۸. ۱. ۱. ۱۰. نوشین حاصل عبارتِ
\[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\]
را این‌گونه محاسبه کرد:

الف) راه حل نوشین را شرح دهید.
ب) با استفاده از راه‌حل نوشین، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1^2+2^2+3^2+\dots+117^2\]


راهنمای حل

الف) نوشین $1^2$ را یه‌دونه $1$، $2^2$ را دوتا $2$، $3^2$ را سه‌تا $3$، $4^2$ را چهارتا $4$، و $5^2$ را پنج‌تا $5$ در نظر گرفته است و می‌خواهد مجموع زیر را محاسبه کند.
\[1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5\]
نوشین اعداد بالا را با سه ترتیب متفاوت در کادرهای صورتی رنگ بالا نوشته است. او حاصل‌جمع اعداد متناظرِ این کادرها را در کادر آبی نوشته است. حالا مجموع اعداد داخل کادر آبی $3$ برابر مجموعی است که نوشین می‌خواست آن را محاسبه کند. توجه کنید که نوشین با استفاده از ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷)، تعداد اعداد داخل کادر آبی را محاسبه کرده است.

ایدهٔ نوشین مشابه ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷) است. نجمه برای اینکه به‌سادگی مجموعِ
\[1+2+3+\cdots+n\]
را محاسبه کند، هر عدد را دوبار می‌نویسد، و هر دو عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر دو عدد متناظر برابر $(n+1)$ شود. پس:
\[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

نوشین برای اینکه مجموعِ
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\]
را محاسبه کند، ابتدا هریک از اعداد $1^2$، $2^2$، $3^2$، $\cdots$، $n^2$ را به‌صورت مجموعی از یک یا چند عدد برابر می‌نویسد. سپس هریک از اعداد را سه‌بار می‌نویسد و هر سه عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر سه عدد متناظر برابر $2n+1$ شود. پس باتوجه‌به کادرهای صورتی و آبی بالا، می‌توان روش نوشین را تعمیم داد:
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2&=\frac{(2n+1)(\frac{n(n+1)}{2})}{3}\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\end{aligned}\]

ب)
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+117^2&=\frac{117\big(117+1\big)\big(2(117)+1\big)}{6}\\&=\frac{117\times 118\times 235}{6}\\&=\frac{39\times 3\times 59\times 2\times 235}{3\times 2}\\&=39\times 59\times 235\\&=540735.\end{aligned}\]

اشتراک
اطلاع از
22 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

ببخشید دلیل خاصی داره که نوشین هر عدد را سه بار نوشته ونجمه اعداد خود را ۲ بار نوشته؟؟

هر دو نفر ایده‌ای داده‌اند که به‌جای جمع زدن دونه‌به‌دونهٔ اعداد، از ضرب کردن برای محاسبهٔ عبارت داده شده استفاده شود.

راه حل گیج کننده است

هر جا که واضح نیست، بفرمایید تا توضیح دهیم.
این راه‌حل شبیه راه‌حل نجمه است. نجمه هر عدد را دوباره نوشته بود و … اما نوشین هر عدد را سه بار نوشته و …

ببخشید میشه بیشترتوضیح بدین؟

لطفاً دقیقاً مشخص کنید که کجای راه‌حل واضح نیست تا توضیح بیشتر بدهیم.

سلام ببخشید چرا در راحل نوشین ۱۱وجود داره ؟

سلام.
نوشین خواسته اعداد را چندبار بنویسد و طوری آنها را باهم جمع بزند، که از یک عدد (۱۱) چند تا داشته باشد؛ تا بتواند از ضرب استفاده کند…

ببخشید چرا تعداد رو به صورت۲÷۶×۵ نوشته؟

تمرین ۸ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هفتم را ببینید. (تعداد ۱۱‌ها مثل تعداد گوی‌های آبی است.)

سلام میشه لطفا جمع توان ۳ های اعداد متوالی رو با روش نوشین بگین لطفا🙂

2*118 می شود 236 چرا نوشتید 235

117 ضربدر 2 به علاوه1=235

.Thanks. It’s perfect

سلام. چرا مجموع 3 عدد متناظر(2n+1) در مجموع مسئله نجمه ضرب شده است؟

چون در جواب 2n دو ضربدر n می شود

دمتون گرم دیگه نمیخواد 4 ساعت سر هر مسئله فکر کنیم

درواقع باید فک کنین اگه نتونستین باید از اینجا چک کنین

خسته نباشی واقعا مهدیه جون

عالی بود ^^

It is a perfect
Maybe please solve it in another way

عالی عالی عالی …عالی