هفتم. فصل ۱. مسئله‌ها. تمرین ۲۵

۷. ۱. ۱. ۲۵. شکل‌ها را طوری در جدولِ $4\times 4$ زیر بچینید که در هر سطر و هر ستون، هر رنگ و هر شکل یک‌بار دیده شود.

راهنمای حل

در جدول زیر، شکل‌های داده شده را طوری چیده‌ایم که در هر سطر، هر ستون، و هر قطر، هر رنگ و هر شکل یک‌بار دیده می‌شوند. می‌توانیم در این مسئله به‌جای استفاده از شکل و رنگ از حروف و اعداد استفاده کنیم. در جدول زیر هریک از چهار شکل با حروف $A$، $B$، $C$، و $D$ نام‌گذاری شده‌اند و هریک از رنگ‌ها با اعداد $1$، $2$، $3$، و $4$ مشخص شده‌اند.

پرسش در کلاس ۱. در شکل بالا جدول $4\times 4$ به چهار مربع $2\times 2$ تقسیم شده است. این تقسیم‌بندی را به‌دقت نگاه کنید و توضیح دهید که با چه روشی شکل‌ها داخل جدول قرار گرفته‌اند.

پرسش در کلاس ۲. آیا می‌توانید پاسخی برای مسئله بیابید که فقط در هر سطر و هر ستون، هر شکل و هر رنگ یک‌بار دیده شود؟ (یعنی خاصیت گفته شده برای قطرهای جدول برقرار نباشد.)

پرسش در کلاس ۳. به جدول بالا یک مربع لاتین مُتَعامِد $4\times 4$ می‌گویند.
الف) چرا نمی‌توان با دو رنگ و دو شکل، یک مربع لاتین مُتَعامِد $2\times 2$ ساخت؟
ب) با سه رنگ و سه شکل، یک مربع لاتین مُتَعامِد $3\times 3$ بسازید.
ج) با پنج رنگ و پنج شکل، یک مربع لاتین مُتَعامِد $5\times 5$ بسازید.
د) حدس شما دربارهٔ مربع لاتین مُتَعامِد $6\times 6$ چیست؟

پرسش در کلاس ۴. مربع لاتین مُتَعامِد $6\times 6$ یک مسئلهٔ معروف است که نام دیگر آن مسئلهٔ افسران اویلر است. دربارهٔ این مسئله تحقیق کنید.

پرسش در کلاس ۵. لئونارد اویلر، ریاضیدان معروف سوئیسی در قرن هجدهم میلادی حدس زد که مربع‌های لاتین متعامد $2\times 2$، $6\times 6$، $10\times 10$، $14\times 14$، و … وجود ندارند. دربارهٔ درستی این حدسِ اویلر تحقیق کنید.

پرسش در کلاس چیست؟