\times BD}{\frac{1}{2}\times AH\times CD}\\[8pt]&=\frac{BD}{CD}.\end{aligned}\]
در راه‌حل زیر، بارها از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها استفاده خواهیم کرد.
برای سادگی، مساحت مثلث‌های \(BGH\)، \(DGH\)، \(BCG\)، و \(CDG\) را به‌ترتیب با \(k\)، \(t\)، \(m\)، و \(n\) نمایش می‌دهیم.
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث‌های \(BDH\) و \(BCD\) داریم:
\[\frac{k}{t}=\frac{m}{n}.\quad(1)\]
(چرا؟)
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(BDH\) داریم:
\[\frac{k}{t}=\frac{BG}{DG}\quad(2)\]
همچنین، با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(BCD\) داریم:
\[\frac{m}{n}=\frac{BG}{DG}\quad(3)\]
از رابطه‌های \((2)\) و \((3)\) نتیجه می‌شود:
\[\frac{k}{t}=\frac{m}{n}.\]
از رابطهٔ \((1)\) نتیجه می‌شود که \(x=5\). (چگونه؟)
با توجه به رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{S_{\overset{\triangle}{BGH}}}{S_{\overset{\triangle}{DGH}}}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BCG}}}{S_{\overset{\triangle}{DCG}}}\\[10pt]&\Rightarrow\frac{8x+50}{5x+20}=\frac{8x+32}{5x+11}\\[8pt]&\Rightarrow(8x+50)(5x+11)=(5x+20)(8x+32)\\&\Rightarrow40x^2+88x+250x+550=40x^2+160x+160x+640\\&\Rightarrow338x+550=320x+640\\&\Rightarrow338x-320x=640-550\\&\Rightarrow18x=90\\&\Rightarrow x=5.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AFH}}&=4x+4=4(5)+4=24\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DFH}}&=2x+20=2(5)+20=30\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DGH}}&=5x+20=5(5)+20=45\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{BGH}}&=8x+50=8(5)+50=90.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}\frac{BG}{DG}=2.\quad(4)\end{aligned}\]
(چرا؟)
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(BDH\) داریم:\[\begin{aligned}\frac{BG}{DG}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BGH}}}{S_{\overset{\triangle}{DGH}}}=\frac{90}{45}=2.\end{aligned}\]
پس
\[S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108.\quad(5)\]
(چرا؟)
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(ABD\)، و رابطهٔ \((4)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{S_{\overset{\triangle}{ABG}}}{S_{\overset{\triangle}{ADG}}}=\frac{BG}{DG}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}+S_{\overset{\triangle}{BGH}}}{S_{\overset{\triangle}{AFH}}+S_{\overset{\triangle}{DFH}}+S_{\overset{\triangle}{DGH}}}=2\\[8pt]&\Rightarrow\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}+90}{24+30+45}=2\\[8pt]&\Rightarrow\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}+90}{99}=2\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}+90=2\times99\\&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}+90=198\\&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=198-90\\&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108.\end{aligned}\]
از طرفی، با استفاده از
قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها، داریم:
\[\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}.\]
(چرا؟)
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(ADE\) داریم:
\[\begin{aligned}\frac{EH}{DH}=\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{S_{\overset{\triangle}{ADH}}}=\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}.\quad(6)\end{aligned}\]
با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث \(BDE\) داریم:
\[\begin{aligned}\frac{EH}{DH}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{S_{\overset{\triangle}{BDH}}}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}.\quad(7)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((6)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود:
\[\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}.\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}&\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}=\frac{54}{135}S_{\overset{\triangle}{BEH}}\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}=\frac{2}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}.\quad(8)\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((5)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AEH}}&=\frac{216}{7}\\[7pt]S_{\overset{\triangle}{BEH}}&=\frac{540}{7}.\end{aligned}\]
(چگونه؟)
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108\\[8pt]S_{\overset{\triangle}{AEH}}=\frac{2}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}\end{aligned}\right\}&\Rightarrow\frac{2}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108\\[8pt]&\Rightarrow\frac{7}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108\times\frac{5}{7}\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{BEH}}=\frac{540}{7}.\end{aligned}\]
حال با جایگذاری مقدار \(S_{\overset{\triangle}{BEH}}\) در رابطهٔ \((8)\) داریم:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AEH}}&=\frac{2}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}\\[7pt]&=\frac{2}{5}\times\frac{540}{7}\\[7pt]&=\frac{2}{1}\times\frac{108}{7}\\[7pt]&=\frac{216}{7}.\end{aligned}\]
