۸. ۱. ۱. ۱۱. در کتاب ریاضی تکمیلی هفتم با چندحجره‌ای‌ها و $n$پله آشنا شدید. برای یادآوری، تعریف $n$پله در ادامه آمده است.
در شکل‌های مقابل، شکل $1$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $1$پله می‌گوییم؛ شکل $2$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $2$پله می‌گوییم؛ شکل $3$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $3$پله می‌گوییم.
با همین الگو $n$پله را تعریف می‌کنیم. بنابراین $n$پله‌ای‌ها نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یکسانی دارند. شکل زیر، تصویری سه‌بعدی از یک $3$پله است.
با روش نوشین، تعداد مکعب‌های واحد به‌کاررفته در یک $n$پله را به‌دست آورید.


راهنمای حل

تعریف \(n\)پله دقیق نیست(؟). ما با توجه به شکل رسم شده در صورت مسئله، \(1\)پله، \(2\)پله، و \(3\)پله را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم.


برای حل این مسئله، ابتدا با استفاده از ایدهٔ نوشین (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۱۰) تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $5$پله را به‌دست می‌آوریم و سپس راه‌حل را به $n$پله تعمیم خواهیم داد. در ویدئوی زیر، یک \(4\)پله نمایش داده شده است.

فرض کنید یک دیوار پلکانی بنفش به \(4\)پلهٔ بالا اضافه کنیم تا یک \(5\)پله ساخته شود. دراین صورت، در \(5\)پلهٔ ساخته شده:
\(\bullet\) تعداد مکعب‌های بنفش برابر است با:
\[1+2+3+4+5\]
\(\bullet\) تعداد مکعب‌های سبز برابر است با:
\[1+2+3+4\]
\(\bullet\) تعداد مکعب‌های قرمز برابر است با:
\[1+2+3\]
\(\bullet\) تعداد مکعب‌های آبی برابر است با:
\[1+2\]
\(\bullet\) و تعداد مکعب‌های زرد برابر است با:
\[1.\]
بنابراین برای محاسبهٔ تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $5$پله، باید حاصل عبارت زیر را به‌دست آوریم:
\[(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1.\]
در عبارت بالا، پنج‌تا $1$، چهارتا $2$، سه‌تا $3$، دوتا \(4\) و یک‌دانه $5$ وجود دارد. مشابه ایدهٔ نوشین در مسئله ۸. ۱. ۱. ۱۰، این اعداد را سه‌بار می‌نویسیم:
پس مجموع این اعداد برابر است با:
\[\frac{7\times \frac{5\times 6}{2}}{3}\]
یا به‌عبارتِ‌دیگر،
\[\begin{aligned}1+3+6+10+15&=\frac{7\times \frac{5\times 6}{2}}{3}\\&=\frac{5\times 6\times 7}{6}.\end{aligned}\]
بنابراین تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $n$پله برابر است با:
\[1+3+6+\cdots+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.\]


پرسش ۱. چرا تعریف ارائه شده برای \(n\)پله دقیق نیست؟

پرسش ۲. آیا می‌توانید یک تعریف دقیق برای \(n\)پله ارائه کنید؟


 

اشتراک
اطلاع از
22 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سلام.
مگر سوال تعداد مکعب هارا نخواسته؟؟؟
پس چرا مجموع انهارا محاسبه کردید؟

سلام.
لطفاً راه‌حل را با دقت بخوانید؛ تعداد مکعب‌ها محاسبه شده است.

برای محاسبهٔ تعداد مکعب‌ها، آنها به چند بخش تقسیم شده‌اند؛ ابتدا تعداد هر بخش محاسبه شده، و سپس، تعداد همهٔ این بخش‌ها با هم جمع شده است.

نه منظورم مکعب ها نیست . اون فرمولی هم که گذاشتم اشتباه رفته بالای پیام سوالم! اگر n پله را از بالا یا روبه رو یا چپ نگاه کنیم فقط مربع میبینیم این برای اون مربع هاست. مثلا ۳ پله ای = از نمای چپ= ۳×(۳+۱)/۲=۶.یعنی ما شش مربع میبینیم.

این همون راه حل نوشین هست .و قطر دوم مثلث خیام

سلام من گشتم پیدا کردم .میزارم هرکی دلش خواست(نیاز داشت)استفاده کنه2/(N(n+1. در واقع= nدر nبه علاوه ۱ تقسیم بر۲

ببخشید فرمولی هم برای تعداد مربع ها وجود داره
؟

منظورتون از تعداد مربع‌ها، تعداد مکعب‌هاست؟
فرمول تعداد مکعب‌ها در انتهای راه‌حل هست.

سلام.
من تمامی نظرات دوستان و جوابهای شما به علاوه ی روشهای حل مسأله های نجمه ، نوشین ، اقدس و چند حجره ای هارو خوندم و کمی قاطی کردم.
ببخشید اگه میشه یک جمع بندی و نتیجه گیری کلی یا یک رابطه بین این سه یا چهار مسأله بیان کنید تا یک کم شفاف تر بشه.
ممنون

سلام.
لطفاً این پیام را در قسمت درسنامه‌های درخواستی نیز بنویسید.

چطور بفهمیم که چطور اعداد یکسانی بدست بیاریم که سریع باشه

الان دقیقا n چه عددی هستش؟

\(n\) می‌تواند هریک از اعداد طبیعی باشد. در این مسئله، تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک \(n\)پله، برحسب \(n\)، به‌دست آمده است.

nعددی نیست بلکه اعداد بعدی الگو هست و میتونه هر عددی باشه انشاالله که فهمیده باشید با تشکر راستی من کلاس هشتمم خجالت بکش

ربط این مسئله با مسئله نوشین چیه؟؟؟؟ 🤔

اینجا هم با ایده‌ای شبیه به ایدهٔ نوشین، اعداد را سه‌بار نوشته‌ایم و جمع زده‌ایم.

هیچی

سلام ، خسته نباشید،ببخشید طرز چیدن اعداد از چه قانونی پیروی میکند ،از کجا بفهمیم که باید ایگونه بچینیم ،در مثال 10چرا اعداد را جوری چیدیم که حاصل 11بشه ولی در مثال 11جوری چیدیم که حاصل 7شد ، ممنونم

سلام. ببخشید منظورتون از مثال 10 و مثال 11چیه؟مثال هایی که ذکر کردین کجا هستند؟
اگه میشه سایت ریاضی تکمیلی هم اگه میدونه به من پاسخ بده ممنون میشم.

منظورشون تمرین ۱۰ و تمرین ۱۱ همین بخش از کتاب تکمیلیه.

سلام ممنون.
من نظرات دیگر کاربران و جوابهای شما رو علاوه بر حل مسايل توسط شما در 4 مسأله نوشین و نجمه و اقدس همچنین چند حجره ای هارو خوندم.
از شما خواهش می کنم که اگه میشه لطفاً یک جمع بندی کلی بین سه مسأله نجمه،نوشین و اقدس و یا درصورت لزوم چند حجره ای ها بیان کنید.
ممنون از شما.

سلام.
لطفاً این پیام را در کامنت‌های «درسنامه‌های درخواستی» نیز بنویسید.
امیدواریم بتوانیم به‌زودی درسنامه‌ای برای این قسمت بنویسیم.