قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.


فرض. دو زاویه و ضلع غیربین آنها از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر است.
حکم. این دو مثلث هم‌نهشت هستند.


اثبات. فرض کنیم در مثلث‌های \(ABC\) و \(A’B’C’\) داشته باشیم \(\widehat{A}=\widehat{A’}\)، \(\widehat{B}=\widehat{B’}\)، و \(AC=A’C’\).

دو زاویه و ضلع غیر بین

پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\\&\widehat{A’}+\widehat{B’}+\widehat{C’}=180^\circ\\&\widehat{A}=\widehat{A’}\\&\widehat{B}=\widehat{B’}\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{C’}.\]


دو زاویه و ضلع غیر بین

حال، چون یک ضلع از مثلث اول با ضلع نظیرش در مثلث دوم برابر است، پس این دو مثلث بنابه حالت زض‌ز همنهشت هستند.


توجه کنید که «قضیهٔ وتر و یک زاویهٔ حاده» که در کتاب‌های درسی موجود است، حالت خاصی از قضیهٔ ززض است. در قضیهٔ وتر و یک زاویهٔ حاده، زاویه‌های قائمه و حاده و ضلع غیر بین آنها (وتر مثلث)، با اجزاء نظیر از مثلثی دیگر برابر است. 

چه کتابی بخونم؟!

با پشتیبانی Takmili

روی لینک زیر کلیک کنید تا با ویژگی‌های این کتاب و طرح «چه کتابی بخونم؟!» آشنا شوید.

هندسه از ابتدا تا صفحهٔ پشتیبانی


آنالیز ترکیبی

آزمون تیزهوشان

تست هوش

جادوی مریم میرزاخانی

محسن کیهانی

18 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سلام وقت بخیر این قضیه با برهان خلف اثباتش چجوری هست ؟

سلام
اثباتی که شما می‌خواهید در کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی هست.

منظور از نظیر به نظیر چیه تو قضیه لطف توضیح بدین

در همنهشتی دو چندضلعی، به ضلع‌ها و زاویه‌های دو چندضلعی که دوبه‌دو باهم برابرند، «متناظر» یا «نظیر» یکدیگر می‌‌گویند.

البته این حالت یه مثال نقض هم داره که احتمال این که در این حالت پیش بیاد خیلی کمه.

لطفاً مثال نقض را بنویسید یا از آن عکس بگیرید و آپلود کنید.
در بخش کامنت‌گذاری پرسش‌های متداول، روش آپلود عکس در سایت تکمیلی شرح داده شده است.

این دو مثلث متشابه هستند اما همنهشت نیستند.

Screenshot (163).png

اگر صورت قضیهٔ ززض این‌گونه بود، آن‌وقت مثال شما یک مثال نقض بود:

اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اما صورت قضیهٔ ززض این‌گونه است:

اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

به اصطلاح «نظیر به نظیر» دقت کنید. در مثال شما ضلع ۵ سانتی‌متری نظیر یکدیگر نیستند. (باید هر دو ضلع مقابلِ زاویه‌هایی با اندازه‌های برابر باشند تا نظیر هم باشند.)

بله،منظور من هم همین بود که باید حتما در این حالت نظیر به نظیر ذکر بشود که در توضیح شما گفته شده.اما اگر سوال اطلاعات زیادی نداده باشد نمیتوانیم از این حالت استفاده کنیم درست هست؟(یعنی از نظیر به نظیر بودن اطلاعی نداشته باشیم)

در ریاضیات وقتی می‌توانید از یک قضیه استفاده کنید که همهٔ شرط‌های آن برقرار باشد.

بسیار متشکرم

چرا در آخر گفتيد بنا به حالت زض ز ؟

چون \(\widehat{A}=\widehat{A}^\prime\)، \(\widehat{C}=\widehat{C}^\prime\)، و \(AC=A^\prime C^\prime\).

پس چرا عنوانش اثبات ززض هست؟اين طوري ميشه دو زاويه و ضلع غير بين.اما در قسمت آخرش گفتيد زض ز که ميشه دو زاويه و ضلع بين…يعني به هر دو حالت ميشه؟

در نوشتهٔ بالا، برای اثبات قضیهٔ ززض (دو زاویه و ضلع غیر بین) از قضیهٔ زض‌ز (دو زاویه و ضلع بین) استفاده شده است.

سلام حالت دو ضلع و زاویه ی غیر بین هم می تونن با هم همنشت باشن.

سلام
دو ضلع و زاویهٔ غیربین، حالت‌ همنهشتی دو مثلث نیست. در صفحه‌های ۹۸ و ۹۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، به‌طور مفصل دراین‌باره بحث شده است.

عالی