۷. ۱. ۱. ۱۲. در بازی «مثلث همرنگ» که در فصل قبل با آن آشنا شدید،
الف) اگر هر نقطه را به پنج نقطۀ دیگر وصل کنیم، چند پاره خط رسم کرده‌ایم؟
ب) چرا همیشه یک نفر بازنده است؟ به‌عبارتِ‌دیگر چرا این بازی نمی‌تواند نتیجۀ مساوی داشته باشد؟
راهنمای حل
الف) این مسئله، مشابه قسمت «د» مسئلهٔ ۷. ۱. ۱. ۱۱ است. بنابراین تعداد پاره‌خط‌های رسم شده برابر است با:
\[\frac{6\times 5}{2}=3\times 5=15.\]
ب) نشان می‌دهیم که اگر ۱۵ پاره‌خط را رسم کنیم، حداقل یک مثلث همرنگ ساخته می‌شود.
یکی از نقاط را انتخاب می‌کنیم و آن را $A$ می‌نامیم. اگر ۱۵ پاره‌خط رسم شده باشند، آنگاه از نقطهٔ $A$ حداقل سه پاره‌خطِ همرنگ خارج شده است(؟). فرض کنید این سه‌پاره‌خطِ هم‌رنگْ قرمز باشند.
سرِ دیگرِ این پاره‌خط‌های قرمز را $B$، $C$، و $D$ می‌نامیم.
اگر پاره‌خط $BC$ قرمز باشد، آنگاه ضلع‌های مثلث $ABC$ همرنگ هستند. پس فرض می‌کنیم که پاره‌خط $BC$ آبی باشد.
اگر پاره‌خط $BD$ قرمز باشد، آنگاه ضلع‌های مثلث $ABD$ همرنگ هستند. پس فرض می‌کنیم که پاره‌خط $BD$ آبی باشد.
اگر پاره‌خط $CD$ قرمز باشد، آنگاه ضلع‌های مثلث $ACD$ همرنگ هستند. پس فرض می‌کنیم که پاره‌خط $CD$ آبی باشد.
همان‌طور که در شکل بالا می‌بینید ضلع‌های مثلث $BCD$ همرنگ هستند.
پس اگر ۱۵ پاره‌خط را رسم کنیم، حداقل یک مثلث همرنگ ساخته می‌شود.
پرسش در کلاس. فرض کنید به‌نوبت پاره‌خط‌های قرمز و آبی را رسم کنیم تا همهٔ ۱۵ پاره‌خط رسم شوند.
الف) آیا حالتی وجود دارد که در آن کمتر از ۳ مثلث همرنگ دیده شود؟
ب) آیا حالتی وجود دارد که در آن کمتر از ۲ مثلث همرنگ دیده شود؟
چرا پس مگه قسمت الف نباید ۴ ×۵ بشه ؟
تعداد پاره‌خط‌ها را بشمارید!
ابتدا نقاط را \(A\)، \(B\)، \(C\)، \(D\)، و \(E\) بنامید. سپس، پاره‌خط‌ها را این‌جوری بشمارید:
مرحلهٔ اول. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(A\) است: \(5\)تا
مرحلهٔ دوم. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(B\) است و در مرحلهٔ قبل شمرده نشده است: \(4\)تا
مرحلهٔ سوم. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(C\) است و در مراحل قبل شمرده نشده‌اند: \(3\)تا
مرحلهٔ چهارم. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(D\) است و در مراحل قبل شمرده نشده‌اند: \(2\)تا
مرحلهٔ پنجم. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(E\) است و در مراحل قبل شمرده نشده‌اند: \(1\)تا
مرحلهٔ ششم. تعداد پاره‌خط‌هایی که یک سر آنها \(F\) است و در مراحل قبل شمرده نشده‌اند: \(0\)تا
بنابراین، تعداد کل پاره‌خط‌های برابر است با:
\[1+2+3+4+5=\frac{5\times6}{2}.\]
میشه قسمت جیم رو یکم ساده تر توضبح بدین؟
راه‌حل مسئله پیچیده نیست. لطفاً هر جایی را که متوجه نمی‌شوید، دقیقاً مشخص کنید تا دربارهٔ آن بحث کنیم.
اگر می‌خواهید راحت‌تر از این سایت استفاده کنید، حتماً از ایمیل‌تان را درست وارد کنید. اگر ایمیل ندارید، می‌توانید در مدت زمانی اندک، یک ایمیل بسازید. راهنمای ساختن ایمیل در اینترنت هست. برای مثال، اینجا را کلیک کنید.
سلام ببخشین یه سوال توی قسمت جیم اگ پاره خط B رو به پاره خط سمت A وصل میکردیم مثلث ابی تشکیل نمیشد و نمیبرد چرا این کار رو نکرد؟
سلام
تا جایی که من می‌بینم، این مسئله، قسمت «ج» ندارد!
لطفاً از ابتدای راه‌حل، آن را با دقت بخوانید.
در اینجا فرض شده که همهٔ پاره‌خط‌ها رسم شده‌اند. حالا می‌خواهیم ثابت کنیم که در شکل رسم شده، حتماً یک مثلث همرنگ وجود دارد.
چرا گفتین حداقل سه پاره خط همرنگ؟ حداکثر 5پاره خط و حداقل یه پاره خط همرنگ درست میشه. منظورش چیه؟
سلام
اگر شکل کامل شده باشد، یعنی همهٔ پاره‌خط‌ها رسم شده باشند، آن‌وقت از نقطهٔ \(A\) پنج پاره‌خط خارج شده است. این پنج پاره‌خط، یکی از حالت‌های زیر هستند:
۱. هر پنج پاره‌خط آبی است.
۲. چهار پاره‌خط آبی و یک پاره‌خط قرمز است.
۳. سه پاره‌خط آبی و دو پاره‌خط قرمز است.
۴. دو پاره‌خط آبی و سه پاره‌خط قرمز است.
۵. یک پاره‌خط آبی و چهار پاره‌خط قرمز است.
۶. هر پنج پاره‌خط قرمز است.
در همهٔ حالت‌های بالا، حداقل سه‌پاره همرنگ هستند. ما فرض کردیم که سه پاره‌خط همرنگ قرمز باشند.
احتمالاً شما با معنی واژه‌های «حداقل» و «حداکثر» مشکل دارید. سعی کنید معنای این دو واژه را با توضیحات بالا درک کنید. در این فصل و در مسائل زیادی از این دو واژه استفاده شده است.
لطفا راه حل هایی که قابل درک باشد و قابل اثبات باشد را بگذارید و آن را اثبات کنید که چرا مثلا این اتفاق افتاده
Ok?
در بالا که اثبات دقیق و کامل است.
در مسئله‌های دیگر هم همین کار را کرده‌ایم.
اگر راه‌حلی یافتید که بدون دلیل بود، لطفاً زیر همان مسئله، کامنت بگذارید.
لطفاً خلاصه و مفید توضیح بدهید.
ساختار کتاب‌های تکمیلی بر پایه مسائل فرمولی و راه‌حل‌های کوتاه نیستند.
بسیاری از مسائل کتاب‌های تکمیلی مقدمه‌ای بر مسائل مهم دنیای ریاضیات هستند.
برای مثال، این مسئله، هر ریاضیدانی را به یاد قضیهٔ رمزی می‌اندازد. اینجا را ببینید.
به‌یاد داشته باشید که اکثر مسائل ریاضیات راه‌حل کوتاه ندارند. البته ممکن است اکثر مسائلی که شما دیده‌اید راه‌حل کوتاه داشته باشند. به‌هرحال، بد نیست گاهی اوقات سری هم به دنیای واقعی ریاضیات بزنید؛ که مسلماً کتاب‌های ریاضیات سمپاد با همین ایده نوشته شده‌اند.