محل برخورد دو خط $2x-y=1$ و $y+3x-4=0$، نقطهٔ $\big[{1\atop1}\big]$ است. (چرا؟)
برای به‌دست آوردن نقطهٔ برخورد این دو خط، کافی است دستگاه معادلات زیر را حل کنیم.
\[\left\{\begin{aligned}y+3x-4&=0\\2x-y=1\end{aligned}\right.\]
با جمع زدن طرفین دو معادلهٔ بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&(y+3x-4)+(2x-y)=0+1\\&\Rightarrow5x-4=1\\&\Rightarrow5x=5\\&\Rightarrow x=1.\end{aligned}\]
با جایگذاری $x=1$ در یکی از معادله‌های داده شده، $y$ را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&2x-y=1\\&\Rightarrow2(1)-y=1\\&\Rightarrow y=1.\end{aligned}\]
بنابراین، دو خط $2x-y=1$ و $y+3x-4=0$، یکدیگر را در نقطهٔ $\big[{1\atop1}\big]$ است.
پس فاصلهٔ محل برخورد دو خط $2x-y=1$ و $y+3x-4=0$ از مبدأ مختصات، $\sqrt{2}$ است. (چرا؟)
برای پیدا کردن فاصلهٔ نقطهٔ $\big[{1\atop1}\big]$ از مبدأ مختصات، کافی است طول وتر مثلث قائمالزاویهٔ زیر را محاسبه کنیم. با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول وتر این مثلث قائمالزاویه به‌دست میآید.
برای پرسش آبی رنگ باید گفت که برای هر دو نقطه دلخواه در دستگاه مختصات ابتدا تغییرات ایکس ( طول) را مشخص می کنیم
(همان دلتا ایکس) که در راستای افقی است و سپس تغییرات وای ( عرض ) را مشخص می کنیم ( همان دلتا وای ) که در راستای عمودی است حال چون این دو عمود بر هم خواهند بود با توجه به رابطه فیثاغورس :
dx^2+dy^2=|distance|^2
پس فاصله می شود رادیکال (dx^2+dy^2) توجه شود که قرینه این رادیکال را در نظر نمی گیریم چون منفی است اما فاصله همواره نا منفی خواهد بود