مسابقه ریاضی آنلاین
سنجش و پایش علمی

۹. ۱. ۳. ۱۲. فرض کنید $n$ یک عدد ثابت، $A=\{3x+n\mid x\in\mathbb{Z}\}$ و $-23\in A$. اگر $\{a,b\}\subseteq A$، آنگاه $a+b$ به چند تا از مجموعه‌های زیر، می‌تواند تعلق داشته باشد؟
الف) $\{1395,1438,2017\}$
ب) $\{1357,1388,1332\}$


راهنمای حل

چون $-23\in A$، پس باید $n$ را طوری انتخاب کنیم که
\[3x+n=-23.\]
در اینجا $n=1$ در نظر می‌گیریم. (چرا؟)

بنابرین:
\[A=\{3x+1\mid x\in\mathbb{Z}\}.\]
پس اگر $x$ عددی صحیح باشد، آنگاه همهٔ اعضای $A$ را می‌توان به‌صورت $3x+1$ نوشت.

حال، اگر $\{a,b\}\subseteq A$، آنگاه اعدادی صحیح مانند $y$ و $z$ وجود دارند به‌طوری‌که:
\[a=3y+1,\;b=3z+1.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}a+b&=3y+1+3z+1\\&=3(y+z)+2\\&=3k+2.\end{aligned}\]
پس در مجموعه‌های قسمت «الف» و «ب» باید دنبال عددی بگردیم که بتوان آن را به‌صورت $3k+2$ نوشت. ($k$ عددی صحیح است.) یا به‌عبارتِ دیگر، باید دنبال عددی بگردیم که باقی‌ماندهٔ تقسیم آن عدد بر ۳ برابر ۲ شود.
باقی‌مانده تقسیم ۱۳۹۵ بر ۳ برابر صفر است(؟).
باقی‌مانده تقسیم ۱۴۳۸ بر ۳ برابر ۱ است(؟).
باقی‌مانده تقسیم ۲۰۱۷ بر ۳ برابر ۱ است(؟).

باقی‌مانده تقسیم ۱۳۵۷ بر ۳ برابر ۱ است(؟).
باقی‌مانده تقسیم ۱۳۸۸ بر ۳ برابر ۲ است(؟).
باقی‌مانده تقسیم ۱۳۳۲ بر ۳ برابر صفر است(؟).

پس $a+b$ می‌تواند به مجموعهٔ قسمت «ب» متعلق باشد.


پرسش ۱. چرا در متن تمرین بالا عبارتِ «فرض کنید $n$ یک عدد ثابت،» نوشته شده است؟

پرسش ۲. در تمرین بالا، $n$ چه اعداد دیگری می‌تواند باشد؟


 

درسنامه‌های ریاضی

Subscribe
Notify of
26 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

سلام خسته نباشید بهتر نیست جمله ی (n را یک در نظر می گیریم)را که در بالا نوشتید به عنوان یک توجه در پایین بزارین که n حتما نباید یک باشه اخه بیشتر سوالا درباره ی این بود که چرا n را یک در نظر گرفتیم؟!

سلام
ظاهراً دوستان راه‌حل را کامل نمی‌خوانند!
در سطر سوم راهنمای حل نوشته شده: «در اینجا \(n=1\) در نظر می‌گیریم. (چرا؟)» زیرا این نوشته کادری هست که داخل آن نوشته شده «پاسخ را نشان بده!» اگر روی کادر کلیک کنید، به‌طور مفصل توضیح داده شده که \(n\) چه اعداد دیگری به‌غیر از \(1\) می‌تواند باشد.

سلام وقت بخير و سپاس
امكانش هست پرسش هايي كه به عنوان چالش در پايان جواب هر سوال قرار داده ايد رو پاسخش رو بگذاريد؟

سلام.
پرسش‌ها برای این است که خواننده خود را محک بزند که آیا واقعاً راه‌حل را فهمیده و به مسئله مسلط شده است یا نه؟
همچنین به خواننده یاد می‌دهد که بعد از حل یک تمرین، به‌سادگی از آن عبور نکند و سؤال‌های دیگری دربارهٔ آن مطرح کند.
توصیهٔ ما این است که وقتی معلم‌تان در کلاس، تمرین‌ها را حل می‌کند، شما این‌گونه پرسش‌ها را مطرح کنید تا کلاس‌تان فعال‌تر شود.

ضمن اینکه کاربران می‌توانند با گذاشتن کامنت، دربارهٔ پاسخ پرسش‌ها باهم بحث کنند.

نمیتونیم به صورت زیر بنویسیم و بگیم اگه حاصل باقی مانده بر۳، بر ۲ قابل قسمت باشه عدد a+b میتونه باشه؟
3x + n + 3z + n = 3(x+z) +2n

خیر!
در راه‌حل شما از شرط \(-23\in A\) استفاده نشده است.
با توجه به راه‌حل شما، \(a+b\) می‌تواند برابر مضارب 3 نیز باشد.

اها..فهمیدم

سلام
چرا n=1

n لزوماً برابر 1 نیست. دقت کنید که در راه‌حل نوشته شده: «در اینجا \(n=1\) در نظر می‌گیریم.»
در راه‌حل بالا، توضیحات مفصل درباره‌ٔ اینکه n چه اعدادی می‌تواند باشد و چرا n را برابر 1 در نظر گرفته‌ایم، نوشته شد.

اقا چرا این قدر مسئله رو پیچوندید راحت میگفتید باقی مانده این 3*8 میشه24 پس یه 1 می خواییم n پیدا شد عدد دیگه به جای 8 هم جواب میده بهد a+bهم دوتا یک داره (دوتا n)

چرا n برابر 1 شد؟ چرا n نمی‌تونه برابر 4 باشه؟ (9*3 میشه 27 پس یه 4 خواییم n پیدا شد!)

از همه چیز ممنون . خیلی عالیه

با عرض درود و خسته نباشید.
می تونید لطفا توضیح بدید چرا n=1 نوشته شد؟؟؟
ممنون می شم.

سلام.
در کامنت‌های پایین، یک نفر همین سؤال را پرسیده است و به‌طور مفصل پاسخ داده‌ایم.
لطفاً بخوانید و اگر متوجه نشدید، در پاسخ به همان کامنت، سؤال‌تان را بپرسید.

سلام.ببخشید شما چندسالتونه؟سر هر مساله خیلی فکر میکنید؟؟یانه؟؟

مگه نگفتین که باقی مانده 2 بشود پس چرا صفر و 1 یک هم هست توی قسمت ب

منم همین سوال رو دارم میشه جواب بدید ممنون

کافی است یکی از اعضای مجموعه باشد؛ لازم نیست همهٔ اعضای مجموعه به‌صورت #3x+ 2# باشد.
دقت کنید که مسئله گفته: «#a+b# به‌ چندتا از مجموعه‌های زیر، می‌تواند تعلق داشته باشد.»

درود
چرا n ، عدد ۲ نمیتواند باشد؟

خیلی جالب بود استدلالتون در مورد اینکه nهمیشه یکه☺

چرا $n$ رو مساوی یک درنظر گرفتید؟

هریک از اعضای مجموعهٔ زیر می‌تواند برابر $n$ باشد.
\[N=\{\dots,-5,-2,1,4,7,\dots\}.\]
اگر هریک از اعضای مجموعهٔ بالا را به‌عنوان $n$ انتخاب کنید، با تغییر دادن $x$ می‌توان آن انتخاب را به همان $1$ تبدیل کرد.
اگر جملهٔ بالا را نفهمیدید(!) مثال‌های زیر را ببینید:
برای مثال، اگر $n=4$، آنگاه:
\[\begin{aligned}3x+4&=3x+3+1\\&=3(x+1)+1.\end{aligned}\]
به‌عنوان مثال دیگر، اگر $n=-5$، آنگاه:
\[\begin{aligned}3x-5&=3x-6+1\\&=3(x-2)+1.\end{aligned}\]
به‌هرحال، اگر $n$ را هریک از اعضای مجموعهٔ $N$ در نظر بگیرید، در پاسخ مسئله تأثیری ندارد.

منظورتون از مجموعه x چیه؟ همان مجموعه A بعلاوه یک؟

خیر! مجموعهٔ X را خودمان تعریف کرده‌ایم! اعضایش هم در بالا مشخص شده است.
در راه‌حل، n را برابر 1 در نظر گرفته‌ایم؛ اما اگر n را برابر هریک از اعضای مجموعهٔ X در نظر بگیریم، در پاسخ مسئله تأثیری ندارد.

چرا X سه تا سه تا نوشته شده چرا تمام اعداد صحیح ننوشتید؟ یعنی مثلاً چرا n نمیتوانن ۲ یا ۶ یا ۵‌و… باشد؟
لطفاً پاسخ دهید

چون در آن‌صورت شرط #23\in A#، که جزء فرض‌های مسئله است، از بین می‌رفت!