قضیه زاویه خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.


توجه. اگر بخواهیم از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده کنیم، اثبات قضیهٔ بالا واضح است. (قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث را ببینید.) اما در اثبات زیر، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نشده است. در بعضی موارد، از جمله اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب، به اثبات زیر نیاز داریم.


اثبات. مطابق شکل زیر، مثلث \(ABC\) و زاویهٔ خارجی \(ACD\) را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ثابت کنیم که زاویهٔ \(ACD\) از هریک از زاویه‌های \(A\) و \(B\) بزرگ‌تر است. قضیه زاویه خارجی

میانهٔ \(BE\) را رسم می‌کنیم و آن را به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(F\) به‌دست آید. توجه کنید که نقطهٔ \(F\) درون زاویهٔ \(ACD\) می‌افتد.

قضیه زاویه خارجی

حال، دو مثلث \(ABE\) و \(CFE\) در حالت ض‌زض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABE\) و \(CFE\) نتیجه می‌شود که \(B\widehat{A}E=F\widehat{C}E\).

قضیه زاویه خارجی

اکنون توجه کنید که زاویهٔ \(FCE\) قسمتی از زاویهٔ \(ECD\) است، بنابراین از آن کوچک‌تر است؛ به عبارت دیگر، زاویهٔ \(ACD\) از زاویهٔ \(BAC\) بزرگ‌تر است.

به همین ترتیب، می‌توان ثابت کرد که زاویهٔ خارجی \(ACD\) از زاویهٔ \(ABC\) بزرگ‌تر است.


توضیح. در اثبات بالا برای یک قسمت، استدلال کاملاً دقیق و ریاضیاتی نیاورده‌ایم. البته، چنین دقتی جزء مباحث هندسهٔ دبیرستانی نیست. به‌هرحال، به کسانی که می‌خواهند استدلال‌های هندسه را خیلی دقیق بیاموزند، خواندن کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی را توصیه می‌کنیم. اثبات کامل قضیه زاویه خارجی (نابرابری) در صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰ این کتاب آمده است.


 


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

19 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
هیربد همتیان
Member
1 سال قبل

چون من با روش دیگری ولی مشابه رفتم و نتیجه داده
میانه‌ی A رو در مثلث ABC رو کشیدم
وسط BC رو اسمشو گذاشتم E.
از AE به همون اندازه امتداد دادم و نقطه جدید رو اسمشو گذاشتم F.
پاره خط CF رو رسم کردم
و مثلث CEF رو تشکیل دادم که بنابر اصل ض‌زض با مثلث BEA هم‌نهشته
(دو جفت ضلع مشخص هستن و زاویه‌ی BEA با زاویه CEF متقابل به راسه)
پاره خط AC رو از طرف C تا نقطه‌ی دلخواه امتداد دادم و انتهاش رو نقطه G اسم گذاشتم
و خب نتیجه گیری میشه که زاویه BCG با DAG متقابل به راسه
از اونجایی که ECF (که مساوی زاویه B هستش) قسمتی از BCG (که مساوی DAG هستش) هستش، نتیجه میگیریم B کوچکتر از ACD هستش
و اینکه متوجه نمیشم قسمتی از زاویه بودن یعنی چی(از این روش هم تقلید کردم در اثبات خودم)
چون در روش من هم نقطه F درون BCG هستش
لطفا این قسمت رو ریاضی طورش کنید
یا حداقل مفهومش رو توضیح بدید
ممنون

20221219_194657.jpg
هیربد همتیان
Member
پاسخ به  هیربد همتیان
1 سال قبل

منظورم از ریاضی طور اینه که چجوری میشه نشونش داد بدون استفاده از زبان
که خودتون نوشتید
ممنون

هیربد همتیان
Member
1 سال قبل

سلام
میتونید اثبات بزرگتر بودن زاویه خارجی از ABC رو توضیح بدید؟

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام برای اینکه “چرا نقطه F درون زاویه می افتد ؟” من یه استدلال دارم
واضحه که وقتی از اون راس یه میانه رسم کنیم هیچ وقت نباید روی خط BC باشه چون در اون صورت میانه نیست ( اون وقت دیگه یه خط هست که به نقطه وصل هست و خط رو عملا به دو قسمت 0 و خود خط تقسیم می کنیم )
و اگر از طرف دیگر BC هم بخواد بیشتر بشه خب نمیشه چون اون وقت میانه ضلع پایین میتونه باشه ولی نمیتونه میانه ضلع بالا باشه چون اصلا بهش برخورد نمی کنه ! آیا استدلال درستی دارم ؟ لطفا اگر استدلالم اشتباه هست بگین و البته اگر استدلال دقیق تری وجود داره بگید چون همین قسمت اثبات هم جالبه

K.M
Member
2 سال قبل

سلام
ببخشید ما می‌توانستیم برای اثبات این نابرابری از میانه استفاده نکنیم؟
یعنی مثلا مثلثی هم نهشت با مثلث ABC روی ضلع AC رسم کنیم و سپس نشان دهیم که زاویه BAC بخشی از زاویه خارجی است.
سپس برای نشان دادن کمتر بودن زاویه ABC می توانیم ابتدا ضلع AC و BC را امتداد داده بعد یک مثلث هم نهشت با مثلث ABC روی BC رسم کنیم سپس نشان دهیم که زاویه ABC بخشی از زاویه خارجی است؟
(البته برای رسم مثلث های هم نهشت از حالت ض‌ز‌ض استفاده می‌کنیم)

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

ضمنا میشه بگین چرا استدلال بالا *دقیق و ریاضیاتی* نیست ؟ چون کنجکاو شدم

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بعد میشه اثبات زاویه دیگر رو هم بگین ؟ یعنی ACD>ABC چون چند وقته با این قضیا به خاطر همین در گیر هستم اگر بگین ممنون میشم

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

خیلی خیلی ممنون این قضیه رو واقعا نیاز داشتم اثباتش کنم 🙂

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام ببخشید نمیگین چطوری اثبات کنیم ACD بزرگتر از ABC هست ؟ خواهشا راهنمایی کنین خودم سعی کردم ولی نتونستم !

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام ! میشه خواهشا بگین چطوری اثبات کنیم زاویه ABC نیز کمتر از ACD هستش ؟؟؟؟؟؟

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام
ببخشید الان واسه زاویه کنار چجوری اثبات می کنیم ؟ اثبات واسه این زاویه رو متوجه شدم اما گفته که هر زاویه غیر مجاور پس میشه بگین چطوری اون یکی رو اثبات کنیم ؟

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

سلام منظورم زاویه ABE هستش !