۷. ۱. ۱. ۱۰. در هندوستان، رانندگان عاشق بوق زدن هستند! فرض کنید پشت چراغ قرمز، رسم بر این باشد که نفر اول ۱ بار بوق بزند. بعد نفر دوم هر چند بار که خواست بوق بزند. نفر سوم به تعداد مجموع بوق‌های نفر اول و دوم بوق بزند. نفر چهارم به تعداد مجموع بوق‌های نفر اول و دوم و سوم بوق بزند و نفر پنجم به تعداد مجموع بوق‌های چهار نفر قبلی بوق ‌بزند و $\cdots$.
الف) اگر پشت یک چراغ، نفر دوم ۲ بار بوق بزند و ۵ نفر بعدی با قانون بالا بوق بزنند، نفر آخر چند بار بوق زده است؟
ب) اگر پشت یک چراغ، نفر دوم ۶ بار بوق زده باشد و در مجموع ۵۶ بار صدای بوق شنیده شده باشد، چند راننده بوق زده‌اند؟
ج)
۶ نفر مجموعاً ۱۶ بار بوق زده‌اند. نفر دوم چند بار بوق زده است؟


راهنمای حل

الف) نفر اول یک‌بار بوق زده و نفر دوم ۲ بار بوق زده است. با قانون گفته شده تعداد بوق‌های نفرات بعدی را به‌دست می‌آوریم.
تعداد بوق‌های نفر سوم:
\[1+2=3\]
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[1+2+3=6\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[1+2+3+6=12\]
تعداد بوق‌های نفر ششم:
\[1+2+3+6+12=24\]
تعداد بوق‌های نفر هفتم:
\[1+2+3+6+12+24=48\]
بنابراین تعداد بوق‌های نفر آخر (نفر هفتم) برابر ۴۸ است.
همان‌طور که می‌بینید، تعداد بوق‌های هریک از نفرات چهارم به بعد، دو برابر تعداد بوق‌های نفر قبلی است(؟).

ب) نفر اول یک‌بار بوق زده و نفر دوم ۶ بار بوق زده است. بنابراین تعداد بوق‌های نفر سوم برابر است با:
\[1+6=7\]
پس تعداد بوق‌های نفرات بعدی به‌‌صورت زیر محاسبه می‌شود.
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[7\times 2=14\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[14\times 2=28\]
تا اینجا ۵۶ بار صدای بوق شنیده شده است. زیرا:
\[1+6+7+14+28=56\]
بنابراین ۵ راننده بوق زده‌اند.

تعداد بوق‌های نفرات سوم به بعد، مضربی از تعداد بوق‌های نفر سوم است(؟).

ج)  چون ۱۶ فقط مضرب عدد ۲ است، پس تعداد بوق‌های نفر چهارم باید فقط مضربی از ۲ باشد. فرض کنیم نفر دوم بوق نزده باشد. دراین‌صورت تعداد بوق‌های نفرات بعدی به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.
تعداد بوق‌های نفر سوم:
\[1+0=1\]
تعداد بوق‌های نفر چهارم:
\[1+0+1=2\]
تعداد بوق‌های نفر پنجم:
\[2\times 2=4\]
تعداد بوق‌های نفر ششم:
\[4\times 2=8\]
پس تا اینجا ۱۶ بار صدای بوق شنیده شده است. زیرا:
\[1+0+1+2+4+8=16\]
بنابراین پاسخ این قسمت این است که نفر دوم بوق نزده است.
واضح است که این مسئله پاسخ دیگری ندارد.(؟)


پرسش در کلاس ۱. در بین اعداد ۱ تا ۵۰ چه اعدادی نمی‌توانند تعداد بوق‌های یکی از رانندگان پنجم به بعد باشند؟

پرسش در کلاس ۲. در بین اعداد ۱ تا ۵۰ چه اعدادی می‌توانند تعداد بوق‌های یکی از رانندگان پنجم به بعد باشند؟ برای هریک از این اعداد مسئله‌ای بسازید.

پرسش در کلاس ۳. اگر در مجموع ۱۴۴ بار صدای بوق شنیده شده باشد، چند راننده بوق زده‌اند؟ همهٔ جواب‌های این مسئله را بیابید.

پرسش در کلاس چیست؟


 

هوش ET

مسئلهٔ هفته

در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.

دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.

ارسال پاسخمسئله‌های بیشتر

 

جدید: ری‌آزمون فصل‌های ۳ و ۴ ریاضی نهم منتشر شد.

آزمون آنلاین

چقدر بلدم؟!
ورود به سامانهٔ ری‌آزمون

 

ویدئوی هفته

ویدئوهای بیشتر

  

جدید: درسنامه توان منتشر شد.

درسنامه توان

درسنامه‌های تکمیلی

 

صفر به توان صفر 0^0

 

اشتراک
اطلاع از
3 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

استاد از این دیگه راحت تر اگه میخوای مجموع رو به دست بیاری عدد آخر رو در ۲ ضرب میکنی و اگه بخوای عدد آخر رو به دست بیاری جواب رو بر دو تقسیم میکنی

یک فرمول ساده برای جواب:
(مجموع عضو اول و دوم) × (۲ به توان n-3).
***منظور از n نفری است که تعداد بوقهایش را باید محاسبه کنیم***
مثال: اگر نفر اول ۱ بوق و نفر دوم ۵ بوق بزند نفر هشتم چند بوق میزند؟
(۱+۵)=۶ جمع بوق نفر اول و دوم یا تعداد بوقهای نفر سوم.
نفر هشتم پنجمین نفر است که با مضرب ۲ بوق میزند یا به عبارتی پنجمین نفری است که بعد از نفر سوم بوق میزند.
پس ۲ را به توان ۵ میکنیم که میشود ۳۲.
حالا ۳۲ را در ۶ ضرب کنیم جواب میشود ۱۹۲ .
یعنی نفر هشتم ۱۹۲ بار بوق زده است.
***برای قسمت ب هم از همین فرمول میشه استفاده کرد ولی چون گفته مجموع بوقها ۵۶ عدد، نگفته نفر آخر ۵۶ بوق زده است یعنی از نفرات یکی باید کم کنیم.
جواب:
۸=(۱+۶)÷۵۶
عدد ۸ سومین توان عدد ۲ است(۲به توان ۳ میشه ۸)، که با احتساب جمع سه نفر اول که بوق زدن میشه ششمین نفر ولی نگفته نفر آخر ۵۶ بوق زده بلکه گفته مجموع بوقهای شنیده شده ۵۶ بوق است پس یکی از شش کم میکنیم و جواب میشه ۵ راننده.
*** در قسمت ج هم با جایگزین کردن اعداد در فرمول جواب ۰ به دست میاد.

تعداد بوق های نفر چهارم به بعد زوج است
پس تمام اعداد فرد نمی تواند تعداد بوق نفر پنجم به بعد باشد
همچنین کمترین تعداد بوق نفر پنجم ۸ تاست
پس اعداد ۲,۴,۶ هم حذف می شود
سوال سوم ۱۴۴,۷۲,۳۶,۱۸,۹,۸,۱ پس هفت نفرند