اگر در یک چهارضلعی، قطرها همدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است.
فرض: در یک چهارضلعی، قطرها همدیگر را نصف کرده‌اند.
حکم: در این چهارضلعی، ضلع‌های روبه‌رو موازی‌اند.
اثبات. فرض کنید که قطرهای چهارضلعی \(ABCD\) همدیگر را در نقطهٔ \(E\) نصف کرده باشند؛ یعنی \(AE=CE\) و \(BE=DE\). می‌خواهیم ثابت کنیم که \(AB\parallel CD\) و \(AD\parallel BC\).
دو مثلث \(ABE\) و \(CDE\) در حالت ضزض همنهشت‌اند. (چرا؟)
پس در اجزای متناظر دو مثلث \(ABE\) و \(CDE\)، زاویه‌های \(ABE\) و \(CDE\) برابرند. از برابری این دو زاویه، و عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، نتیجه می‌شود که \(AB\parallel CD\).
دو مثلث \(ADE\) و \(CBE\) در حالت ضزض همنهشت‌اند. (چرا؟)
پس در اجزای متناظر دو مثلث \(ADE\) و \(CBE\) زاویه‌های \(ADE\) و \(CBE\) برابرند. از برابری این دو زاویه، و عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، نتیجه می‌شود که \(AD\parallel BC\).
