پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۱ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مهر ۹۸

جرج و ویلیام همراه همسرانشان، کاترین و الیزابت، چند بسته شکلات خریده‌اند.

پس از خرید، جرج یادآور شد که مقدار پولی که به دلار برای هر بسته داده برابر با تعداد بسته‌های شکلاتی است که خریده است. وقتی فهمیدند این وضعیت در مورد سه نفر دیگر، یعنی ویلیام، کاترین و الیزابت، هم پیش آمده بسیار تعجب کردند.

می‌دانیم که هر زوج $65$ دلار خرج کرده است، ویلیام یک بسته بیشتر از کاترین خریده، و الیزابت فقط یک بسته شکلات خریده است.

همسر الیزابت کیست؟ و تعیین کنید که هریک از این چهار نفر چند بسته شکلات خریده‌اند؟

---

راهنمای حل

فرض کنید \(x\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که یکی از آقایان خریده است، همین‌طور مبلغی که پرداخته است. به‌همین ترتیب، \(y\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که همسرش خریده است، همین‌طور مبلغی که پرداخته است. در این صورت: \[x^2+y^2=65.\quad(1)\] (چرا؟)

در مورد زوج دیگر، فرض می‌کنیم \(w\) و \(z\) تعداد بسته‌های شکلاتی باشد که خریده‌اند، در نتیجه: \[w^2+z^2=65.\quad(2)\] چون \(x\) و \(y\) عددهای طبیعی‌اند، پس جواب‌های معادلهٔ \((1)\) چنین‌اند:
\[\begin{aligned}&x=1,\;y=8\\&x=4,\;y=7\\&x=7,\;y=4\\&x=8,\;y=1.\end{aligned}\]
به همین ترتیب، جواب‌های معادلهٔ \((2)\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&w=1,\;z=8\\&w=4,\;z=7\\&w=7,\;z=4\\&w=8,\;z=1.\end{aligned}\]
چون الیزابت \(1\) بسته شکلات خریده‌ است، شوهرش \(8\) بسته خریده است. ویلیام یک بسته بیشتر از کاترین خریده است؛ این حالت فقط زمانی ممکن است پیش بیاید که ویلیام \(8\) بسته و کاترین \(7\) بسته خریده باشد. چون \[8^2+7^2\ne65\]پس ویلیام و کاترین، زن‌ و شوهر نیستند. بنابراین، ویلیام همسر الیزابت، و کاترین همسر جرج است. بنابراین، جرج \(4\) بسته شکلات خریده است.