آزمون تیزهوشان نهم به دهم – خرداد ۹۷ – پرسش ۸۶

مطابق شکل زیر، از مکعبی به طول ضلع یک با رأس‌های $A$، $B$، $C$، $D$، $E$، $F$، $G$، و $H$، هرم $AFCB$ را بریده‌ایم. به‌همین‌ترتیب هرم‌های $EAFH$، $GFCH$، و $DACH$ را می‌بریم. حجم شکل باقی‌مانده کدام است؟
۱) صفر
۲) $\frac{1}{3}$
۳) $\frac{2}{3}$
۴) $\frac{1}{5}$

راهنمای حل

قاعدهٔ هرم $AFCB$، مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین $ABF$ است. ارتفاع هرم $AFCB$، یال $BC$ است. پس حجم هرم $AFCB$ برابر است با:
\[\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{6}.\]
بنابراین، حجم هریک از هرم‌های $EAFH$، $GFCH$، و $DACH$ نیز برابر $\frac{1}{6}$ است. پس مجموع حجم این چهار هرم برابر است با:
\[4\times\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.\]
چون حجم مکعب داده شده برابر
\[1\times1\times1=1\]
است، پس حجم خواسته شده برابر است با:
\[1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. آیا می‌توانید حجم ناحیهٔ باقی‌مانده را رسم کنید؟