قضیهٔ سوم تشابه

قضیهٔ سوم تشابه

فرض. در دو مثلث \(ABC\) و $MNP$ داریم: $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ .
حکم. $\bigtriangleup MNP\sim \bigtriangleup ABC$.

اثبات قضیهٔ سوم تشابه.

روی ضلع $AB$ به اندازهٔ $MN$ جدا می کنیم، $AD=MN$.
از $D$ خطی موازی با $BC$ رسم می‌کنیم تا ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند.

با استفاده از قضیهٔ اساسی تشابه،
$$\bigtriangleup ADE\sim \bigtriangleup ABC,\quad(1)$$
و در نتیجه
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}\frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\\\frac{MN}{AB}&=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}\\AD&=MN\end{aligned}\right\}&\Rightarrow \begin{aligned}AE&=MP\\DE&=NP.\end{aligned}\end{aligned}\]
دو مثلث $ADE$ و $MNP$ به حالت سه ضلع هم‌نهشت هستند. چرا؟