نمونه سوال ریاضی دهم فصل ۲

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۲ ریاضی دهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

1. در مثلث \(ABC\)، زاویهٔ \(B\) قائمه است و نقطهٔ \(D\) روی ضلع \(AB\) قرار دارد. اگر اندازهٔ زاویه‌های \(BDC\) و \(ACD\) به‌ترتیب \(60\) و \(30\) درجه و طول \(BD\) برابر \(10\) سانتی‌متر باشد، آنگاه طول \(AD\) چقدر است؟
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   ابتدا شکل مناسبی برای این مسئله رسم می‌کنیم.
   
   \(BC=10\sqrt{3}\).
   چرا؟

   در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(BCD\) داریم:
   \[\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}=\frac{BC}{DB}\\[7pt]&\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{10} \\[7pt]&\Rightarrow BC=10\sqrt{3}.\end{aligned}\]

   \(\widehat{A}=30^\circ\).
   چرا؟

   با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(ACD\))، داریم:
   \[\begin{aligned}&\widehat{A}+A\widehat{C}D=B\widehat{D}C\\&\Rightarrow\widehat{A}+30^\circ=60^\circ\\&\Rightarrow\widehat{A}=30^\circ.\end{aligned}\]

   در نتیجه،‌ \(AB=30\,\rm cm\).
   چرا؟

   در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABC\) داریم:
   \[\begin{aligned}&\tan\widehat{A}=\frac{BC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow AB=30.\end{aligned}\]
   

   بنابراین،
   \[\begin{aligned}AD&=AB-BD\\&=30-10\\&=20.\end{aligned}\]
   

---

2. در شکل زیر، فرض کنید که \(AB\) عرشهٔ یک قایق بادبانی به‌طول \(8\) متر، و \(FM\) دکل آن باشد. طنابی با زاویه \(60\) درجه از \(A\) به \(M\) (بالای دکل) کشیده شده است. تعداد بیشتری طناب با زاویه \(\theta\) از \(B\) به نقطهٔ \(P\) وصل شده است. اگر نقطهٔ \(P\) دو متر پایین‌تر از \(M\) باشد، آنگاه مقدار \(MF\) (ارتفاع دکل) را برحسب \(\theta\) بیابید.



پاسخ را نشان بده!

فرض کنید \(AF=x\). در این‌صورت \(MF=\sqrt{3}x\).
چرا؟

در مثلث قائم‌الزاویه \(AMF\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}=\frac{MF}{AF}\\[7pt]&\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{MF}{x}\\[7pt]&\Rightarrow MF=\sqrt{3}x.\end{aligned}\]

و \(PF=\sqrt{3}x-2\) زیرا
\[\begin{aligned}&PF=MF-MP\\&=\sqrt{3}x-2.\end{aligned}\]
بنابراین، \(x=\dfrac{8\tan\theta+2}{\sqrt{3}+\tan\theta}\).
چرا؟

در مثلث \(PFB\) داریم:
\[\begin{aligned}& \tan\theta=\frac{PF}{FB}\\[7pt]&\Rightarrow \tan\theta=\frac{\sqrt{3}x-2}{8-x}\\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta-x\times\tan\theta=\sqrt{3}x-2 \\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta+2=\sqrt{3}{\color{red}x}+\tan\theta\times{\color{red}x}\\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta+2=(\sqrt{3}+\tan\theta){\color{red}x}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{8\tan\theta+2}{\sqrt{3}+\tan\theta}={\color{red}x}.\end{aligned}\]

و می‌دانیم \(MF=\sqrt{3}x\) پس \(MF=\dfrac{8\sqrt{3}\tan\theta+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\tan\theta}\).

---

3. با توجه به شکل زیر، دو تپه در نقطه \(O\) به یکدیگر رسیده‌اند. یک تپه با افق زاویه \(30^\circ\) و دیگری زاویه \(45^\circ\) می‌سازد. نقاط \(A\) و \(B\) روی تپه ها قرار دارند به‌طوری‌که \(OA=OB=20{\rm m}\).
   
   ستون‌های عمودی \(AC\) و \(BD\) با کابل \(CD\) متصل شده اند. اگر \(AC=6{\rm m}\)، و \(CD\) کمترین طول را داشته باشد، اندازه \(BD\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به فرض مسئله، \(CD\) باید بر \(BD\) عمود باشد.
چرا؟

در صورت مسئله نوشته شده که \(CD\) کمترین طول ممکن را دارد. فرض کنیم که \(CD\) بر \(BD\) عمود نباشد. در این‌صورت اگر عمود \(CH\) را بر \(BD\) رسم کنیم، آنگاه \(CH < CD\) که با فرض مسئله در تناقض است.


پس شکل مسئله باید به‌صورت زیر باشد.

دو ستون \(AC\) و \(BD\) را امتداد می‌دهیم تا افق را به‌ترتیب در نقاط \(P\) و \(Q\) قطع کنند.

در این‌صورت \(CP=16\).
چرا؟

بنابه فرض مسئله، \(AO=20\). پس در مثلث \(APO\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin30^\circ=\frac{AP}{AO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{AP}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10=AP.\end{aligned}\]بنابراین:
\[\begin{aligned}CP&=AP+AC\\&=10+6\\&=16.\end{aligned}\]

و \(BQ=10\sqrt{2}\).
چرا؟

بنابه فرض مسئله، \(BO=20\). پس در مثلث \(BQO\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin45^\circ=\frac{BQ}{BO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{BQ}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10\sqrt{2}=BQ.\end{aligned}\]


حال، چون چهارضلعی \(CDQP\) مستطیل است(؟)، پس
\[\begin{aligned}&DQ=CP\\&\Rightarrow BD+BQ=16\\&\Rightarrow BD+10\sqrt{2}=16\\&\Rightarrow BD=16-10\sqrt{2}.\\&\end{aligned}\]

---

4. مطابق شکل زیر، متحرکی ازنقطهٔ \(A\) شروع به حرکت می‌کند و پس از طی مسافت \(5\sqrt{2}\) کیلومتر به نقطهٔ \(B\) و پس از طی مسافت \(4\sqrt{3}\) به نقطهٔ \(C\) می‌رسد. جابه‌جایی کل این متحرک در راستای افقی و در راستای عمودی را بیابید.



پاسخ را نشان بده!

ابتدا از نقطهٔ \(B\) عمودی بر محور \(x\)ها رسم می‌کنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم. سپس، از نقطه‌های \(A\) و \(C\) عمودهایی بر \(BH\) رسم می‌کنیم و پای این عمودها را به‌ترتیب \(M\) و \(K\) می‌نامیم.



در این‌صورت داریم \(AM=5\) و \(CK=6\).
چرا؟

در مثلث \(ABM\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos 45^\circ =\frac{AM}{AB} \\[7pt]& \Rightarrow AM=AB\times\sin 45^\circ \\& \Rightarrow AM=5\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\[7pt]&\Rightarrow AM=5.\end{aligned}\]
\(M\widehat{B}C=60^\circ\).
چرا؟

توجه کنید که چون در مثلث \(AMB\)، اندازهٔ زاویه‌های \(A\) و \(M\) به‌ترتیب \(45\) و \(90\) درجه است، پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، \(A\widehat{B}M=45^\circ\). و چون بنابه فرض مسئله، \(A\widehat{B}C=105^\circ\)، پس:
\[\begin{aligned}M\widehat{B}C&=A\widehat{B}C-A\widehat{B}M\\[7pt]&=105^\circ-45^\circ\\[7pt]&=60^\circ.\end{aligned}\]



در مثلث \(BCK\)، داریم:
\[\begin{aligned}&\sin 60^\circ =\frac{CK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]& \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\times4\sqrt{3}=CK\\[7pt]&\Rightarrow6=CK.\end{aligned}\]

پس جابه‌جایی افقی این متحرک برابر است با:
\[\begin{aligned}AM+CK&=5+6\\&=11.\end{aligned}\]
در ادامه، جابه‌جایی کل این متحرک در راستای عمودی را محاسبه می‌‌کنیم.
به‌سادگی می‌توان نشان داد که \(BM=5\) و \(BK=2\sqrt{3}\).
چگونه؟

چون مثلث \(ABM\) متساوی‌الساقین است(؟)، پس:
\[BM=AM=5.\]
از طرفی، در مثلث \(BKC\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos60^{\circ}=\frac{BK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow 2\sqrt{3}=BK.\end{aligned}\]

بنابراین، جابجایی کل متحرک در راستای عمودی برابر است با:
\[\begin{aligned}KM&=BM-BK\\&=5-2\sqrt{3}.\end{aligned}\]


---

5. اگر \(\cos \theta=\tan\theta\)، آنگاه مقدارهای ممکن برای \(\sin\theta\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

از \(\cos \theta=\tan\theta\) می‌توان نتیجه گرفت که \(\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0\).
چگونه؟

با استفاده از اتحادهای مثلثاتی \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) و \(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos\theta=\tan\theta\\&\Rightarrow \cos\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\&\Rightarrow \cos^2 \theta=\sin\theta\\& \Rightarrow 1-\sin^2 \theta=\sin\theta \\& \Rightarrow \sin^2 \theta+\sin\theta-1=0 \end{aligned}\]

بنابراین، \(\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\).

چرا؟

به کمک روش مربع کامل، معادلهٔ \(\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0\) را حل می‌کنیم.
\[\begin{aligned}&\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\\&\sin^2\theta+\sin\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow \sin^2\theta+\sin\theta+{\color{red}\frac{1}{4}}=1+{\color{red}\frac{1}{4}}\\[7pt]&\Rightarrow \big(\sin\theta+\frac{1}{2}\big)^2=\frac{5}{4}\\[7pt]& \Rightarrow \sin \theta+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\[7pt]& \Rightarrow \sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}\]
چون محدوده تغییرات \(\sin\theta\) بازهٔ \([-1,1]\) است و
\[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx-1.65 < -1\] پس \(\sin\theta=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\) غیرقابل قبول است. بنابراین: \[\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.\]

---

6. اگر \(x\) یک زاویه تند باشد و \(\tan x=\frac{3}{4}\)، حاصل عبارت زیر را بیابید.
   \[\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}\]
پاسخ را نشان بده!

چون \(x\) یک زاویهٔ تند است و \(\tan x=\frac{3}{4}\)، پس
\[\begin{aligned}\cot x&=\frac{4}{3}\\[7pt]\cos x&=\frac{4}{5}\\[7pt]\sin x&=\frac{3}{5}.\end{aligned}\]
چرا؟

می‌دانیم همهٔ نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های تند، مثبت است. بنابراین،
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) داریم:
\[\begin{aligned}\cot x&=\frac{1}{\tan x}\\[9pt]&=\frac{1}{\frac{3}{4}}\\[9pt]&=\frac{4}{3}.\end{aligned}\]
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\Big(\frac{3}{4}\Big)^2+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{9}{16}+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{16}{25}=\cos^2x\\[8pt]&\Rightarrow\frac{4}{5}=\cos x.\end{aligned}\]
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\sin^2x+\cos^2x=1\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^2x=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\Big(\frac{4}{5}\Big)^2=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\frac{16}{25}=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x=\frac{9}{25}\\[7pt]&\Rightarrow\sin x=\frac{3}{5}.\end{aligned}\]

حال، با جایگذاری مقدارهای بالا در عبارت داده شده، حاصل آن را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{\frac{4}{5}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{12}{20}+\frac{16}{20}-\frac{15}{20}}{\frac{75}{60}+\frac{48}{60}-\frac{80}{60}}\\[9pt]&=\frac{\frac{13}{20}}{\frac{43}{60}}\\[9pt]&=\frac{13}{20}\times\frac{60}{43}\\[9pt]&=\frac{39}{43}.\end{aligned}\]


---

7. در چهارضلعی محدب \(ABCD\)، \(A\widehat{B}C=90^\circ\)، \(B\widehat{C}D=60^\circ\)، و
   \[AB=BC=CD=6.\] طول \(AD\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا از \(D\) خطی بر \(BC\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(E\) می‌نامیم.

در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&BE=CE=3\quad(1)\\&DE=3\sqrt{3}.\quad(2)\end{aligned}\]

چرا؟

در مثلث \(CDE\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos 60^\circ=\frac{CE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow CE=CD\times\cos 60^\circ\\&\Rightarrow CE=6\times\frac{1}{2}\\&\Rightarrow CE=3.\end{aligned}\]
از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، \(BC=6\)، پس داریم:
\[\begin{aligned}BE&=BC-CE\\&=6-3\\&=3.\end{aligned}\]
همچنین، در مثلث \(CDE\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin60^\circ=\frac{DE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow DE=CD\times\sin 60^\circ\\&\Rightarrow DE=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Rightarrow DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}\]

سپس، از \(D\) خطی بر \(AB\) عمود می‌کنیم و پای عمود را \(F\) می‌نامیم.

در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&DF=3\quad(3)\\&AF=6-3\sqrt{3}.\quad(4)\end{aligned}\]
چرا؟

چون چهارضلعی \(BEDF\) سه زاویهٔ قائمه دارد، پس این چهارضلعی، مستطیل است. و می‌دانیم که در مستطیل، ضلع‌های روبه‌رو دوبه‌دو برابرند. بنابراین، و بنابه رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&DF=BE=3\\&BF=DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}\]

از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، \(AB=6\)، پس
\[\begin{aligned}AF&=AB-BF\\&=6-3\sqrt{3}.\end{aligned}\]

در نتیجه، \(AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}\).
چرا؟


با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث \(AFD\))، و رابطه‌های \((3)\) و \((4)\) داریم:
\[\begin{aligned}&AD^2=AF^2+DF^2\\&\Rightarrow AD^2=\big(6-3\sqrt{3}\big)^2+3^2\\&\Rightarrow AD^2=36-36\sqrt{3}+27+9\\& \Rightarrow AD^2=72-36\sqrt{3}\\& \Rightarrow AD^2=36\big(2-\sqrt{3}\big)\\&\Rightarrow AD=\sqrt{36\big(2-\sqrt{3}\big)}\\& \Rightarrow AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.\end{aligned}\]

پرسش. آیا در این مسئله، می‌توان اندازهٔ زاویه‌های \(CDA\) و \(DAB\) را به‌دست آورد؟

---

8. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
   \[\tan 1^{\circ}\times\tan 2^{\circ}\times\dots\times \tan 88^{\circ}\times\tan 89^{\circ}\]
پاسخ را نشان بده!

برای زاویهٔ \(x\) که \(0^\circ\leq x\leq90^\circ\)، داریم \(\tan x=\cot\big(90^\circ-x\big)\) (؟). بنابراین،
\[\begin{aligned}\tan46^{\circ}&=\cot44^{\circ}\\\tan47^{\circ}&=\cot43^{\circ}\\&\vdots\\\tan88^{\circ}&=\cot2^{\circ}\\\tan89^\circ&=\cot1^\circ.\end{aligned}\quad(1)\]از طرفی، برای هر زاویه دلخواه \(x\) داریم:
\[\tan x\times\cot x=1.\quad(2)\]حال، با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
\[\tan1^\circ\times\tan2^\circ\times\dots\times\tan88^\circ\times\tan89^\circ=1.\]
چگونه؟

\[\begin{aligned}&\tan1^\circ\times\dots\times\tan44^\circ\times\tan45^\circ\times\tan46^\circ\times\dots\times\tan89^\circ\\&=\tan1^\circ\times\dots\times\tan44^\circ\times\tan45^\circ\times\cot44^\circ\times\dots\times\cot1^\circ\\&=(\tan1^\circ\times\cot1^\circ)\times\dots\times(\tan44^\circ\times\cot44^\circ)\times\tan45^\circ\\[8pt]&=\overbrace{1\times\dots\times1}^{\text{تا}۴۴}\times1\\[7pt]&=1.\end{aligned}\]

احتمالاً شما ایدهٔ گاوس را در مسائل مختلفی دیده‌اید. برای حل این مسئله نیز، از ایدهٔ گاوس استفاده شده است.


---

9. حاصل عبارت زیر را بیابید.
   \[\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\dots+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ\]
پاسخ را نشان بده!

برای زاویهٔ \(x\) که \(0^\circ\leq x\leq90^\circ\)، داریم \(\sin x=\cos\big(90^\circ-x\big)\) (؟). بنابراین،
\[\begin{aligned}\sin46^{\circ}&=\cos44^{\circ}\\\sin47^{\circ}&=\cos43^{\circ}\\&\vdots\\\sin88^{\circ}&=\cos2^{\circ}\\\sin89^\circ&=\cos1^\circ.\end{aligned}\quad(1)\]از طرفی، برای هر زاویه دلخواه \(x\) داریم:
\[\sin^2x+\cos^2x=1.\quad(2)\]
حال، با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
\[\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\dots+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ=\frac{89}{2}.\]
چگونه؟

\[\begin{aligned}&\sin^21^\circ+\dots+\sin^244^\circ+\sin^245^\circ+\sin^246^\circ+\dots+\sin^289^\circ\\&=\sin^21^\circ+\dots+\sin^244^\circ+\sin^245^\circ+\cos^244^\circ+\dots+\cos^21^\circ\\&=(\sin^21^\circ+\cos^12^\circ)+\dots+(\sin^244^\circ+\cos^244^\circ)+\sin^245^\circ\\[8pt]&=\overbrace{1+\dots+1}^{\text{تا}۴۴}+\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)^2\\[7pt]&=44+\frac{1}{2}\\[7pt]&=\frac{89}{2}.\end{aligned}\]

احتمالاً شما ایدهٔ گاوس را در مسائل مختلفی دیده‌اید. برای حل این مسئله نیز، از ایدهٔ گاوس استفاده شده است.


---

10. الف) در شکل زیر، \(AD=BD\). ثابت کنید \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\).
    
    ب) مقدار \(\tan15^\circ\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

الف) با توجه به شکل داده شده، داریم: \(\widehat A=\dfrac{\alpha}{2}\).

چرا؟

چون مثلث \(ACD\) متساوی‌الساقین است، پس \(\widehat{A}=D\widehat{B}A\). از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(ABD\)) داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}+D\widehat{B}A=C\widehat{D}B\\&\Rightarrow2\widehat{A}=\alpha\\&\Rightarrow\widehat{A}=\frac{\alpha}{2}.\end{aligned}\]

از طرفی، در مثلث \(BCD\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin\alpha=\frac{BC}{BD}\\&\Rightarrow BC=BD\sin\alpha.\quad (1)\end{aligned}\]و
\[\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{CD}{BD}\\&\Rightarrow CD=BD\cos\alpha.\quad (2)\end{aligned}\]

بنابراین، با استفاده از رابطه های \((1)\) و \((2)\) در مثلث \(ABC\)، داریم:
\[\begin{aligned}&\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AC}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AD+DC}\\[9pt]&\Rightarrow \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD+BD\cos\alpha}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD(1+\cos\alpha)}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.\end{aligned}\]

---

ب) اگر در رابطهٔ \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\)، قرار دهیم \(\alpha=30^\circ\)، آنگاه داریم:
\[\tan15^\circ=2-\sqrt{3}.\]
چرا؟

اگر \(\alpha=30^\circ\)، آنگاه \(\frac{\alpha}{2}=15^\circ\). پس:
\[\begin{aligned}\tan15^\circ&=\frac{\sin30^\circ}{1+\cos30^\circ}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{1}{2}\times\frac{2}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\[8pt]&=2-\sqrt{3}.\end{aligned}\]




---

11. فرض کنید \(\cos\theta=\frac{m}{m+2}\) و \(\tan\theta=\frac{m+1}{m}\). مقدار عددی \(\sin\theta\) و \(\cot\theta\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

مقادیر ممکن برای \(m\) برابر \(3\) و \(-1\) است.
چرا؟

برای هر زاویهٔ دلخواه \(\theta\) داریم:
\[1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\]
بنابراین
\[\begin{aligned}&1+\big(\frac{m+1}{m}\big)^2=\big(\frac{m+2}{m}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow1+\frac{m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{m^2+m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow 2m^2+2m+1=m^2+4m+4\\&\Rightarrow m^2-2m-3=0 \\&\Rightarrow (m-3)(m+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&m=3\\&m=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]

\(\bullet\) اگر \(m=-1\)، آنگاه \(\sin\theta=0\) و کتانژانت زاویهٔ \(\theta\) تعریف نشده است.
چرا؟

با جایگذاری \(m=-1\) در رابطهٔ \(\cos\theta=\frac{m}{m+2}\)، داریم:
\[\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{m}{m+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{-1+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{1}\\[7pt]&=-1.\end{aligned}\]از \(\cos\theta=-1\) نتیجه می‌شود که \(\sin\theta=0\).(؟)
با جایگذاری \(m=-1\) در رابطهٔ \(\tan\theta=\frac{m+1}{m}\)، داریم:
\[\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{m+1}{m}\\[7pt]&=\frac{-1+1}{-1}\\&=0.\end{aligned}\] از \(\tan\theta=0\) نتیجه می‌شود که \(\cot\theta\) تعریف نشده است.(؟)

\(\bullet\) اگر \(m=3\)، آنگاه:
\[\sin\theta=\frac{4}{5},\cot\theta=\frac{3}{4}.\]
چرا؟

برای \(m=3\)، داریم:
\[\cos\theta=\frac{m}{m+2}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\] و
\[\tan\theta=\frac{m+1}{m}=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}.\]
چون \(\cos\theta\) و \(\tan\theta\) هردو مثبت‌اند، پس \(\theta\) در ناحیه اول قرار دارد.
حال، چون می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\tan\theta\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\frac{4}{3}\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\cot\theta=\frac{3}{4}.\end{aligned}\]
از طرفی، چون می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\\[7pt]& \Rightarrow \sin^2\theta=1-\frac{9}{25} \\[7pt]&\Rightarrow\sin^2\theta=\frac{16}{25}\\[7pt]&\Rightarrow \sin\theta=\pm\frac{4}{5}.\end{aligned}\] اما چون \(\sin\theta\) در ناحیه اول مثبت است، پس مقدار منفی غیرقابل قبول است. بنابراین، \(\sin\theta=\frac{4}{5}\).

---

12. نیم‌دایره‌ای به قطر \(AB\) داده شده است. مماس در نقطه \(B\) را براین نیم‌دایره رسم می‌کنیم و از نقطه \(A\) قاطعی می‌کشیم تا نیم‌دایره را در \(C\) و مماس رسم شده را در \(D\) قطع کند. اگر \(\alpha\) زاویه بین قاطع و قطر \(AB\)، و \(AD=4AC\)، آنگاه اندازهٔ \(\alpha\) چقدر است؟
پاسخ را نشان بده!

ابتدا با توجه به فرضیات مسئله، شکل مناسبی رسم می‌کنیم.

در شکل بالا، پاره‌خط \(BC\) را رسم کرده‌ایم. دو مثلث‌های \(ABD\) و \(ACB\) متشابه هستند.
چرا؟

بنابه قضیهٔ شعاع و مماس، \(BD\) بر \(AB\) عمود است. یعنی مثلث \(ABD\) قائم‌الزاویهٔ است.
بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ روبه‌رو به قطر برابر \(90\) درجه است. در نتیجه، \(A\widehat{C}B=90^\circ\). بنابراین، مثلث \(ACB\) قائم‌الزاویه است.
پس دو مثلث \(ABD\) و \(ACD\) در حالت زز متشابه‌اند. زیرا:
\(\bullet\) زاویه‌های \(ABD\) و \(ACD\) قائمه هستند.
\(\bullet\) زاویهٔ \(A\) در هر دو مثلث مشترک است.

طول \(AC\) با شعاع دایره برابر است.
چرا؟

اگر شعاع نیم‌دایره را \(r\) فرض کنیم، آنگاه \(AB=2r\). از طرفی، چون دو مثلث \(ABD\) و \(ACB\) متشابه‌اند و بنابه فرض مسئله \({\color{red}AD}={\color{red}4AC}\)، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}AD}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}4AC}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow 4AC^2=4r^2\\&\Rightarrow AC=r.\end{aligned}\]

پس در مثلث قائم‌الزاویه \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{AC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\cos\alpha=\frac{1}{2}\\[7pt]&\Rightarrow \alpha=60^\circ.\end{aligned}\]


---

یادآوری: علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه‌های اول تا چهارم

13. اگر \(\tan x+\cot x>0\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیهٔ دایره مثلثاتی قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

از فرض \(\tan x+\cot x>0\) نتیجه می‌شود که \(\tan x\) و \(\cot x\) هر دو مثبت‌اند.
چرا؟

می‌دانیم \(\tan x=\frac{1}{\cot x}\). پس برای هر زاویهٔ \(x\)، مقدارهای \(\tan x\) و \(\cot x\) هم‌علامت هستند؛ یعنی یا هر دو مثبت‌اند یا هر دو منفی.
از طرفی، چون \(\tan x+\cot x>0\)، پس واضح است که مقدارهای \(\tan x\) و \(\cot x\)، هر دو مثبت‌اند.

می‌دانیم که در ناحیه‌های اول و سوم، \(\tan x\) و \(\cot x\) مثبت‌اند. پس انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ اول یا سوم قرار دارد.




---

14. اگر \(\sin \alpha\times\cos\alpha < 0\) و \(\sin\alpha-\cos\alpha < 0\)، آنگاه انتهای کمان \(\alpha\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

از \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0\) نتیجه می‌شود که انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
چرا؟

چون \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0\)، پس \(\sin\alpha\) و \(\cos\alpha\) مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیه دوم یا چهارم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.

از \(\sin\alpha-\cos\alpha<0\) نتیجه می‌شود که \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم قرار ندارد.
چرا؟

با توجه به فرض مسئله داریم:
\[\begin{aligned}&\sin\alpha-\cos\alpha<0\\&\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha.\quad(*)\end{aligned}\]چون در ناحیهٔ دوم رابطهٔ \((*)\) برقرار نیست(؟)، پس \(\alpha\) نمی‌تواند در ناحیهٔ دوم باشد.

پس انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ چهارم قرار دارد.
چرا؟

چون برای برخی از زاویه‌های ناحیهٔ چهارم، هر دو شرط \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0 \) و \(\sin\alpha-\cos\alpha<0\) برقرار است.



---

15. اگر \(\sin^4 x\times\cos x < 0\) و \(\tan x > \sin x\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

واضح است که \(\sin^4 x\geq0\). پس
\[\begin{aligned}&\overbrace{\sin^4 x}^{\geq0}\times\cos x<0\\&\Rightarrow \cos x <0.\quad(1)\end{aligned}\]
از رابطهٔ \((1)\) و فرض \(\tan x > \sin x\)، می‌توان نتیجه گرفت:\[\sin x < 0.\quad(2)\]
چگونه؟

\[\begin{aligned}&\tan x >\sin x\\[7pt]& \Rightarrow\tan x-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow \sin x\big(\frac{1}{\cos x}-1\big)>0 \\[7pt]&\Rightarrow \sin x\big(\frac{1-\cos x}{\cos x}\big)>0.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، می‌خواهیم علامت کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\) را تعیین کنیم.
\(\bullet\) با توجه به رابطهٔ \((1)\)، مخرج کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\) منفی است.
\(\bullet\) چون همواره \(\cos x\leq1\)، پس \(0 \leq 1-\cos x\) یا به‌طور معادل \(1-\cos x\geq0\). بنابراین، صورت کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\)، نامنفی است.
پس، با توجه به رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin x\big(\frac{\overbrace{1-\cos x}^{\geq 0}}{\underbrace{\cos x}_{ < 0}}\big) > 0\\[9pt]&\Rightarrow\sin x < 0.\end{aligned}\]

حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود که انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد.


---

16. اگر \(180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}\)، حاصل عبارت \(A=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\) را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید.
پاسخ را نشان بده!

به کمک اتحاد مثلثاتی \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) داریم:
\[\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{\cos^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\end{aligned}\]
چون انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد، پس \(\cos\alpha<0\). بنابراین، \(|\cos\alpha|=-\cos\alpha\). در نتیجه:
\[\begin{aligned} A&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha(-\cos\alpha)}\\&=\sqrt{{\color{red}1}+2\sin\alpha\cos\alpha} \\&= \sqrt{{\color{red}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha}\\&=\sqrt{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}\\&=|\cos\alpha +\sin\alpha|\end{aligned}\]
چون \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)، پس
\[\left.\begin{aligned} &\cos\alpha < 0\\ &\sin\alpha < 0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos\alpha+\sin\alpha < 0.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}A&=|\overbrace{\cos\alpha+\sin\alpha}^{<0}|\\&=-(\cos\alpha+\sin\alpha)\\&=-\cos\alpha-\sin\alpha.\end{aligned}\]


---

17. اگر \(\sin x>\sin^3 x\) و \(\cos x<\cos^3 x\)، دراین‌صورت انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

با توجه به \(\sin x>\sin^3 x\)، انتهای زاویهٔ \(x\) در ناحیه اول یا دوم قرار دارد. \((1)\)
چرا؟

\[\begin{aligned}&\sin x>\sin^3 x \\&\Rightarrow \sin x-\sin^3 x>0 \\&\Rightarrow\sin x(1-\sin^2 x)>0\\&\Rightarrow \sin x\times\underbrace{\cos^2 x}_{\geq0}>0\\[7pt]&\Rightarrow\sin x>0.\end{aligned}\]حال، چون \(\sin x>0\)، پس \(x\) در ناحیهٔ اول یا دوم قرار دارد.

با توجه به \(\cos x<\cos^3 x\)، انتهای زاویه \(x\) در ناحیه دوم یا سوم قرار دارد. \((2)\)
چرا؟

\[\begin{aligned}&\cos x<\cos^3 x \\&\Rightarrow \cos x-\cos^3 x<0 \\&\Rightarrow\cos x(1-\cos^2 x)<0\\&\Rightarrow \cos x\times\underbrace{\sin^2 x}_{\geq0}<0\\&\Rightarrow \cos x<0.\end{aligned}\]حال، چون \(\cos x<0\)، پس \(x\) در ناحیهٔ دوم یا سوم قرار دارد.

با توجه به دو نتیجهٔ \((1)\) و \((2)\)، انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ دوم قرار دارد.


---

18. می‌دانیم \(180^\circ <\alpha <360^\circ\). حاصل عبارت زیر را به ساده ترین صورت بنویسید.
    \[A=\sin\alpha-\sqrt{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}.\]
پاسخ را نشان بده!

به کمک اتحادهای مثلثاتی\(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) و \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)، می‌توان نتیجه گرفت که \(A=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}\) می‌رسیم.
چگونه؟

\[\begin{aligned}A=&\sin\alpha-\sqrt{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}\\[8pt]& =\sin\alpha-\sqrt{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\cos^2\alpha}\\[8pt]& =\sin\alpha-\sqrt{\frac{\color{red}\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\times{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\big(1-\sin^2\alpha\big)}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\times\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]& =\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}.\end{aligned}\]

چون \(\alpha\) در ناحیه سوم و چهارم دایره مثلثاتی قرار دارد، پس \(A= \frac{1}{\sin\alpha}\).
چرا؟

واضح است که \(\cos^2\alpha > 0\). از طرفی، چون \(180^\circ<\alpha<360^\circ\)، پس \(\sin\alpha < 0\). بنابراین، \(|\sin x|=-\sin x\). در نتیجه، داریم:
\[\begin{aligned}A&=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}\\[7pt]&=\sin\alpha-\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha}\\[7pt]&=\sin\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]& =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]&=\frac{1}{\sin\alpha}.\end{aligned}\]

---

19. اگر \(135^{\circ}<\theta<180^\circ\) باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.
    \[A=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}\]
پاسخ را نشان بده!

با استفاده از اتحاد \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) می‌توان ثابت کرد:
\[(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\]
چگونه؟

\[\begin{aligned}&(\sin\theta+\cos\theta)^2\\&=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\\&=1+2\sin\theta\cos\theta.\end{aligned}\]
و به طریق مشابه ثابت می‌شود:
\[(\sin\theta{\color{red}-}\cos\theta)^2=1{\color{red}-}2\sin\theta\cos\theta.\]

بنابراین
\[\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{\big((\sin\theta+\cos\theta)^2\big)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{(\sin\theta+\cos\theta)^6}\\&=|\sin\theta-\cos\theta|-|\sin\theta+\cos\theta|\end{aligned}\]
چون \(135^{\circ}<\theta<180^\circ\)، پس \((\sin\theta-\cos\theta)>0\) و \((\sin\theta+\cos\theta)<0\).
چرا؟

با توجه به فرض مسئله، \(\theta\) در ناحیهٔ دوم قرار دارد. در ناحیهٔ دوم دایرهٔ مثلثاتی \(\sin\theta>0\) و \(\cos\theta<0\)، پس: \[\sin\theta-\cos\theta>0.\]

می‌دانیم \(|\sin135^\circ|=|\cos135^\circ|\). از طرفی، همان‌طور که در ویدئوی بالا می‌بینید اگر \(135^\circ<\theta<180^\circ\)، آنگاه \(|\sin\theta|<|\cos\theta|\) و در نتیجه:
\[\sin\theta+\cos\theta<0.\]

بنابراین \(A=2\sin\theta\).
چرا؟

\[\begin{aligned}A&=|\overbrace{\sin\theta-\cos\theta}^{>0}|-|\overbrace{\sin\theta+\cos\theta}^{<0}|\\&=(\sin\theta-\cos\theta)-\big(-(\sin\theta+\cos\theta)\big)\\&=\sin\theta-\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta\\&=2\sin\theta.\end{aligned}\]

---

20. اگر \(270^\circ<x<360^\circ\) باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.
    \[A=\sqrt[3]{(\tan x+\cot x)^3}+\sqrt[4]{(\sin x+\tan x)^4}+\sqrt{(\cos x-\cot x)^2}\]
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}A&=\sqrt[3]{(\tan x+\cot x)^3}+\sqrt[4]{(\sin x+\tan x)^4}+\sqrt{(\cos x-\cot x)^2}\\&=(\tan x+\cot x)+|\sin x+\tan x|+|\cos x-\cot x|.\\\end{aligned}\]

اگر \(270^\circ<x<360^\circ\)، آنگاه \(\sin x+\tan x<0\).
چرا؟

می‌دانیم که اگر انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی \(270^\circ<x<360^\circ\))، آنگاه داریم:
\[\left.\begin{aligned}\sin x<0\\\tan x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\sin x+\tan x<0.\]

اگر \(270^\circ<x<360^\circ\)، آنگاه \(\cos x-\cot x>0\).
چرا؟

می‌دانیم که اگر انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی \(270^\circ<x<360^\circ\))، آنگاه داریم:
\[\left.\begin{aligned}\cos x>0\\\cot x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos x-\cot x>0.\]

بنابراین:
\[\begin{aligned}A&=(\tan x+\cot x)+|\overbrace{\sin x+\tan x}^{ < 0}|+|\overbrace{\cos x-\cot x}^{ > 0}|\\&=\tan x+\cot x+\big(-(\sin x+\tan x)\big)+\cos x-\cot x\\&=\tan x+\cot x-\sin x-\tan x+\cos x-\cot x\\&=-\sin x+\cos x.\end{aligned}\]

---

21. اگر \(\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0\) باشد، حدود \(\alpha\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

از \(\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0\) می‌توان نتیجه گرفت که \(\sin\alpha > \cos\alpha\).
چرا؟

می‌دانیم برای هر مقدار \(\alpha\)، \(\sqrt{1-\cot\alpha}\geq 0\). از طرفی، چون \(\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0\)، پس \({\color{red}\sin\alpha > 0}\) و \(\sqrt{1-\cot\alpha}>0\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned} &\sqrt{1-\cot\alpha} > 0\\&\Rightarrow 1-\cot\alpha > 0\\&\Rightarrow 1 > \cot\alpha\\&\Rightarrow 1 > \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ {\color{red}(\sin\alpha > 0)}\;&\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\end{aligned}\]

در نتیجه: \(45^\circ <\alpha <180^\circ \).

چرا؟

می‌دانیم که اگر \(\sin\alpha>0\)، آنگاه \(\alpha\) در ناحیهٔ اول یا دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.

واضح است که
\[90^\circ\leq\alpha\leq180^\circ\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\quad (1)\]

حال باید در ناحیهٔ اول دایرهٔ مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند \(\alpha\) را پیدا کنیم که برای آن‌ها \(\sin\alpha > \cos\alpha\).

می‌دانیم که \(\sin45^\circ=\cos45^\circ\). از طرفی، با توجه به نمودار بالا، واضح است که اگر
\[\begin{aligned}&0\leq\alpha < 45^\circ\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha\\&45^\circ<\alpha\leq90^\circ\Rightarrow\sin\alpha>\cos\alpha.\quad(2)\end{aligned}\] اکنون، باتوجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم: \[45^\circ < \alpha\leq180^\circ.\]

---

22. اگر \(\sin x\times\cos x < 0\) و \(\sin x+\cos x <0\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در چه بازه‌ای قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

چون \(\sin x\times\cos x < 0\)، پس \(\sin x\) و \(\cos x\) مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
از طرفی، می‌دانیم که \(\sin x+\cos x <0\). در ناحیهٔ دوم \(\sin135^\circ=-\cos135^\circ\) و در ناحیهٔ چهارم \(\sin(315)^\circ=-\cos(315)^\circ\).
حال، با توجه به شکل‌های زیر، \(x\) متعلق به بازهٔ \((135^\circ, 180^\circ)\) یا \((270^\circ , 315^\circ)\) است.

---

23. اگر \(A=2\sin x-1\)، محدوده \(A\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به محدوده تغییرات \(\sin x\)، یعنی \(-1\leq\sin x\leq1\)، محدوده تغییرات \(A\) در بازهٔ \([-3 , 1]\) است.
چرا؟

\[\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1 \\[7pt]&\Rightarrow -2\leq2\sin x\leq 2 \\[7pt]& \Rightarrow -2-1\leq 2\sin x-1\leq 2-1 \\[7pt]& \Rightarrow-3\leq A\leq 1.\end{aligned}\]

---

24. اگر \(A=2\cos^3x+3\)، محدوده \(A\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به اینکه برای هر زاویهٔ دلخواه، مانند \(x\)، داریم \(-1\leq\cos x\leq 1\)، بنابراین محدوده تغییرات \(A\) در بازه \([1,5]\) قرار دارد.
چرا؟

\[\begin{aligned}& -1\leq\cos x\leq 1 \\[7pt]&\Rightarrow(-1)^3\leq(\cos x)^3\leq1^3\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq \cos^3 x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow-2\leq 2\cos^3 x\leq 2 \\[7pt]& \Rightarrow -2+3\leq 2\cos^3x+3\leq 2+3 \\[7pt]&\Rightarrow 1\leq A\leq 5.\end{aligned}\]

---

25. محدوده تغییرات \(A=3\sin^4 x-1\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

باتوجه به اینکه برای هر زاویهٔ دلخواه، مانند \(x\)، داریم \(-1\leq\sin x\leq 1\)، بنابراین \(-1\leq A\leq 2\).
چرا؟

می‌دانیم اگر هریک از اعداد بازهٔ \([-1 , 1]\) را به توانی زوج برسانیم، عدد حاصل مثبت خواهد شد و در بازهٔ \([0 , 1]\) قرار می‌گیرد. بنابراین داریم:
\[\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow 0\leq\sin^4 x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow 0\leq 3\sin^4 x\leq 3 \\[7pt]&\Rightarrow 0{\color{red}\,-\,1}\leq 3\sin^4 x{\color{red}\,-\,1}\leq 3{\color{red}\,-\,1}\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq 3\sin^4 x-1\leq 2\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq A\leq 2.\end{aligned}\]

---

26. محدوده تغییرات \(A=\sin^2 x-4\sin x\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}A&=\sin^2 x-4\sin x{\color{red}\,+\,4\,-\,4}\\&= {\color{blue}(\sin x)^2\,-\,2(\sin x)(2)\,+\,2^2}-4\\&={\color{blue}(\sin x\,-\,2)^2}-4.\end{aligned}\]
بنابراین \(-3\leq A\leq 5\).
چرا؟

\[\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow -1{\color{red}\,-\,2}\leq\sin x{\color{red}\,-\,2}\leq 1{\color{red}\,-\,2}\\[7pt]&\Rightarrow -3\leq\sin x-2\leq -1 \\[7pt]& \Rightarrow 9\geq (\sin x-2)^2\geq 1 \\[7pt]&\Rightarrow 9{\color{red}\,-\,4}\geq (\sin x-2)^2{\color{red}\,-\,4}\geq 1{\color{red}\,-\,4}\\[7pt]&\Rightarrow 5\geq (\sin x-2)^2-4\geq -3\\[7pt]&\Rightarrow 5\geq A\geq -3.\end{aligned}\]

---

27. اگر \(A=2\cos^2 x-\sin^2x\)، محدوده تغییرات \(A\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا با استفاده از اتحاد مثلثاتی \(\sin^2x+\cos^2x=1\)، عبارت \(A\) را فقط برحسب \(\cos x\) می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}A&=2\cos^2 x-{\color{red}\sin^2x}\\[7pt]&=2\cos^2x-{\color{red}(1\,-\,\cos^2x)}\\[7pt]&=3\cos^2x-1.\end{aligned}\]
پس \(-1\leq A\leq 2\).
چرا؟

\[\begin{aligned}& -1\leq\cos x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow 0\leq\cos^2x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow 0\leq 3\cos^2x\leq 3 \\[7pt]&\Rightarrow 0{\color{red}\,-\,1}\leq 3\cos^2x{\color{red}\,-\,1}\leq 3{\color{red}\,-\,1}\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq 3\cos^2x-1\leq 2\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq A\leq 2.\end{aligned}\]

---

28. محدوده تغییرات عبارت \(A=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

عبارت را طوری تغییر شکل می‌دهیم که فقط در مخرج نسبت مثلثاتی \(\sin x\) را داشته باشیم:
\[\begin{aligned} A&=\frac{\sin x-1{\color{red}\,+\,2\,-\,2}}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2-3}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2}{\sin x+2}-\frac{3}{\sin x+2}\\[9pt]&=1-\frac{3}{\sin x+2}.\end{aligned}\]
حال به کمک محدوده تغییرات \(\sin x\)، می‌توان تعیین کرد که برای هر \(x\)، \(\dfrac{3}{\sin x+2}\) در بازه \([1,3]\) قرار می‌گیرد.
چگونه؟

\[\begin{aligned} &-1\leq\sin x\leq1 \\&\Rightarrow 1\leq\sin x+2\leq3\\&\Rightarrow 1\geq\frac{1}{\sin x+2}\geq\frac{1}{3}\\&\Rightarrow 3\geq\frac{3}{\sin x+2}\geq1.\end{aligned}\]

بنابراین \(-2\leq A \leq 0\).
چرا؟

\[\begin{aligned}& 3\geq\frac{3}{\sin x+2}\geq 1\\[9pt]&\Rightarrow -3\leq-\frac{3}{\sin x+2}\leq -1\\[9pt]&\Rightarrow -3{\color{red}\,+\,1}\leq-\frac{3}{\sin x+2}{\color{red}\,+\,1}\leq -1{\color{red}\,+\,1}\\[9pt]&\Rightarrow -2\leq 1-\frac{3}{\sin x+2}\leq 0\\[9pt]&\Rightarrow -2\leq A\leq 0.\end{aligned}\]

---

29. اگر \(\sin x>\frac{1}{2}\) باشد، \(x\) در چه ناحیه‌ای تغییر می‌کند؟ (روی دایره مثلثاتی نمایش داده شود.)
پاسخ را نشان بده!

خط \(y=\frac{1}{2}\) را رسم می‌کنیم تا دایره مثلثاتی را قطع کند.



نقاط تلاقی خط و دایره، مکان زاویه‌هایی است که \(\sin x=\frac{1}{2}\). با توجه به شکل بالا، فقط برای \(30^\circ<x<150^\circ\) داریم \(\sin x>\frac{1}{2}\). بنابراین \(30^\circ<x<150^\circ\).


---

30. اگر \(\cos x=1-m\) و \(-60^\circ\leq x<60^\circ\)، آنگاه محدوده \(m\) را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، اگر \(-60^\circ<x<60^\circ\)، آنگاه \(\frac{1}{2}\leq\cos x\leq1\) است.



بنابراین:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}\leq\cos x\leq 1\\&\Rightarrow\frac{1}{2}\leq 1-m\leq 1\\&\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq -m\leq 0\\&\Rightarrow \frac{1}{2}\geq m\geq0.\end{aligned}\]


---