مسابقه ریاضی آنلاین
سنجش و پایش علمی

۹. ۱. ۲. ۱۵. فرض کنید $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$.
الف) همهٔ زیرمجموعه‌های دو عضوی $A$ را بنویسید.
ب) همهٔ زیرمجموعه‌های سه عضوی $A$ را بنویسید.
ج) هفت مجموعه از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد. پاسخ خود را با پاسخ هم‌کلاسی‌هایتان مقایسه کنید.
د) هفت زیرمجموعهٔ به‌دست آمده در قسمت «ج» را از مجموعه‌های قسمت «ب» حذف کنید و از مجموعه‌های باقی‌مانده، هفت زیرمجموعهٔ دیگر بیابید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد.
هـ) هریک از اعضای مجموعهٔ $A$ به چند مجموعهٔ قسمت «ج» تعلق دارد؟
و) چهارده مجموعهٔ به‌دست آمده در قسمت‌های «ج» و «د» را از مجموعه‌های قسمت «ب» حذف کنید. آیا می‌توانید هفت مجموعه از مجموعه‌های باقی‌مانده چنان انتخاب کنید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد؟
ز) آیا مسئلهٔ زیر جوابی متفاوت از جواب‌های قسمت «ج» دارد؟
زیرمجموعه‌هایی از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این مجموعه‌ها باشد.


راهنمای حل

الف)
\[\begin{aligned}&\{1,2\}\\&\{1,3\}\\&\{1,4\}\\&\{1,5\}\\&\{1,6\}\\&\{1,7\}\\&\{2,3\}\\&\{2,4\}\\&\{2,5\}\\&\{2,6\}\\&\{2,7\}\\&\{3,4\}\\&\{3,5\}\\&\{3,6\}\\&\{3,7\}\\&\{4,5\}\\&\{4,6\}\\&\{4,7\}\\&\{5,6\}\\&\{5,7\}\\&\{6,7\}\end{aligned}\]


پرسش ۱. برای اینکه مطمئن باشیم همهٔ زیرمجموعه‌ها را نوشته‌ایم و هر زیرمجموعه‌ را دقیقاً‌ یک‌بار نوشته‌ایم، باید ترتیب و قانونی برای نوشتن زیرمجموعه‌ها داشته باشیم. قانون ترتیب بالا را کشف کنید. سپس با ترتیب دیگری این زیرمجموعه‌ها را بنویسید.


ب)
\[\begin{aligned}&\{1,2,3\}\\&\{1,2,4\}\\&\{1,2,5\}\\&\{1,2,6\}\\&\{1,2,7\}\\&\{1,3,4\}\\&\{1,3,5\}\\&\{1,3,6\}\\&\{1,3,7\}\\&\{1,4,5\}\\&\{1,4,6\}\\&\{1,4,7\}\\&\{1,5,6\}\\&\{1,5,7\}\\&\{1,6,7\}\\&\{2,3,4\}\\&\{2,3,5\}\\&\{2,3,6\}\\&\{2,3,7\}\\&\{2,4,5\}\\&\{2,4,6\}\\&\{2,4,7\}\\&\{2,5,6\}\\&\{2,5,7\}\\&\{2,6,7\}\\&\{3,4,5\}\\&\{3,4,6\}\\&\{3,4,7\}\\&\{3,5,6\}\\&\{3,5,7\}\\&\{3,6,7\}\\&\{4,5,6\}\\&\{4,5,7\}\\&\{4,6,7\}\\&\{5,6,7\}\end{aligned}\]


پرسش ۲. قانون ترتیب بالا را کشف کنید. سپس با ترتیب دیگری این زیرمجموعه‌ها را بنویسید.


ج) اعداد \(1\) تا \(7\) را داخل دایره‌های شکل داده شده قرار می‌دهیم.

روی پاره‌خط قرمز شکل بالا، سه عدد وجود دارد: \(1\)، \(2\)، و \(3\). این سه عدد را به‌عنوان یک زیرمجموعهٔ سه‌عضوی در نظر می‌گیریم:
\[\{1,2,3\}\]
برای پنج پاره‌خط دیگر نیز همین‌کار را انجام می‌دهیم. همچنین، سه عدد روی دایرهٔ آبی وجود دارد: \(2\)، \(4\)، و \(6\). این سه عدد را نیز به‌عنوان یک مجموعهٔ سه‌عضوی در نظر می‌گیریم.
به‌این‌ترتیب،‌ هفت زیر مجموعهٔ سه‌عضوی داریم:
\[\Big\{\{1,2,3\},\{1,4,5\},\{1,6,7\},\{2,4,6\},\{2,5,7\},\{3,4,7\},\{3,5,6\}\Big\}.\]

هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از هفت مجموعهٔ بالا است. (چرا؟)

شکل بالا، یک شی‌ء بسیار معروف در ریاضیات است که به آن صفحهٔ فانو (Fano Plane) می‌گویند. برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ صفحهٔ فانو، اینجا را کلیک کنید.

البته راه‌حل‌های سادهٔ دیگری نیز برای این مسئله وجود دارد. برای مثال، هفت مجموعهٔ زیر، پاسخی برای این مسئله است.
\[\begin{aligned}&\{1,2,4\}\\&\{2,3,5\}\\&\{3,4,6\}\\&\{4,5,7\}\\&\{5,6,1\}\\&\{6,7,2\}\\&\{7,1,3\}\\\end{aligned}\]
روش نوشتن هفت مجموعهٔ بالا را کشف کنید.


پرسش ۳. فانوی خود را با فانوی یکی از دوستانتان مقایسه کنید. چندتا از زیرمجموعه‌‌هایی که شما پیدا کرده‌اید با زیرمجموعه‌هایی که دوستتان پیدا کرده، متفاوت است. این تفاوت حداقل و حداکثر چقدر می‌تواند باشد؟

پرسش ۴. چند فانوی متفاوت وجود دارد؟
(راهنمایی: برای شمردن همهٔ فانوها، ابتدا همهٔ فانوهایی را پیدا کنید که \(\{1,2,3\}\) را داشته باشند. سپس، همهٔ فانوهایی را پیدا کنید که \(\{1,2,4\}\) را داشته باشند. آیا تعداد فانوهایی که \(\{1,2,3\}\) را دارند، با تعداد فانوهایی که \(\{1,2,4\}\) را دارند، برابر است؟ با تعداد فانوهایی که \(\{1,2,5\}\)، \(\{1,2,6\}\)، یا \(\{1,2,7\}\) را دارند، چطور؟)


د) دو صفحهٔ فانوی زیر، مجموعهٔ مشترکی ندارند.


پرسش ۵. روشی بیابید که اگر یک فانو به شما بدهند بتوانید به سادگی فانوی دیگری بسازید که مجموعهٔ مشترکی با فانوی داده شده نداشته باشد.


هـ) هریک از اعضای مجموعهٔ $A$ به سه مجموعهٔ قسمت «ج» تعلق دارد. (چرا؟)


و) خیر. در $21$ مجموعهٔ باقی‌مانده، فانوی دیگری وجود ندارد. (چرا؟)

ز) ابتدا به تفاوت مسئلهٔ این قسمت و مسئلهٔ قسمت «ج» توجه کنید.
در قسمت «و» مسئله به‌صورت زیر است:

زیرمجموعه‌هایی از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این مجموعه‌ها باشد.

در قسمت «ج» مسئله این‌گونه است:

هفت مجموعه از قسمت «ب» چنان انتخاب کنید که هر مجموعهٔ قسمت «الف» زیرمجموعهٔ دقیقاً یکی از این هفت مجموعه باشد.

یعنی اگر تعداد زیرمجموعه‌ها (در صورت مسئله) نیامده باشد، آیا تعداد زیرمجموعه‌هایی با خاصیت گفته شده، ممکن است هفت‌تا نباشد؟ پاسخ این پرسش، «خیر» است. (چرا؟)


پرسش ۶. فرض کنید \(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). قسمت‌های «الف»، «ب»، و «ج» مسئلهٔ بالا را برای مجموعهٔ \(B\) حل کنید.

پرسش ۷. فرض کنید \(C=\{1,2,3,\dots,13\}\). قسمت‌های «الف»، «ب»، و «ج» مسئلهٔ بالا را برای مجموعهٔ \(C\) حل کنید.

پرسش ۸. فرض کنید \(D=\{1,2,3,\dots,15\}\). قسمت‌های «الف»، «ب»، و «ج» مسئلهٔ بالا را برای مجموعهٔ \(D\) حل کنید.


برای معلمان. این مسئله و دو مسئلهٔ بعدی، مثال‌هایی از طرح‌های بلوکی هستند. برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ طرح‌های بلوکی، اینجا را ببینید.


 

درسنامه‌های ریاضی

Subscribe
Notify of
26 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

ببخشید می شه به طور کامل درباره ی صفحه فانو توضیح بدین و اینکه در کجا این صفحه استفاده می شه و چه کاربرد هایی داره.

همین مسئله و راه‌حل آن، توضیح کاملی دربارهٔ صفحهٔ فانو هستند.
صفحهٔ فانو ساده‌ترین مثال در هندسه‌ٔ متناهی، طرح‌های ترکیبیاتی یا سیستم‌های اشتاینری هستند. اگر واقعاً می‌خواهید بدانید این موضوعات دربارهٔ چه چیزهایی بحث می‌کنند، باید وقت بگذارید و منابع مربوطه را بخوانید.
(اگر روی طرح‌های ترکیبیاتی کلیک کنید تا کتاب مربوط به آن دانلود شود، در همان صفحات اول کتاب، صفحهٔ فانو را به‌عنوان یک مثال ساده، مشاهده خواهید کرد.)

فاکتوریِل

باسلام
لطفا در مور. فانو توضیح بدید که چطور اعداد را جاگذاری کنیم و چندمدل فانو برای سوال داریم؟

به‌هر حالت دلخواه می‌توانید هفت عدد را داخل هفت دایره قرار دهید.
در کل، \(30\) تا فانو وجود دارد.

فانوها را به دو دسته تقسیم کنید. آنهایی که #\{1,2,3\}# را دارند و آنهایی که #\{1,2,3\}# را ندارند.
برای آنهایی که #\{1,2,3\}# را دارند، این سه عدد را وسط ضلع‌های مثلث فانو بگذارید.
برای آنهایی که #\{1,2,3\}# را ندارند، این سه عدد را روی رأس ضلع‌ها بگذارید.

سایتتون وحشتناک منظمه … واقعا نظم اش فوق العاده است. ذهن منسجمی دارید واقعا … عالی.

چرا جواب مسئله را در خیلی از مباحث با سوال میدهید؟حداقل جواب سوال ها را بنویسید.

راهنمای حل مسئله‌ها به‌طور کامل نوشته‌ شده است.
\(\bullet\) اگر با دقت بخوانید، متوجه می‌شوید که پرسش‌ها، مسائلی اضافه بر مسئله‌ٔ کتاب هستند. این پرسش‌ها برای علاقه‌مندانی است که می‌خواهند بیشتر فکر کنند تا بیشتر بیاموزند.
\(\bullet\) اگر با دقت نمی‌خوانید(!)، از پرسش‌ها رد شوید؛ بقیهٔ نوشته، راهنمای حل مسئله است.

اتفاقا در چندین مورد پاسخ کامل نیست مثلا پروژه فصل ۱ مدرسه دختران توی این سوال توضیح داده شده و خودتون گفتین که چندین جواب داره اما شما فقط جواب جبری دادین و حتی یک مثال هم نزدین خیلی از بچه ها نمی تونن این رو تعمیم به جواب عددی بدن یا مثلا پروژه فصل دو سوال دنباله کالکین ویلف که حتی ترجمه کوچکی هم در اختیار قرار ندادین حداقل اگر که نمی تونید ترجمه کنید با گوگل انجامش بدین

«جواب جبری» یعنی چه؟!
در پروژهٔ دختران مدرسهٔ کرکمن به‌جای نام‌گذاری بچه‌ها با نمادهای \(1\) تا \(15\)، از نمادهای #x_0# تا #x_6#، و #y_0# تا #y_7# استفاده شده است. شما به جای #x_0# بنویسید «دختر ۱»، به‌جای #x_1# بنویسید «دختر ۲»، …، به‌جای #x_6# بنویسید «دختر ۷»، به‌جای #y_0# بنویسید «دختر ۸»، به‌جای #y_1# بنویسید «دختر ۹»، …، به‌جای #y_7# بنویسید «دختر ۱۵».
اگر فکر می‌کنید «دختر ۱»، «دختر ۲»، …، «دختر ۱۵» هم «جواب جبری» یا جواب دیگری است، می‌توانید به‌جای آنها این‌گونه بنویسید:
دختر ۱: مریم
دختر ۲: رزیتا
دختر ۳: سارا
دختر ۴: نرگس
دختر ۵: نسرین
دختر ۶: ناهید
دختر ۷: فاطمه
دختر ۸: الناز
دختر ۹: راضیه
دختر ۱۰: مرضیه
دختر ۱۱: زهرا
دختر ۱۲: نازنین
دختر ۱۳: نیلوفر
دختر ۱۴: آرمیتا
دختر ۱۵: اقدس

به‌چنین تغییر نام‌هایی که در بالا مشاهده کردید، «تعمیم» نمی‌گویند.

و اما دربارهٔ پروژهٔ کالکین ویلف:
دوست عزیز، آنچه در قسمت «ب» پروژهٔ کالکین ویلف خواسته شده است، یک مسئلهٔ باز است! یعنی هیچ‌کس (هنوز) آن را حل نکرده است. بنابراین، فعلاً نمی‌توانید جواب آن را در اینترنت پیدا کنید.
به‌دلیل جلوگیری از سوء استفاده برخی افراد، راه‌حل قسمت «الف» پروژهٔ کالکین ویلف و پروژه‌هایی را که هنوز راه‌حل‌شان کامل نیست، متناسب با زمان تدریس آنها بارگذاری خواهیم کرد.

مثلا سو استفاده کیا؟ اگه منظورتون معلماس که نود درصدشون بلدن اگه منظورتون بقیس که با یه سرچ انگلیسی تو گوگل این اثباتا رو میشه پیدا کرد اگرم منظورتون بچه هان که جواب پروژه رو من نمیفهمم باهاش چی کار میشه کرد.جواب جبری هم فرقش با مثال عددی مثل نوشتن حالت کلی معادله سیاله با نوشتن مثال عددیه. بعدش شما که دنبال غلط املایی و واژه نادرستین چرا میگین دوست عزیز؟بعد چه طور وقت کردین اشتراک پولی بسازین وقت نکردین یه پاسخ کامل بنویسید؟

در رابطه صحبت های شما دانش آموز عزیز،این سایت احیانا موظف نیست که برای شما به صورت مفت سوالا رو حل کنه،و با یک مبلغ ناچیز نکته و جواب های بسیار خوبی رو در اختیارتون میزاره.

درود ،خسته نباشید
ببخشید در قسمت ج ایا تعداد مجموعه ها کمتر از ۷ هم میشود ،اگه نه! چرا؟

قسمت (ه) یکذره گنگ و فرمول ۶ تقسیم بر ۲ از کجا آمده است

ممنون عالیه. سوال من هم بود.

قسمت «ز» اصلاً خوب توضیح داده نشده است. لطفا رسیدگی کنید.

من اصلا نمیفهمم که در قسمت دال منظور از دقیقا یک بار چیه‌؟
و همینطور قسمت جیم و واو

واژهٔ «دقیقاً» برای تأکید آمده است. یعنی هریک از زیرمجموعه‌های دوعضوی زیر مجموعهٔ یکی از آن هفت مجموعه باشد.

سؤالى داشتم
الان جواب ج) خير است؟
يعنى تفاوتت ندارند؟

{{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}}
این جواب ج هست ((:

عالی

واقعاً ممنون از سایتتون😘😘😘😘😘