۸. ۴. ۴. ۷. الف) معادلهٔ $x+2y=50$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟
ب) معادلهٔ $x+2y+4z=100$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟


راهنمای حل

الف) همهٔ مقادیر ممکن برای $y$، اعداد صفر، 1، 2، …، 25 هستند و به‌ازای هریک از این مقادیر، مقدار $x$ نیز به‌دست می‌آید. پس این معادله 26 جواب صحیح نامنفی دارد. (چرا؟)


پرسش. معادلهٔ $x+2y=100$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟
معادلهٔ $x+2y=80$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟
معادلهٔ $x+2y=28$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟
معادلهٔ $x+2y=4$ چند جواب صحیح نامنفی دارد؟


ب) همهٔ مقادیر ممکن برای $z$، اعداد صفر، 1، 2، …، 25 هستند و به‌ازای هریک از این مقادیر، مقدار $x+2y$ از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید.
$$x+2y=100-4z$$
حال می‌توانیم برای هریک از مقدارهای ممکن برای $z$، تعداد جواب‌های معادلهٔ $x+2y=100-4z$ را بشماریم. برای مثال، اگر $z=0$، آنگاه
\[\begin{aligned}&x+2y+4(0)=100\\&\Rightarrow x+2y=100.\end{aligned}\]
معادلهٔ $x+2y=100$، 51 جواب صحیح نامنفی دارد. (چرا؟) پس اگر $z=0$، آنگاه معادلهٔ $x+2y+4z=100$، 51 جواب صحیح نامنفی دارد.
بنابراین تعداد جواب‌های صحیح نامنفی معادلهٔ $x+2y+4z=100$ برابر است با:
\[51+49+47+\cdots+1\]
(چرا؟)


اکنون بنابه تمرین 8. 1. 1. 6. داریم:
\[\begin{aligned}51+49+47+\cdots+1&=26\times 26\\&=676.\end{aligned}\]
یعنی معادلهٔ $x+2y+4z=100$، 676 جواب صحیح نامنفی دارد.

برای معلمان. هدف از این تمرین به‌هیچ وجه آموزش روش‌های حل معادلهٔ دیوفانتی نیست. صرفاً می‌خواهیم ذهن دانش‌آموز در معادله‌های تک‌مجهولی و معادله‌هایی که فقط یک جواب دارند، محصور نشود.

دسترسی سریع

اشتراک
اطلاع از
14 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

یکم ایده حلش سخت بود با اینکه مساله ساده ای هست

جواب پرسش ها به ترتیب برابر است با 51،41،15،3 (از چپ به راست)

سلام من الان اشتراک 15 هزار توان خریدم شما 19 تومان کم کردین. لطفا پیگیری شه

سلام
بررسی شد. مشکلی مشاهده نشد. همان ۱۵ هزار تومان واریز شده است.
فاکتور خرید شما، به ایمیلتان ارسال شد.

ببخشید. پرسش ها رو اینجا میشه جواب بدیم؟؟؟

بله. لطف می‌کنید.

سلام
در بخش “ب” این قسمت رو لطفا بیشتر توضیح بدید:
“بنابراین تعداد جواب های صحیح نامنفی معادله100=4z+2y+x
برابر است با:
۴۷+۴۹+۵۱+…..+۱

سلام.
توضیحات بسیار مفصل است!
آیا شما روی نوشته‌های آبی رنگ بعد از (چرا؟)ها کلیک می‌کنید؟! (منظورم روی «نمایش دادن پاسخ» است.)

شرمنده
الان درست شد😁😁
حواسم نبود

ابرو واسمون نزاشتی

سلام من ندونستم یعنی چی اگه z=0 باشه از کجا میشه دونست 51 جواب هست با تشکر

سلام. اگه $z=0$ باشه، مسئله‌ مطابق قسمت «الف» حل می‌شه.

ولی فکر کنم وقتی z=25 باشه x+2y صفر بشه