۹. ۱. ۲. ۱۷. پروژه. مسئلهٔ دختران مدرسهٔ کرکمن. در سال $1850$ میلادی، آقای کرکمن می‌خواست پانزده دانش‌آموزش را هر روز هفته به گروه‌های سه نفره تقسیم کند. از طرفی او می‌خواست هر دانش‌آموز با هریک از دانش‌آموزان دیگر، دقیقاً یک‌بار هم‌گروه باشد. با چنین شرایطی، آقای کرکمن با چه روشی باید جدول زیر را پر می‌کرد؟


راهنمای حل

راه‌حل‌های زیادی برای این مسئله وجود دارد. ایدهٔ یکی از این راه‌حل‌ها در زیر آمده است.

پانزده دانش‌آموز را به دو دسته تقسیم کنید:
\[\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4,5,6,7\}\\B&=\{8,9,10,11,12,13,14,15\}\end{aligned}\]
با زیرمجموعه‌های سه‌عضوی $A$ یک صفحهٔ فانو بسازید و هر عضو صفحهٔ فانو را به‌عنوان گروه ۱ هریک از روزهای هفته بنویسید. (روش ساختن صفحهٔ فانو در تمرین ۱۵ صفحهٔ ۸ آمده است.)

همهٔ زیر مجموعه‌های دو عضوی مجموعهٔ $B$ را بنویسید و این $28$ مجموعه را به هفت دستهٔ چهارتایی تقسیم کنید به‌طوری که در هر دسته همهٔ اعداد مجموعهٔ $B$ دیده شوند. سپس هریک از دسته‌های چهارتایی را به‌عنوان دو عضو از گروه‌های ۲، ۳، ۴، و ۵ هریک از روزهای هفته بنویسید. برای مثال، گروه‌های روز شنبه می‌تواند به‌صورت زیر باشد:
\[\begin{aligned}&\{1,2,3\}\\&\{8,9\}\\&\{10,11\}\\&\{12,13\}\\&\{14,15\}\\\end{aligned}\]
حال، هر روز هفته یک گروه سه نفره و چهار گروه دو نفره دارد. واضح است که تا اینجا هر دو نفر حداکثر یک‌بار باهم هم‌گروه بوده‌اند. اکنون نفر سومِ گروه‌های ۲، ۳، ۴، و ۵ هر روز را باید از نفراتی که در مجموعهٔ‌ $A$ هستند ولی در گروه ۱ (آن روز) نیستند، انتخاب کنیم به‌طوری‌که هر دو نفر دقیقاً یک‌بار باهم هم‌گروه باشند.


پرسش در کلاس ۱. می‌خواهیم زیرمجموعه‌های دوتایی مجموعهٔ\[A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]را به هفت دستهٔ چهارتایی تقسیم کنیم به‌طوری‌که در هر دسته، هر عضو مجموعهٔ $A$ زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از آن چهار زیرمجموعه باشد. برای این‌کار حداقل دو روش ارائه کنید.


 

راهنمای حل (با توضیحات دقیق‌تر)

اگر نتوانستید با راهنمای حل بالا جواب مسئله را بیابید، با استفاده توضیحات و فرمول‌های زیر،‌ می‌توانید به‌سادگی پاسخ مسئله را بیابید.

پانزده دانش‌آموز را به دو دسته تقسیم کنید و دسته‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری کنید.
\[\begin{aligned}A&=\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}\\B&=\{y_0,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,z\}\end{aligned}\]

با اعضای مجموعهٔ $A$ یک فانو (موجودی که در  تمرین ۱۵ صفحهٔ ۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید)، به‌صورت زیر می‌سازیم:
\[\begin{aligned}&\{x_1,x_2,x_4\}\\&\{x_2,x_3,x_5\}\\&\{x_3,x_4,x_6\}\\&\{x_4,x_5,x_0\}\\&\{x_5,x_6,x_1\}\\&\{x_6,x_0,x_2\}\\&\{x_0,x_1,x_3\}\end{aligned}\]
پرسش در کلاس ۲. روش ساختن فانوی بالا را کشف کنید.

روزهای هفته را به‌ترتیب با شماره‌های \(0\) تا \(6\) نام‌گذاری می‌کنیم و هفت مجموعهٔ بالا را به‌ترتیب در این \(7\) روز قرار می‌دهیم. (چگونه؟)

در روز $i$اُم، سه عضو از مجموعهٔ $A$ در یک گروه ۱ آمده‌اند. هریک از چهار عضو دیگرِ مجموعهٔ $A$ را در چهار گروه دیگر قرار می‌دهیم. (چگونه؟)


یکی از چهار گروه دیگرِ روز $i$اُم را $\{x_i,y_i,z\}$ قرار می‌دهیم. بنابراین تا اینجا، در هر روز، دوتا گروه ساخته‌ایم. (چگونه؟)

اکنون در هر روز، سه عضو از مجموعهٔ $A$ استفاده نشده است. اگر هریک از این عضو‌ها را با $x_m$ نمایش دهیم، آنگاه می‌توانیم در هر روز سه‌تا مجموعهٔ سه‌تایی به‌صورت $\{x_m,y_j,y_k\}$ بسازیم به‌طوری‌که باقی‌مانده تقسیم $2m$ بر \(7\) برابر باقی‌ماندهٔ‌ تقسیم $j+k$ بر \(7\) باشد. برای مثال، در روز \(0\)، $x_3$، $x_5$، و $x_6$ استفاده نشده‌اند. بنابراین، برای روز \(0\)، سه زیرمجموعهٔ زیر را داریم:
\[\{x_3,y_1,y_5\},\{x_5,y_4,y_6\},\{x_6,y_2,y_3\}\]
(چرا؟)

پس تا اینجا، روز \(0\) کامل شده است؛ (چگونه؟)


و برای هریک از روزهای دیگر، باید سه مجموعه بسازیم. با قانونی که سه مجموعهٔ بالا را ساختیم، سه مجموعهٔ روزهای دیگر را نیز می‌سازیم. (چگونه؟)


پرسش در کلاس ۳. آیا می‌توانید بگویید که ایدهٔ راه‌حل بالا چگونه به‌وجود آمده و چرا درست است؟

پرسش در کلاس ۴. روش دیگری برای حل این مسئله بیابید.

پرسش در کلاس چیست؟


 
درسنامه مجموعه ها

درسنامهٔ مجموعه‌ها

 

هوش ET

ویدئوی هفته

در این ویدئو، نیل اسلون مدیر معتبرترین دایرةالمعارف آنلاین دنباله‌های ریاضی، چند دنبالهٔ عجیب معرفی می‌کند که کمتر کسی می‌تواند قانون آنها را کشف کنید.

ویدئوهای بیشتر

  

مسئلهٔ هفته

در جدول زیر، به‌جای کدام اعداد صفر قرار داده شود تا مجموع هر سطر و هر ستون برابر \(16\) شود؟ برای این‌کار، حداقل چندتا صفر لازم است؟

مسئله ریاضی

ارسال پاسخمسئله‌های بیشتر

 

اشتراک
اطلاع از
13 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

واقعا سایت شما بهترین سایت در این زمینه هست مطالب و موضوعات و بخش های مختلف ریاضی رو در سایت قرار دادید تمام مطالب کامل و ریزبینانه هست ایده های متنوع و جدید و جذاب در طراحی و محتوای سایت باعث جذب مخاطب شده مثل بخش هایی مانند مسئله هفته ، درسنامه ،تالار قهرمانان. همه این اجزا بیانگر اینه که شما تمام تلاش و وقتتون و همه افکارتون رو صرف این محیط کردین ایده هایی که تا حالا نمونه اش رو من ندیدم سایت شما را نه فقط یک سایت برای ریاضی تکمیلی بلکه مکانی جامع و کامل برای ریاضی میسازه بی نظیر 👏👍👌خیلی متشکر و ممنون

ممنون از اینکه با دقت و تیزبینی مطالب سایت تکمیلی را دنبال می‌کنید.
این سایت در ابتدای مسیرش برای تبدیل شدن به یک وب‌سایت جامع ریاضی است.
امیدواریم با حمایت و پشتیبانی شما عزیزان، روزبه‌روز بهتر شویم.

سلام
منظور مسئله اینه که هر مجموعه در روز های هفته هیچ عضو اشتراکی نداشته باشه؟!
متاسفانه من توضیحات بالا رو متوجه نمیشم.
لطفا واضح تر بگید.

سلام
طبیعتاً تا وقتی صورت مسئله را متوجه نشده‌اید، نمی‌توانید آن را حل کنید یا راه‌حل آن را متوجه شوید.
این مسئله و دو مسئلهٔ قبل از آن از یک جنس هستند. سعی کنید صورت دو مسئلهٔ قبلی را هم دقیقاً متوجه شوید. در جلسهٔ سوم درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی، توضیحات مفصلی دربارهٔ این سه مسئله آمده است. ابتدا آنها را بخوانید، بعد که صورت مسئله را متوجه شدید، و دربارهٔ حل آن (ساعت‌ها) فکر کردید و راه‌حل را خواندید، اگر جایی از راه‌حل برایتان واضح نبود، بفرمایید تا دربارهٔ آن بحث کنیم.

سلام ببخشید این مسئله قسمت دومش که روزهارو کامل میکنه دوباره توضیح بدین یکم وضوحش بیشتر باشه ممنون میشم

سلام
به‌هرحال، راه‌حل این مسئله، ساده نیست. ولی توضیحات بالا مفصل، کامل، و با تمام جزئیات است.
لطفاً دقیقاً مشخص کنید که کجای راه‌حل را متوجه نشده‌اید، تا دربارهٔ آن بحث کنیم یا در صورت لزوم، توضیحات راه‌حل را مفصل‌تر بنویسیم.

من با توضیحی که اول دادین پیش رفتم و همه رو پر کردم و فک میکنم که درست هم نوشتم ولی وقتی به پر کردن ردیف سوم – که باید اون اعضایی که تو مجموعه A هستن ولی تو گروه اون روز نیستن رو طوری انتخاب کنیم که هر دونفر دقیقا یکبار با هم همگروه شده باشند – میرسم به مشکل میخورم و نمیتونم پر کنمشون!!!!
خواهشاً راهنماییم کنین!

جواب نهایی در انتهای «راهنمای حل (با توضیحات دقیق‌تر)» هست.

نمى شد به صورت راحت تر توضيح بدهيد

این مسئله، ساده نیست؛ طبیعی است که راه‌حل آن هم خیلی ساده نباشد.
هر جای راه‌حل که واضح نیست، بفرمایید تا بیشتر توضیح دهیم.

سلام،با تشکر از سایت خوبتون فانو چیست؟

سلام.
دربارهٔ فانو در تمرین ۹. ۱. ۲. ۱۵، صفحهٔ قبل این تمرین در کتاب تکمیلی، به‌طور مفصل بحث شده است.