پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۱ - مسابقهٔ ریاضی تکمیلی - آبان ۹۸

دو تا استوانه داریم؛ یکی را استوانهٔ بزرگ و دیگری را استوانهٔ کوچک می‌نامیم. قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ بزرگ به‌ترتیب $10$ و $30$، و قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ کوچک به‌ترتیب $8$ و $20$ است. داخل استوانهٔ بزرگ تا ارتفاع $25$ آب ریخته‌ایم، و استوانهٔ کوچک خالی است.

استوانهٔ کوچک را در استوانهٔ بزرگ به‌آرامی و با سرعت ثابت فرو می‌بریم؛ وقتی استوانهٔ کوچک به کفِ استوانهٔ بزرگ برسد، حجم آب داخل استوانهٔ کوچک چقدر است؟ عدد پی را تقریباً $3.14$ در نظر بگیرید. ($\pi\simeq3.14$)

راهنمای حل

حرکت استوانهٔ کوچک را در دو مرحلهٔ زیر بررسی می‌کنیم:

مرحلهٔ اول. وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ فرو می‌رود، تا قبل از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، آب از کناره‌های استوانهٔ بزرگ روی زمین می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)

مرحلهٔ دوم. بعد از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شد، در ادامهٔ حرکت، آب از کناره‌ها داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)

می‌توانید آزمایش بالا را با دو استوانه یا لیوان بزرگ و کوچک انجام دهید.

در ادامه، مقدار آبی را که در مرحلهٔ اول روی زمین می‌ریزد و همچنین مقدار آبی را که در مرحلهٔ دوم داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد، محاسبه می‌کنیم.

(مرحلهٔ اول) در ابتدا، حجم آب داخل استوانهٔ بزرگ برابر $625\pi$ است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!

وقتی بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، حجم آب بین دو استوانه برابر $430\pi$ است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!

بنابراین، وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ می‌رود، تا جایی که بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، مقدار آبی که روی زمین می‌ریزد برابر است با:\[625\pi-430\pi=195\pi.\]

(مرحلهٔ دوم) در ادامهٔ حرکت، تا وقتی که استوانهٔ کوچک به کف استوانهٔ بزرگ برسد، آب از کناره‌ها به داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر $250\pi$ است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!