نهم. فصل ۳. قضیهٔ ززض

قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

فرض. دو زاویه و ضلع غیربین آنها از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر است.
حکم. این دو مثلث هم‌نهشت هستند.

اثبات. فرض کنیم در مثلث‌های \(ABC\) و \(A’B’C’\) داشته باشیم \(\widehat{A}=\widehat{A’}\)، \(\widehat{B}=\widehat{B’}\)، و \(AC=A’C’\).

پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\\&\widehat{A’}+\widehat{B’}+\widehat{C’}=180^\circ\\&\widehat{A}=\widehat{A’}\\&\widehat{B}=\widehat{B’}\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{C’}.\]

حال، چون یک ضلع از مثلث اول با ضلع نظیرش در مثلث دوم برابر است، پس این دو مثلث بنابه حالت زض‌ز همنهشت هستند.

توجه کنید که «قضیهٔ وتر و یک زاویهٔ حاده» که در کتاب‌های درسی موجود است، حالت خاصی از قضیهٔ ززض است. در قضیهٔ وتر و یک زاویهٔ حاده، زاویه‌های قائمه و حاده و ضلع غیر بین آنها (وتر مثلث)، با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر است.