هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۸

۸. ۱. ۱. ۸. به‌ الگوی زیر توجه کنید.

الف) شکل پنجم این الگو را رسم کنید.
ب) در شکل بیستم این الگو، چند گلوله وجود دارد؟ این تعداد با عددی که در قسمت «ب» مسئلۀ‌ قبل به‌دست آوردید، چه رابطه‌ای دارد؟
ج) با توجه به شکل‌های صفحه قبل و شکل‌های مسئلۀ‌ قبل، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1+2+3+\cdots+51\]

راهنمای حل

الف)

ب) تعداد گلوله‌های شکل اول این الگو یکی است.
تعداد گلوله‌های شکل دوم این الگو برابر است با:
\[1+2=3\]
تعداد گلوله‌های شکل سوم این الگو برابر است با:
\[1+2+3=6\]
تعداد گلوله‌های شکل چهارم این الگو برابر است با:
\[1+2+3+4=10\]

بنابراین، تعداد گلوله‌های شکل بیستم این الگو برابر با حاصل عبارت زیر است.
\[1+2+3+\cdots+20\]

حال می‌خواهیم با استفاده از مسئلۀ‌ قبل، روشی برای محاسبهٔ حاصل عبارت بالا بیابیم.
باتوجه‌به اینکه تعداد گلوله‌های هریک از شکل‌های این الگو، نصف تعداد گلوله‌های شکل متناظر با آن، در الگوی مسئلۀ‌ قبل است (شکل‌های زیر را ببینید.)، پس کافی‌ است نصف تعداد گلوله‌های شکل بیستم الگوی مسئلۀ‌ قبل را به‌دست آوریم.

بنابراین تعداد گلوله‌های شکل بیستم را می‌توان این‌گونه به‌دست آورد:
\[\begin{aligned}1+2+3+\cdots+20&=\frac{20\times 21}{2}\\&=10\times 21\\&=210.\end{aligned}\]

ج) باتوجه‌به آنچه در قسمت قبل گفته شد، داریم:
\[\begin{aligned}1+2+3+\cdots+51&=\frac{51\times 52}{2}\\&=51\times 26\\&=1326.\end{aligned}\]

یک ایراد در صورت مسئله. بهتر بود زیر هر شکل، شمارهٔ شکل نوشته می‌شد. ما فرض کردیم ترتیبِ شماره‌گذاریِ شکل‌ها از چپ به راست باشد. اگر شخص دیگری فرض کند ترتیبِ شماره‌گذاریِ شکل‌ها از راست به چپ است، آن‌وقت شکل پنجم چگونه خواهد بود؟

پرسش در کلاس ۱. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1+2+3+\cdots+1000\]

پرسش در کلاس ۲. به اعداد دنبالهٔ زیر (تعداد گلوله‌های شکل‌های مسئلهٔ بالا)، اعداد مثلثی می‌گویند.
\[1,3,6,10,15,21,\cdots\]
الف) چند عدد مثلثی کوچکتر از ۲۰۰ وجود دارد؟ همهٔ آنها را بنویسید.
ب) چند عدد مثلثی کوچکتر از ۱۰۰۰ وجود دارد که بر ۱۷ بخش‌پذیر باشد؟ همهٔ آنها را بنویسید.
ج) حاصل جمع دو عدد مثلثی ۶ و ۱۵ برابر با یک عدد مثلثی دیگر است:
\[6+15=21\]
آیا می‌توانید چند جفت عدد مثلثی دیگر پیدا کنید که حاصل‌جمع آنها یک عدد مثلثی باشد؟
د) آیا می‌توانید سه عدد مثلثی بیابید که مجموع آنها یک عدد مثلثی دیگر باشد؟

پرسش در کلاس چیست؟

هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۹

هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۷

مسئلهٔ هفته

در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.

دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.